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1、三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理第1页，本讲稿共17页复习回顾 讲授新课巩固新课9.4.2 三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理PCBA导入新课第2页，本讲稿共17页A1B1C1A D D1BC 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。思考：思考：1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？2、总结：第3页，本讲稿共17页三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。OaA
2、P已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：求证：apAapA第4页，本讲稿共17页OaAP证明：aPAa平面PAOPA平面PAOPO a AOaPOaPOAO=O第5页，本讲稿共17页小结：小结：OaAP定理中需要“一面、四线、三垂直”三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）垂线最重要 线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直第6页，本讲稿共17页PAOa问题：问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？三垂线定理中包含那些垂直关系？线面垂直线面垂直线斜垂直线斜垂直线射垂直线射垂直 第7页，本讲稿共17页 注意：注意：直线直线a 一定要在平面内，如果
3、一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。不在平面内，定理就不一定成立。a例如：当例如：当 b 时，时，bOA探讨探讨：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件去掉，的条件去掉，结论仍然成立吗？结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于不垂直于OP bPAO第8页，本讲稿共17页PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC
4、BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC第9页，本讲稿共17页三垂线定理解题的关键：找“三垂”一、找线面垂直一、找线面垂直二、找平面的斜线在平面二、找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直解解题题回回顾顾PAOa第10页，本讲稿共17页线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第11页，本讲稿共17页 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，A
5、O是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理第12页，本讲稿共17页三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理第13页，本讲稿共17页 若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线
6、，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （）练习：判断下列命题的真假：ADCBA1D1C1B1第14页，本讲稿共17页例2 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，第15页，本讲稿共17页小结：小结：三垂线定理及其逆定理使用三垂线定理及其逆定理时应注意的问题：作业：作业：课本24页 1、2第16页，本讲稿共17页复习回顾：复习回顾：1、直线和平面垂直的定义及判定定理、直线和平面垂直的定义及判定定理 2、斜线的定义、斜足、直线在平面内的、斜线的定义、斜足、直线在平面内的射影。射影。Allmn思考：平面内有没有直线与平面的一条斜线垂直？如果有，有多少条？平面内的直线应该满足怎样的条件？第17页，本讲稿共17页