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1、第五讲复变函数第1页，共30页，编辑于2022年，星期三&1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念&2.积分计算公式积分计算公式3.4 原函数与不定积分原函数与不定积分第2页，共30页，编辑于2022年，星期三 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域在单连通区域B内内解析，则对解析，则对B中任意曲线中任意曲线C,积分积分c fdz与路径无关，与路径无关，只与起点和终点有关。只与起点和终点有关。当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在B内变动内变动,c f(z)dz在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作
2、内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且第3页，共30页，编辑于2022年，星期三定义定义 若函数若函数 (z)在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在B内的原函数内的原函数.上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一个的一个原函数。原函数。设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章见第二章22例例3)3)第4页，共30页，编辑于
3、2022年，星期三2.积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f(z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续条件要强条件要强第5页，共30页，编辑于2022年，星期三例例1 计算下列积分：计算下列积分：解解1)第6页，共30页，编辑于2022年，
4、星期三解解2)第7页，共30页，编辑于2022年，星期三例例3 计算下列积分：计算下列积分：第8页，共30页，编辑于2022年，星期三小结小结 求积分的方法求积分的方法第9页，共30页，编辑于2022年，星期三 利用利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上基本定理在多连通域上的推广的推广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭的有力工具，
5、而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法路积分的方法.内内 容容 简简 介介3.5 Cauchy积分公式积分公式第10页，共30页，编辑于2022年，星期三分析分析DCz0C1第11页，共30页，编辑于2022年，星期三DCz0C1猜想积分猜想积分第12页，共30页，编辑于2022年，星期三定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)证明证明第13页，共30页，编辑于2022年，星期三第14页，共30页，编辑于2022年，星期三A 第15页，共30页，编辑于2022年，星期三A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值.第16页，共30页，编
6、辑于2022年，星期三例例1解解第17页，共30页，编辑于2022年，星期三例例2解解CC1C21xyo第18页，共30页，编辑于2022年，星期三例例3解解 第19页，共30页，编辑于2022年，星期三内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。变函数有本质区别。6 解析
7、函数的高阶导数解析函数的高阶导数第20页，共30页，编辑于2022年，星期三形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。第21页，共30页，编辑于2022年，星期三定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。第22页，共30页，编辑于2022年，星期三令为令为I第23页，共30页，编辑于2022年，星期三第24页，共30页，编辑于2022年，星期三依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得第25页，共30页，编辑于2022年，星期三一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。第26页，共30页，编辑于2022年，星期三例例1解解第27页，共30页，编辑于2022年，星期三第28页，共30页，编辑于2022年，星期三第29页，共30页，编辑于2022年，星期三作业vP100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)第30页，共30页，编辑于2022年，星期三