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1、等差数列的前项和本讲稿第一页，共十七页问题提出 从一加到一百有什么方法加最快呢？高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果.S100=1 +2+3+4+98+99+100 =100+99+98+97+3+2+1这两个等式上、下对应的和均为101，所以.2S100=101+101+101+101+101+101因为有100个101，所以.2S100=101100=10100S100=5050本讲稿第二页，共十七页问题提出有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:1,2,3,4,
2、设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则:Sn=1+2+3+4+n本讲稿第三页，共十七页抽象概括设Sn是等差数列an的前n项和，即那么根据等差数列an的通项公式，上式可以写成：再把项的次序反过来，又可以写成本讲稿第四页，共十七页把，等号两边分别相加，得n个于是，首项为a1，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.本讲稿第五页，共十七页将代入式，得特别地，当a1=1，d=1时，n个连续正整数的和本讲稿第六页，共十七页圆木料问题，即转化为求满足的最大自然数n此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.本讲稿第七页，共十七页 例7
3、 7：求n个正奇数的和.解解:由等差数列前n项和公式,得也可用面积图来表示本讲稿第八页，共十七页 例8 8：在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?本讲稿第九页，共十七页解解(1)(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为an,由题意可知an是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板(2)由等差数列前n项和公
4、式,得前9圈一共有石板答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.本讲稿第十页，共十七页例例9 9 在数列an中,an=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值.解 由于 .所以数列an是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项,所求和为本讲稿第十一页，共十七页例例10 10 在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程?.解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m)组成了一个数列0,20,40,60,3
5、80,这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和答 植树工人共走了3800 m的路程.本讲稿第十二页，共十七页例例11 11 九江抗洪指挥部接到预报,24时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指挥员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24时.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20分能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24时内能否构筑成第二道防线?解 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:h)依次为:本讲稿第十三页，共十七页这是一个等差数列,25辆车可以完成的工作量为:需要完成的工作量为:因此,在24小时内能构筑成第二道防线.本讲稿第十四页，共十七页1 已知一个数列的前n项和为解：当求它的通项公式,它是等差数列吗?当n=1时,1(n=1),2n(n2),数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数.an 不是等差数列.本讲稿第十五页，共十七页2 已知两个等差数列an与bn,它们的前n项和的比为解：设本讲稿第十六页，共十七页倒序求和法推导等差数列前n项和公式本讲稿第十七页，共十七页