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1、等差数列前项和的性质本讲稿第一页，共二十九页1.1.等差数列的递推公式是什么？等差数列的递推公式是什么？an1an12an（n2）an an1d（n2）【问题提出】【问题提出】2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？在结构上是关于在结构上是关于n的一次函数的一次函数.ana1(n1)dam(nm)dpnk.本讲稿第二页，共二十九页3.等差数列前等差数列前n项和的两个基本公式是什么？项和的两个基本公式是什么？4.深入研究等差数列的概念与前深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，
2、我们将对此内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究作些简单探究.本讲稿第三页，共二十九页思考思考1：若若数列数列an的前的前n和和 那么数列那么数列an是等差数列是等差数列吗吗？an是等差数列是等差数列【知识探究】【知识探究】知识探究（一）知识探究（一）等差数列与前等差数列与前n项和的关系项和的关系本讲稿第四页，共二十九页思考思考2：将等差数列前将等差数列前n项项和公式和公式看作是一个关于看作是一个关于n的函数，的函数，这这个函数有什么特点？个函数有什么特点？当当d0时时，Sn是常数是常数项为项为零的二次函数零的二次函数.本讲稿第五页，共二十九页思考思考3：一般地，若数列
3、一般地，若数列an的前的前n和和SnAn2Bn，那么数列，那么数列an是等差数列是等差数列吗吗？若？若SnAn2BnC 呢？呢？（1）数列）数列an是等差数列是等差数列 SnAn2Bn（2）数列）数列an 的前的前n项项和是和是SnAn2BnC，则则：若若C0，则则数列数列an是等差数列；是等差数列；若若C0，则则数列数列an从第从第2项项起是等差数列。起是等差数列。本讲稿第六页，共二十九页思考思考4：若若an为为等差数列，那么等差数列，那么 是什么数列？是什么数列？数列数列an是等差数列是等差数列 为为等差数列等差数列 即等差数列即等差数列an的前的前n项项的平均的平均值组值组成的数列仍然成
4、的数列仍然是等差数列，且公差是数列是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。的公差的一半。本讲稿第七页，共二十九页知识探究（二）知识探究（二）等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质思考思考1：在等差数列在等差数列an中，每中，每连续连续k项项的和的和组组成的数列，成的数列，即数列即数列a1a2ak，ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k，是等差数列是等差数列吗吗？性性质：若数列若数列an是是等差数列等差数列，那么数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k,仍然仍然成等差数列成等差数列本讲稿第八页，共二十九页思考思考3：在等差数列在等差数列an中，中，设设S偶偶a2a4a2n，
5、S奇奇a1a3a2n1，则则S偶偶S奇奇与与 等于什么？等于什么？S偶偶S奇奇nd思考思考2：在等差数列在等差数列an中，中，Sn，S2n，S3n三者之三者之间间有什么有什么关系？关系？S3n3(S2nSn)本讲稿第九页，共二十九页思考思考4：设等差数列等差数列an、bn的前的前n项项和分和分别为别为Sn、Tn，则 等于什么？等于什么？思考思考5：在等差数列在等差数列an中，若中，若a10，d0，则则Sn是否存在最是否存在最值值？如何确定其最？如何确定其最值值？当当ak0，ak10时时，Sk为最大为最大.本讲稿第十页，共二十九页【题型分类【题型分类 深度剖析】深度剖析】题型题型1 1：等差数列
6、前等差数列前n n项和性质的简单应用项和性质的简单应用例例1：（1）若一个等差数列前）若一个等差数列前3项的和为项的和为34，最后，最后3项的和项的和为为146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则该数列有，则该数列有()项。项。A.13 B.12 C.11 D.10本讲稿第十一页，共二十九页变式探究变式探究1.已知等差数列已知等差数列an满足满足a1+a2+a3+a101=0，则有，则有()A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差数列等差数列an 前前n项和项和Snan2(a1)na2，则则an .3.等差数列等差数列an中，已知中，已知
7、S42，S87，则，则S12=_；本讲稿第十二页，共二十九页4.等差数列等差数列an的前的前m项的和为项的和为30，前，前2m项的和为项的和为100，则它，则它的前的前3m项的和为项的和为()A.130 B.170 C.210 D.2605.等差数列等差数列an中，中，Sn是其前是其前n项和，项和，a12011，则，则S2011的值为的值为()A.0 B.2011 C.2011 D.20112011本讲稿第十三页，共二十九页题型题型2 2：等差数列最值问题等差数列最值问题例例2：等差数列等差数列an中，中，a1本讲稿第十五页，共二十九页小结：小结：求等差数列求等差数列an前前n项和项和Sn的最
8、值常用方法：的最值常用方法：方法方法1：二次函数性质法，即求出二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质讨论二次函数的性质方法方法2：讨论数列讨论数列an 的通项，找出正负临界项。的通项，找出正负临界项。（1）若）若a10，d0，则，则Sn有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0且且an+10;本讲稿第十六页，共二十九页变式探究变式探究1.首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列an，它的前，它的前3项和与前项和与前11项和相项和相等，则此数列前等，则此数列前
9、_项和最大？项和最大？2.等差数列等差数列an 前前n项和项和Sn中，以中，以S7最大，且最大，且|a7|0的的n的最大值为的最大值为_3.等差数列等差数列an中，已知中，已知|a7|=|a16|=9，且，且a14=5，则使，则使an0时，求时，求n的最大值；的最大值；本讲稿第十八页，共二十九页题型题型3 3：等差数列中的等差数列中的a an n与与SnSn的关系的关系例例3：Sn，Tn分分别别是等差数列是等差数列an、bn的前的前n项项的和，的和，且且 ，则则 .本讲稿第十九页，共二十九页1.已知两个等差数列已知两个等差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为An和和Bn，且，且 ，则
10、使得，则使得 为整数的正整数为整数的正整数n的个数是的个数是()A2 B3 C4 D5变式探究变式探究本讲稿第二十页，共二十九页例例4：已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn12nn2，求数列，求数列|an|的的前前n项和项和Tn.当当n1时，时，a1S1121211；当；当n2时，时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，时适合上式，an的通项公式为的通项公式为an132n.由由an132n0，得，得n ，即当即当1n6(nN*)时，时，an0；当；当n7时，时，an0.解析：解析：题型题型4 4：求等差数列的前求等差数列的前n n项的绝对值之和项的绝对
11、值之和 本讲稿第二十一页，共二十九页(1)当当1n6(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当当n7(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.本讲稿第二十二页，共二十九页变式探究变式探究1数列数列an中，中，a18，a42，且满足，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)设设Sn|a1|a2|an|，求，求Sn.(1)由由an22an1an0得，得，2an1anan2，所以数列所以数列an是等差数列，是等差数列，d 2，an2n10，nN*.解析：解析：本讲稿第二十三页，共二十九页当当n6，nN*时，时，本讲稿第二十四页，共二十九页题型题型5 5：等差数列的综合应用等差数列的综合应用本讲稿第二十五页，共二十九页22得得4anan2an122an2an1，即即(anan1)(anan12)0.an0，anan10，anan12，数列数列an是首项为是首项为1，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，an1(n1)22n1.本讲稿第二十六页，共二十九页本讲稿第二十七页，共二十九页变式探究变式探究本讲稿第二十八页，共二十九页本讲稿第二十九页，共二十九页