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1、等差数列的前项和概念解析1本讲稿第一页，共二十七页1已知等差数列an满足 a2a44，a3a510，则它的前 10 项的和 S10()CA138B135C95D232在等差数列an中，已知 S1590，那么 a8 等于()A3B4C6D12 C2本讲稿第二页，共二十七页3已知等差数列an满足 a1a2a1010，则有()CAa1a1010Ca1a1010Ba1a1010Da51514在等差数列an中，已知 a6a3a8，则前 9 项和 S9 等于()DA3B2C1D05在等差数列an中，a3a927a6，Sn 表示数列an的前 n 项和，则 S11()BA18B99C198D2973本讲稿第三
2、页，共二十七页重点等差数列前 n 项和的性质(1)若an成等差数列，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，(k2)也成等差数列难点求等差数列的前n 项和Sn 的最值(1)根据项的正负来定：若 a10，d0，则数列的所有正数项之和最大；若 a10，d0，则数列的所有负数项之和最小4本讲稿第四页，共二十七页5本讲稿第五页，共二十七页等差数列的前 n 项和的性质及应用例 1：等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为()A30B170C210D260思维突破：(1)把问题特殊化，即令m1 来解(2)利用等差数列的前n 项和公式Snna1n(
3、n1)2d 进行求解6本讲稿第六页，共二十七页(3)借助等差数列的前n 项和公式Snn(a1an)2及性质mnpqamanapaq 求解(4)根据性质：“已知an成等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，(k2)成等差数列”解题(5)根据Snan2bn 求解(6)运用等差数列求和公式，Snna1n(n1)2d 的变形式解题7本讲稿第七页，共二十七页解法一：取m1，则a1S130，a2S2S170，da2a140，a3a2d7040110，S3a1a2a3210.8本讲稿第八页，共二十七页由及结合，得S3m210.解法四：根据上述性质，知Sm，S2mSm，S3mS2m 成
4、等差数列故Sm(S3mS2m)2(S2mSm)，S3m3(S2mSm)210.9本讲稿第九页，共二十七页解法五：an为等差数列，设Snan2bn，Smam2bm30，S2m4m2a2mb100，S3m9m2a3mb210.解法六：由Snna1n(n1)2d，10本讲稿第十页，共二十七页B11.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9()A63B45C36D27答案：C11本讲稿第十一页，共二十七页12.等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S22，S410，则S6 等于()CA12B18C24D42等差数列前 n 项和的最值问题例 2：在等差数列an中，a
5、125，S17S9，求 Sn 的最值12本讲稿第十二页，共二十七页等差数列前n 项和的最值问题除了用二次函数求解外，还可利用下面的方法讨论：若d0，a10，当且仅当an0 且an10 时，Sn 有最小值；若d0，a10，当且仅当an0 且an10 时，Sn 有最大值取最值时，应考虑n 在正整数范围内取值由二次函数的性质可知，当n13时，Sn有最大值为169.13本讲稿第十三页，共二十七页21.数列an是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负(1)求数列的公差；(2)求前 n 项和 Sn 的最大值；(3)当 Sn0 时，求 n 的最大值14本讲稿第十四页，共二十七页S662
6、3，(2)d0，数列an是递减数列，又a60，a70，当n6 时，Sn 取得最大值，652(4)78.(3)Sn23nn(n1)2(4)0，整理得：n(252n)0，0n252又 nN*，所求n 的最大值为12.15本讲稿第十五页，共二十七页等差数列前 n 项和的实际应用例 3：一个等差数列的前 10 项之和 100，前 100 项之和为10，求前 110 项之和解法一：设等差数列an的公差为d，前n 项和Sn，则16本讲稿第十六页，共二十七页17本讲稿第十七页，共二十七页解法二：设等差数列的前n 项和为SnAn2Bn，18本讲稿第十八页，共二十七页解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，1
7、9本讲稿第十九页，共二十七页S110110.20本讲稿第二十页，共二十七页31.(2010 年浙江)等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前n 项和为 Sn，满足 S5S6150.(1)若 S55，求 S6 及 a1；(2)求 d 的取值范围21本讲稿第二十一页，共二十七页(2)S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2 9da110d210.故(4a19d)2d28.d28.22本讲稿第二十二页，共二十七页例 4：已知一个等差数列an的通项公式 an255n，求数列|an|的前 n 项和 Sn.23本讲稿第二十三页，共二十七页错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an
8、0 得，n5理解为n5，得出结论：Sna1a2a3a4a550(n5)，Sn(205n)(n5)2；(2)把“前 n 项和”认为“从n6 起”的和事实上，本题要对n 进行分类讨论正解：由an0 得n5，an前5 项为非负，从第6 项起为负，当n6时，24本讲稿第二十四页，共二十七页41.已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和，Sn12nn2.(1)求|a1|a2|a3|；(2)求|a1|a2|a3|a10|；(3)求|a1|a2|a3|an|.25本讲稿第二十五页，共二十七页解：Sn12nn2，当n1 时，a1S112111，当n2 时，anSnSn1(12nn2)12(n1)(n1)2132n，当n1 时，132111a1，an132n.由an132n0，得 n132，当1n6 时，an0；当n7 时，an0.(1)|a1|a2|a3|a1a2a3S31233227；26本讲稿第二十六页，共二十七页27本讲稿第二十七页，共二十七页