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1、高二数学空间中向量的概念和运算本讲稿第一页，共四十二页 3.1课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标本讲稿第二页，共四十二页学习目标学习目标1.理理解解空空间间向向量量的的概概念念，掌掌握握空空间间向向量量的的几几何何表表示示方方法和字母表示方法法和字母表示方法2掌握空掌握空间间向量的向量的线线性运算，数量性运算，数量积积3能运用运算法能运用运算法则则及运算律解决一些及运算律解决一些简单简单几何几何问题问题本讲稿第三页，共四十二页课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1平面上有平面上有_和和_的量叫作向量，方向相的量叫作向量，方向相同且模同且
2、模_的向量称的向量称为为相等向量相等向量2向量可以向量可以进进行加减和数乘运算，向量加法行加减和数乘运算，向量加法满满足足_律和律和_律律大小大小方向方向相等相等交交换换结结合合本讲稿第四页，共四十二页1空空间间向量向量(1)空空间间向量的定向量的定义义在空在空间间，把具有，把具有_和和_的量叫作空的量叫作空间间向量，向量，向量的向量的_叫作向量的叫作向量的长长度或模度或模知新益能知新益能大小大小方向方向大小大小本讲稿第五页，共四十二页长长度度本讲稿第六页，共四十二页本讲稿第七页，共四十二页1空空间间两两向向量量的的加加减减法法与与平平面面内内两两向向量量的的加加减减法法完完全一全一样吗样吗？
3、提示：提示：一一样样因因为为空空间间中任意两个向量均可平移到同一中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空个平面内，所以空间间向量与平面向量加减法均可以用三向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四角形或平行四边边形法形法则则，是一，是一样样的的思考感悟思考感悟本讲稿第八页，共四十二页3空空间间向量加法的运算律向量加法的运算律(1)交交换换律：律：ab_.(2)结结合律：合律：(ab)ca(bc)4空空间间向量的数乘运算向量的数乘运算(1)定定义义：实实数数与与空空间间向向量量a的的乘乘积积_仍仍然然是是一一个个_，称，称为为向量的数乘运算向量的数乘运算(2)向量向量a与与a的关系的关系向量
4、向量baa本讲稿第九页，共四十二页的范的范围围方向关系方向关系模的关系模的关系0方向相同方向相同a的模是的模是a的模的的模的|倍倍0a0，其方向是任意，其方向是任意的的0方向相反方向相反本讲稿第十页，共四十二页AOBab本讲稿第十一页，共四十二页数乘向量与向量数乘向量与向量数量数量积积的的结结合律合律(a)b(ab)交交换换律律abba分配律分配律a(bc)abac本讲稿第十二页，共四十二页思考感悟思考感悟2(1)两两个个向向量量a、b垂垂直直的的充充要要条条件件是是ab0，对对吗吗？(2)若若ab0，则则a0或或b0，对吗对吗？提示：提示：(1)不不对对；(2)不不对对本讲稿第十三页，共四十
5、二页课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的加减运算空间向量的加减运算考点突破考点突破(1)计计算算两两个个空空间间向向量量的的和和或或差差时时，与与平平面面向向量量完完全全相相同同运运算算中中掌掌握握好好三三角角形形法法则则和和平平行行四四边边形形法法则则是是关关键键(2)计计算算三三个个或或多多个个空空间间向向量量的的和和或或差差时时，要要注注意意以以下下几点：几点：本讲稿第十四页，共四十二页三角形法三角形法则则和平行四和平行四边边形法形法则则；正确使用运算律；正确使用运算律；有限个向量有限个向量顺顺次首尾相次首尾相连连，则则从第一个向量的起点从第一个向量的起点指向最后一个向量的指向最后一个向量
6、的终终点的向量即表示点的向量即表示这这有限个向量有限个向量的和向量的和向量本讲稿第十五页，共四十二页例例例例1 1本讲稿第十六页，共四十二页本讲稿第十七页，共四十二页本讲稿第十八页，共四十二页【名名师师点点评评】化化简简向量表达式主要是利用平行四向量表达式主要是利用平行四边边形法形法则则或三角形法或三角形法则则在化在化简过简过程中遇到减法程中遇到减法时时可灵活可灵活应应用相反向量用相反向量转转化成加法，也可按减法法化成加法，也可按减法法则则进进行运算，加、减法之行运算，加、减法之间间可相互可相互转转化化本讲稿第十九页，共四十二页空间向量的线性运算空间向量的线性运算空空间间向向量量加加法法、减减
7、法法、数数乘乘向向量量的的意意义义及及运运算算律律与与平平面向量类似面向量类似本讲稿第二十页，共四十二页例例例例2 2【思路点【思路点拨拨】连连接接AM得到得到ADM，利用，利用线线段中点的向量段中点的向量表示和三角形的重心的意表示和三角形的重心的意义义，在，在ADM中开始中开始进进行向量运算行向量运算本讲稿第二十一页，共四十二页本讲稿第二十二页，共四十二页本讲稿第二十三页，共四十二页本讲稿第二十四页，共四十二页本讲稿第二十五页，共四十二页本讲稿第二十六页，共四十二页本讲稿第二十七页，共四十二页本讲稿第二十八页，共四十二页本讲稿第二十九页，共四十二页本讲稿第三十页，共四十二页本讲稿第三十一页，
8、共四十二页本讲稿第三十二页，共四十二页(1)对对向量的数量向量的数量积积的运算律的运算律应应注意以下几点：注意以下几点：要准确区分两向量数量要准确区分两向量数量积积的运算性的运算性质质与数乘向量与数乘向量实实数与数与实实数之数之积积之之间间的差异的差异数量数量积积运算不运算不满满足消去律足消去律若若a、b、c(b0)为实为实数，数，abbcac；但；但对对于向量，于向量，就不正确，即就不正确，即abbc ac.由由图图可以看出可以看出 向量的数量积及应用向量的数量积及应用本讲稿第三十三页，共四十二页本讲稿第三十四页，共四十二页例例例例3 3如如图图所所示示，已已知知平平行行六六面面体体ABCD
9、A1B1C1D1中中，底底面面ABCD是是边边长长为为a的的正正方方形形，侧侧棱棱AA1的的长长为为b，A1ABA1AD120，(1)求求AC1的的长长；(2)证证明：明：AC1BD.本讲稿第三十五页，共四十二页本讲稿第三十六页，共四十二页本讲稿第三十七页，共四十二页本讲稿第三十八页，共四十二页自我挑自我挑战战2在三棱在三棱锥锥SABC中，中，SABC，SBAC，求求证证：SCAB.本讲稿第三十九页，共四十二页本讲稿第四十页，共四十二页1在运用空在运用空间间向量的运算法向量的运算法则则化化简简向量表达式向量表达式时时，要，要结结合空合空间图间图形，形，观观察分析各向量在察分析各向量在图图形中的
10、表形中的表示，运用运算法示，运用运算法则则，化，化简简到最到最简为简为止止2证证明两向量共明两向量共线线的方法的方法为为：首先判断两向量中是否：首先判断两向量中是否有零向量若有，有零向量若有，则则两向量共两向量共线线；若两向量；若两向量a，b中，中，b0，且有，且有ab(R)，则则a，b共共线线方法感悟方法感悟本讲稿第四十一页，共四十二页3两向量的数量两向量的数量积积，其，其结结果是个数量，而不是向量，果是个数量，而不是向量，它的它的值为值为两向量的模与两向量两向量的模与两向量夹夹角的余弦角的余弦值值的乘的乘积积，其符号由其符号由夹夹角的余弦角的余弦值值决定决定4当当a0时时，由，由ab0不能推出不能推出b一定是零向量，一定是零向量，这这是因是因为为任一个与任一个与a垂直的非零向量垂直的非零向量b，都有，都有ab0，这这由向量的几何意由向量的几何意义义就可以理解就可以理解本讲稿第四十二页，共四十二页