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1、机械制图换面法你现在浏览的是第一页，共36页1 点线面的投影特性点线面的投影特性以往知识小结以往知识小结1.1 点的投影特性点的投影特性内容：方位关系，注意内容：方位关系，注意W面和面和H面投影之间的关系面投影之间的关系1.2 直线的投影特性直线的投影特性内容：积聚、实形和类似，对特殊位置直线要敏感。内容：积聚、实形和类似，对特殊位置直线要敏感。问题：实长和夹角，点与直线位置关系，两直线位置关系。问题：实长和夹角，点与直线位置关系，两直线位置关系。1.3 平面的投影特性平面的投影特性内容：积聚、实形和类似，对特殊位置平面要敏感。内容：积聚、实形和类似，对特殊位置平面要敏感。问题：在平面上作直线
2、，在平面上作点。问题：在平面上作直线，在平面上作点。你现在浏览的是第二页，共36页2 几何元素的相对位置关系几何元素的相对位置关系2.1 平行平行内容：线面平行，面面平行。内容：线面平行，面面平行。2.2 相交相交内容：直线和平面相交，平面和平面相交。内容：直线和平面相交，平面和平面相交。问题：交点和可见性，交线和可见性。问题：交点和可见性，交线和可见性。2.3 垂直垂直内容：直角定理及推论，直线和平面，平面与平面。内容：直角定理及推论，直线和平面，平面与平面。问题：过点作直线垂直于已知平面，点到面的距离，问题：过点作直线垂直于已知平面，点到面的距离，过点作直线与已知直线垂直。过点作直线与已知
3、直线垂直。问题：作平行于平面的直线，作平行于平面的平面。问题：作平行于平面的直线，作平行于平面的平面。你现在浏览的是第三页，共36页第三章第三章 几何元素间的相对位置几何元素间的相对位置3.6 3.6 相对位置综合问题相对位置综合问题 要求：点、线、面的基本知识及相互关系应熟练掌握。要求：点、线、面的基本知识及相互关系应熟练掌握。1.1.定位问题：确定点线面的定位问题：确定点线面的从属从属、平行平行、相交相交、垂直垂直等关系。等关系。2.2.度量问题：求度量问题：求距离距离、角度角度、线段、线段实长实长及平面及平面实形实形、轨迹轨迹等。等。解决综合问题的一般过程：解决综合问题的一般过程：1.1
4、.投影分析投影分析2.2.空间分析空间分析3.3.确定方法确定方法4.4.投影作图投影作图根据已知条件，明确空间关系。根据已知条件，明确空间关系。运用形象思维，建立空间模型。运用形象思维，建立空间模型。确定具体步骤。确定具体步骤。利用图形语言，表达思维结果。利用图形语言，表达思维结果。你现在浏览的是第四页，共36页例：求已知直线与平面的夹角例：求已知直线与平面的夹角 的实际大小的实际大小。m n nm步骤：步骤：求求MNMN与与ABCABC的交点的交点K(K(求交求交)acbabc1 122 d dPvk k过过M M作作MD MD ABCABC求求 MDMD与与 ABCABC的交点的交点L(
5、L(求交求交)求求 MKL(MKL(MKL)MKL)的实形即的实形即 (分别求出分别求出MKMK、MLML、KLKL的实长的实长)MKL l l 先求得先求得MKMK、KLKL、MLML的实长的实长MPNLK你现在浏览的是第五页，共36页例：求已知直线与平面的夹角例：求已知直线与平面的夹角 的实际大小的实际大小。m n nm步骤：步骤：acbabc1 122 d de e过过M M作作MD MD ABCABC NDM EMN求求 NMD(NMD(MND)MND)的实形的实形 NMDNMD的余角即为的余角即为 需求得需求得MNMN、NDND、MDMD的实长的实长 求画水平线求画水平线NENE，再
6、求再求MNMN、MEME的实长的实长你现在浏览的是第六页，共36页第第6 6章章 投影变换投影变换换面法换面法你现在浏览的是第七页，共36页86.1 6.1 问题的提出问题的提出6.2 6.2 选择新投影面的原则选择新投影面的原则6.3 6.3 点的投影变换规律点的投影变换规律 6.4 6.4 四个基本作图问题四个基本作图问题内内 容容你现在浏览的是第八页，共36页6.1 6.1 问题的提出问题的提出定定位位问问题题利用利用积聚积聚性投性投影特影特性获性获得两得两几何几何元素元素的交的交集集你现在浏览的是第九页，共36页106.1 6.1 问题的提出问题的提出 当几何元素相对于投影面处于当几何
7、元素相对于投影面处于特殊位置特殊位置 时，其投影往往能时，其投影往往能直接反映直接反映交点、交线交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。的位置或图形实形、线段实长。利用平行性的投影特性获得实长、面积利用平行性的投影特性获得实长、面积度量问题度量问题你现在浏览的是第十页，共36页11几何元素处于一般位几何元素处于一般位置时怎么办？置时怎么办？几何元素不动几何元素不动变换投影面位置变换投影面位置投影变换目的投影变换目的 改变几何元素与投影面之间的相对位改变几何元素与投影面之间的相对位置，使之平行或垂直投影面。借助于改置，使之平行或垂直投影面。借助于改变后的辅助投影，从而简化解题。变后的辅助投影，从
8、而简化解题。投影面不动几何投影面不动几何元素绕某轴旋转元素绕某轴旋转换面法换面法旋转法旋转法投影变换投影变换你现在浏览的是第十一页，共36页126.2 6.2 选择新投影面的原则选择新投影面的原则如何求线段如何求线段ABAB的实长？的实长？当当P P1 1/AB/AB时时a a1 1b b1 1=AB=ABVHXP1X1 1a1b1AababB你现在浏览的是第十二页，共36页13选择新投影面的原则选择新投影面的原则VHXP1AababBX1 1a1b1新投影面必须对于空新投影面必须对于空间几何元素处于有利间几何元素处于有利于解题的位置于解题的位置新投影面必须垂直新投影面必须垂直原投影面体系中的
9、原投影面体系中的某一投影面以构成某一投影面以构成新的相互垂直的投新的相互垂直的投影面体系影面体系你现在浏览的是第十三页，共36页14A6.3 6.3 点的投影变换规律点的投影变换规律新旧投影体系新旧投影体系关系关系VP1a1ax1aP1a1aaxHX1 P1取代取代V V面面P1P1/H/H投影体系投影体系Xa ax=a1 ax1你现在浏览的是第十四页，共36页156.3 6.3 点的投影变换规律点的投影变换规律XVHaaaxX1HP1a1ax1你现在浏览的是第十五页，共36页166.3 6.3 点的投影变换规律点的投影变换规律X1XHVP1a1a1ax1aaaxP1 P1取代取代H H面面V
10、/V/P1P1投影体系投影体系A你现在浏览的是第十六页，共36页17XVHaaaxX1HP1a1ax1点的投影变换规律点的投影变换规律在新投影面体系中，在新投影面体系中，点的一对投影连线垂点的一对投影连线垂直于新投影轴直于新投影轴新投影到新轴之距等于新投影到新轴之距等于被代替的投影到原投影被代替的投影到原投影轴之距轴之距你现在浏览的是第十七页，共36页点的二次换面点的二次换面投投影影面面展展开开方方向向X1XVHaaaxax1P1a1P2X2a2A你现在浏览的是第十八页，共36页19XVHaa点的二次换面点的二次换面X1X2HP1P1P2a1a2注意注意:必须依次更换投影面必须依次更换投影面你
11、现在浏览的是第十九页，共36页206.4 6.4 四个基本作图问题四个基本作图问题将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线例例 求求ABAB实长及对实长及对H H面倾角面倾角 X1a1b1 实长实长HP1ababOVHX1空间分析空间分析当当ABAB为新投影面的为新投影面的平行线时，其投影平行线时，其投影直接反映实长直接反映实长更换哪个投影面？更换哪个投影面？V因为要求因为要求（与（与H H面面倾角），则必须保倾角），则必须保留留H H面而使面而使ABAB平行平行P P1 1如何确定如何确定X X1 1 1 1轴轴 的方向的方向X1aba1b1P1H投影分析投影分析X1
12、 1/ab一次换面一次换面你现在浏览的是第二十页，共36页21将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线VHXX1 1X X2 2BababP1b1a1P2a2 b2A2空间分析空间分析将一般位置直线将一般位置直线投影面垂直线投影面垂直线更换一次投影面更换一次投影面不能实现不能实现将投影面平行线将投影面平行线更换一次投影面更换一次投影面投影面垂直线投影面垂直线PXX1 1BabP1b1a1P2a2 b2A两次换面两次换面 将一般位置直线将一般位置直线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线你现在浏览的是第二十一页，共36页22X1
13、X2a2 b2a1b1X1 /abX2 a1b1作图作图HP1P1P2 将一般位置直线将一般位置直线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线将一般位置线变换成投影面垂直线XababHVVHXX X1 1X X2 2BababP1b1a1P2a2 b2A你现在浏览的是第二十二页，共36页23过点过点K K作直线与作直线与ABAB垂直相交并求垂直相交并求其实长其实长X1b1k1X2m1mmX1/abk1M1/X2HP1P1P2空间分析空间分析在什么情况下所求在什么情况下所求线段的投影直接反线段的投影直接反映其实长映其实长?AB
14、KMPa b mkAB PKM/PKM/Pkm=KM如何将如何将ABAB变换成变换成投影面垂直线？投影面垂直线？/a1投影分析投影分析如何确定如何确定新投影轴的方向新投影轴的方向将将ABAB变成投影面变成投影面/线线将将ABAB变成投影面变成投影面 线线如何返回原投如何返回原投影面体系影面体系ABKMPa b mkX2 a1b1a2 b2 m2k2例例 求点求点K K到直线到直线ABAB之距离之距离abkkabXVH你现在浏览的是第二十三页，共36页24将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面必须使平面内某一必须使平面内某一直线成为该投影面直线成为该投影面的垂直线的垂直
15、线取平面内的投取平面内的投影面平行线影面平行线X1X X1 1 1 1方向如何确定方向如何确定X1 1 bm bmmma1c1b1H P1abcbacXVH一次换面一次换面3你现在浏览的是第二十四页，共36页25abcbacXVH将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面平行面例例 求求 ABCABC实形实形空间分析空间分析平面相对于投影面处平面相对于投影面处于何种位置时其投影于何种位置时其投影直接反映实形直接反映实形投影面平行面投影面平行面 先将平面变换成先将平面变换成投影面垂直面投影面垂直面X1HP1a1a2b1b2c1c2X2P1P211X1 b1 再将平面变换再将平面变
16、换成投影面平行面成投影面平行面X2/c1b1a1实形实形两次换面两次换面4你现在浏览的是第二十五页，共36页26空间思维训练空间思维训练 点到点的距离点到点的距离 点到一般位置线的距离点到一般位置线的距离 点到一般位置面的距离点到一般位置面的距离 线和线的夹角线和线的夹角你现在浏览的是第二十六页，共36页27例例1 1 过点过点A A作直线与作直线与BCBC相交成相交成6060X1b1c1a1X2a2b2c2m2n2m1n1mmnnHP1P1P2空间分析空间分析在实形图形上直接反映直线夹角在实形图形上直接反映直线夹角大小，此题实质是求实形问题大小，此题实质是求实形问题投影分析投影分析 将平面将
17、平面 投影面垂直面投影面垂直面 X X1 1 平面内一投影面平行线平面内一投影面平行线 将平面将平面 投影面平行面投影面平行面 X X2 2/平面的积聚性投影平面的积聚性投影6060返回到原投影面体系返回到原投影面体系abcbcaXVH你现在浏览的是第二十七页，共36页28空间思维训练空间思维训练 一般位置线和线的距离一般位置线和线的距离 点到点的距离点到点的距离 点到一般位置线的距离点到一般位置线的距离 点到一般位置面的距离点到一般位置面的距离 一般位置线和线的夹角一般位置线和线的夹角你现在浏览的是第二十八页，共36页29.例例2 2：求两异面直线的距离。：求两异面直线的距离。acbabcd
18、dO VHHX1 P1a1b1c1d1P1 P2 X2c2,d2a2b2l2k2k1l1l2k2 为距离实长。为距离实长。l1 的位置？的位置？KL为何种位置线？为何种位置线？空间分析：空间分析：所求距离为两直线所求距离为两直线的公垂线。的公垂线。将其中的一条直线变将其中的一条直线变换为投影面垂直线，换为投影面垂直线，则公垂线反映实长。则公垂线反映实长。继续，返回到原投影体系！继续，返回到原投影体系！XKL为为P2的平行线！的平行线！k1 l1/X2轴。轴。O1 O2 lklk你现在浏览的是第二十九页，共36页30空间思维训练空间思维训练 一般位置线和面的夹角一般位置线和面的夹角 一般位置线和
19、线的距离一般位置线和线的距离 点到点的距离点到点的距离 点到一般位置线的距离点到一般位置线的距离 点到一般位置面的距离点到一般位置面的距离 一般位置线和线的夹角一般位置线和线的夹角你现在浏览的是第三十页，共36页例：求已知直线与平面的例：求已知直线与平面的 夹角夹角 的实际大小的实际大小。m nnmacbabc1 1b1 O1 O X1 HP1 a1,11 c1 m1 n1 X V H 步骤步骤3 3：换面法换面法?换几次换几次?如何换如何换?新投影面新投影面应垂直于平面、应垂直于平面、且平行于直线！且平行于直线！此时线面夹角此时线面夹角反映实际大小。反映实际大小。将一般位置平面将一般位置平面
20、 投影面平行面投影面平行面 直线直线 投影面平行直投影面平行直线线你现在浏览的是第三十一页，共36页32空间思维训练空间思维训练 一般位置面和面的夹角一般位置面和面的夹角 一般位置线和面的夹角一般位置线和面的夹角 一般位置线和线的距离一般位置线和线的距离 点到点的距离点到点的距离 点到一般位置线的距离点到一般位置线的距离 点到一般位置面的距离点到一般位置面的距离 一般位置线和线的夹角一般位置线和线的夹角你现在浏览的是第三十二页，共36页33acbdacbXVH例例3 3 ABCABC与与 ABDABD夹角为夹角为60,60,求求a ad d,b,bd dc1a1b1X1a2 b2HP1d1dX
21、2P1P2空间分析空间分析当两平面的交线当两平面的交线ABAB垂直于新投影垂直于新投影面时它们在该投影面时它们在该投影面上的投影反映其面上的投影反映其夹角实大夹角实大 将将AB AB 投影面垂直线投影面垂直线c2d260投影分析投影分析 将将AB AB 投影面平行线投影面平行线新投影轴新投影轴 X X1 1/ab/ab 将将AB AB 投影面垂直线投影面垂直线新投影轴新投影轴X X2 2 a a1 1b b1 1你现在浏览的是第三十三页，共36页 小小 结结 选择新投影面的原则选择新投影面的原则点的投影变换规律点的投影变换规律 四个基本作图问题：四个基本作图问题：将一般位置平面变换成投影面平行
22、面将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线你现在浏览的是第三十四页，共36页35解题思路解题思路空间分析空间分析 建立所求结果的空间几何模型建立所求结果的空间几何模型寻找达到此结果的途经寻找达到此结果的途经 分析如何从原投影面体系变换分析如何从原投影面体系变换到新投影面体系到新投影面体系(需几次变换）需几次变换）投影分析投影分析 每一次变换中新投影轴的方向每一次变换中新投影轴的方向如何确定如何确定你现在浏览的是第三十五页，共36页P13:1,2,3,4,5,6P13:1,2,3,4,5,6P14:7P14:7，8 8，9 9P16:1P16:1，2 2，3 3下周计算机绘图下周计算机绘图上课地点上课地点:一教一教306指指 导导 书：见网络学书：见网络学堂堂本周作业本周作业你现在浏览的是第三十六页，共36页