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1、复变函数与积分变换第五章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望&1.留数的定义留数的定义&2.留数定理留数定理&3.留数的计算规则留数的计算规则5.1 留数留数(Residue)的奇点的奇点所围成的区域内含有所围成的区域内含有)(zfC0z一、留数的引入一、留数的引入设设C为区域为区域D内内包含包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线)(f dzzc未必为未必为0,0,z所围成的区域内解析所围成的区域内解析在在)(Cf =.的某去心邻域的某去心邻
2、域:D内的内的Laurent展式展式:在在0(P49例例3.3)0(柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)定义定义设设 z0 为为 f(z)的孤立奇点，的孤立奇点，f(z)在在 z0去心去心邻域内的罗朗级数中负幂次项邻域内的罗朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f(z)在在 z0 的的留数留数，记作，记作 Res f(z),z0。由留数定义由留数定义,Res f(z),z0=c1(1)综上综上，的系数的系数-01)(-zz展式中负幂项展式中负幂项Laurent二、利用留数求积分二、利用留数求积分1.1.留数定理留数定理 设函数设函数 f(z)在区域在区域D内除有限个孤立奇
3、点内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析外处处解析.C是是D内包围诸奇点的一条正内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线向简单闭曲线,则则Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明证明两边同时除以两边同时除以 得，得，如图如图,由复合闭路原理由复合闭路原理求沿闭曲线求沿闭曲线C积分积分求求C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.注注1(1)如如果果为为的的可去奇点可去奇点,一般规则说明一般规则说明：2.2.留数的计算规则留数的计算规则成成Laurent级数求级数求(2)如果如果为为的的本性奇点本性奇点,展开展开则需将则需将(3)如如果果为为的的极点极点,则有如下计算方法：则有如下计算方
4、法：1)1)应用应用Laurent展式展式2)2)求求n n级极点的一般方法级极点的一般方法(求导运算求导运算)1)1)应用应用Laurent展式展式例例5.1解解如果如果 为为 的的 级极点级极点,规则规则2 2那末那末如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则1 12)2)求求n n级极点的一般方法级极点的一般方法（当（当 m=1=1时就是时就是规则规则1)1)规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有解解例例2例例3 3解解例例2解解思考题思考题思考题答案思考题答案例例3解解A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运
5、用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。如如是是f(z)的三级极点的三级极点。-该方法较规则该方法较规则2更简单！更简单！注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数说明说明记作记作1.1.定义定义 设函数设函数在圆环域在圆环域内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，=p p-Czzfid)(21.证证由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)包含在包含在 2.定理定理如果函数如果函数在扩充复平面内只有有限个在扩充复
6、平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.证毕证毕说明说明:由定理得由定理得(留数定理留数定理)计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.优点优点:使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则4 4说明说明:定理定理5.2和规则和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭
7、曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周:于是有于是有证证内除内除在在外无其他奇点外无其他奇点.证毕证毕例例5 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:函数函数在在的外部的外部,除除点外没有点外没有其他奇点其他奇点.解解 根据定理根据定理 5.2与规则与规则4:与以下解法作比较与以下解法作比较:被积函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部,所以所以由规则由规则3 可见可见,利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解 除除被积函数被积函数点外点外,其他奇点为其他奇点为由于由于与与
8、1在在C的内部的内部,则则所以所以 5.2 留数在定积分中的应用留数在定积分中的应用其中其中 注意注意:对对 的要求的要求,分母分母Q(x)次数比分子次数比分子P(x)至至少高两次，少高两次，是函数是函数 在在上半平面上半平面内的有限个孤内的有限个孤立奇点；立奇点；注意注意:对对 的要求的要求,分母比分子至少高一次，分母比分子至少高一次，是函数是函数 在在上半平面上半平面内的有限个孤立奇点；内的有限个孤立奇点；思想方法思想方法:封闭路线的积分封闭路线的积分.两个重要工作两个重要工作:1)积分区域的转化积分区域的转化2)被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复
9、变函数沿某条注意：其中注意：其中 是函数是函数 在在单位圆单位圆内的有限个孤立内的有限个孤立奇点。奇点。形如当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周z的有理函数的有理函数,且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零,满足留数定满足留数定理的条件理的条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.例例5.1 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由当当 充分小时充分小时,总有总有 即即记住以下常用结果：记住以下常用结果：作作 业业P120 2；5（1）(2),3