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1、高二数学棱锥的概念和性质本讲稿第一页，共二十页(1)(1)有一个面是多边形有一个面是多边形 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥棱锥是由这样一些面围成的几何体棱锥是由这样一些面围成的几何体:(2)(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形其余各面是有一个公共顶点的三角形(1)棱锥的定义棱锥的定义:1.1.棱锥的概念棱锥的概念2023/1/303本讲稿第三页，共二十页棱锥的底面棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的侧棱棱锥的高棱锥的高SABCDE
2、O棱锥的基本概念棱锥的基本概念2023/1/305本讲稿第五页，共二十页正棱锥正棱锥:如果一个棱锥的如果一个棱锥的底面是正多边形底面是正多边形，并且，并且顶点在底面内的顶点在底面内的射影是底面的中心射影是底面的中心，这样的棱锥叫做，这样的棱锥叫做正棱锥正棱锥侧面等腰三角形底边上的高相等侧面等腰三角形底边上的高相等,它们叫做它们叫做正棱锥的斜高正棱锥的斜高（1）各侧棱相等）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形各侧面都是全等的等腰三角形.（2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个三角形；
3、棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形直角三角形.正棱锥的性质正棱锥的性质:2.2.棱锥的性质棱锥的性质2023/1/308本讲稿第八页，共二十页正棱锥的性质正棱锥的性质 1各侧棱相等，各侧面都是全各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形等的等腰三角形 2棱锥的高、斜高和斜高在底面棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形也组成一个直角三角形2023/1/309本讲稿第九页，共二十页定理定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么如果棱锥被平行于底面的平面
4、所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比锥的高和已知棱锥的高的平方比一般棱锥的性质一般棱锥的性质2023/1/3012本讲稿第十二页，共二十页定理：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。的高的平方比。HSABCDEABCDEH已知：在棱锥已知：在棱锥SAC中，中，SH是高，是高，截面截面ABCDE平行于底面，并且平行于底面，并且与与SH交
5、于交于H。求证：截面求证：截面ABCDE底面底面ABCDE，并且，并且SABCDESABCDE=SH2SH2一般棱锥的性质一般棱锥的性质2023/1/3013本讲稿第十三页，共二十页HSABCDEABCDEH证明：因为截面平行于底面，所以证明：因为截面平行于底面，所以AB/AB，BC/BC，CD/CD，。ABC=ABC，BCD=BCD。又因为过又因为过SA、SH的平面与截面和底面分别交于的平面与截面和底面分别交于AH和和AHAH/AH由此得由此得ABAB=SASA=SHSH同理同理BCBC=SHSHABAB=BCBC=SHSH=因此截面因此截面ABCDE底面底面ABCDESABCDESABCD
6、E=AB2AB2=SH2SH22023/1/3014本讲稿第十四页，共二十页例例1、如图，已知正三棱锥、如图，已知正三棱锥SABC的高的高SO=h，斜高，斜高SM=l，求经过求经过SO的中点且平行于截面的中点且平行于截面ABC的面积。的面积。SABCOABCOM解：连结解：连结OM、OA。在。在RtSOM中，中，OM=l2-h2因为棱锥因为棱锥SABC是正棱锥是正棱锥所以点所以点O是正三角形是正三角形ABC的中心的中心AB=2AM=2OMtan600=23l2-h2SABC=AB2=43（l2-h2）根据棱锥截面的性质，有根据棱锥截面的性质，有SABCSABC=SABC=（l2-h2）过高的中
7、点且平行于底面的截面叫做中截面过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面2023/1/3015本讲稿第十五页，共二十页SABCDOM(4)60o(3)(2)(1)2023/1/3016本讲稿第十六页，共二十页例例3.设一个正三棱锥的侧面和底面的交角为设一个正三棱锥的侧面和底面的交角为60o，则棱锥的侧棱和底面的夹角的余弦值是多少，则棱锥的侧棱和底面的夹角的余弦值是多少？分析：设分析：设OD=1则则OC=2在在RtSODRtSOD中中SO=ODtan60SO=ODtan60o o=在在RtSOCRtSOC中中SC=SC=cosSCO=OC/SC=2/=2/72023/1/3017本讲稿第十七页，共二
8、十页练习练习1、判断正误：、判断正误：（1）正棱锥的侧面是正三角形；）正棱锥的侧面是正三角形；（2）正棱锥的侧面是等腰三角形；）正棱锥的侧面是等腰三角形；（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等；）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等；（5）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（6）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥体是棱锥2023/1/3018本讲稿第十八页，共二十页练习练习2（1）一正棱锥的所有侧面与底面所成的角为）一正棱锥的所有侧面与底面所成
9、的角为600，高是高是，则它的斜高为，则它的斜高为2（2）已知正三棱锥的底面边长为）已知正三棱锥的底面边长为a，过各侧棱中点，过各侧棱中点的截面面积为的截面面积为（3）一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面）一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为面积与底面面积之比为1：2，求棱锥的高被分成的，求棱锥的高被分成的两段的比。（自上而下）两段的比。（自上而下）16a22023/1/3019本讲稿第十九页，共二十页小结小结棱锥的定义棱锥的定义有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥面
10、所围成的几何体叫做棱锥棱锥的有关概念、表示方法、分类棱锥的有关概念、表示方法、分类正棱锥的性质正棱锥的性质（1）各侧棱相等）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形各侧面都是全等的等腰三角形（2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形正棱锥正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥棱锥的性质棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比2023/1/3020本讲稿第二十页，共二十页