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1、复习回顾 讲授新课巩固新课三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理PCBA导入新课A1B1C1A D D1BC 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。 思考：思考：1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？ 2、总结：三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。直。OaAP已知 ：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。求证：求证：apAapAOaA
2、P证明：aPAa平面PAOPA平面PAOPO a AOaPOaPOAO=O小结：小结：OaAP定理中需要“一面、四线、三垂直”三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）垂线最重要 线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOa问题：问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？三垂线定理中包含那些垂直关系？ 线面垂直线面垂直线斜垂直线斜垂直线射垂直线射垂直 注意：注意： 直线直线a 一定要在平面内，如一定要在平面内，如果果 a 不在平面内，定理就不一定成不在平面内，定理就不一定成立。立。a例如：当例如：当 b 时，时， bOA探讨探讨：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件的条件去掉
3、，结论仍然成立吗？去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于不垂直于OP bPAOPCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点， PA平面平面ABC ，AC BC， 求证：求证： PC BC证明：证明： P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC三垂线定理解题的关键：找“三垂”一、找线面垂直一、找线面垂直二、找平面的斜线在平面二、找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条
4、直线垂直解题回顾解题回顾PAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的
5、射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理 若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （ ） 若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影， 则 ab （ ） 若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （ ） 若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （ ）练习：判断下列命题的真假：ADCBA1D1C1B1例2 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBCDOBC，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，小结：小结：三垂线定理及其逆定理使用三垂线定理及其逆定理时应注意的问题：作业：作业：课本24页 1、2复习回顾：复习回顾：1、直线和平面垂直的定义及判定定理、直线和平面垂直的定义及判定定理 2、斜线的定义、斜足、直线在平面、斜线的定义、斜足、直线在平面内的射影。内的射影。 Allmn思考：平面内有没有直线与平面的一条斜线垂直 ？如果有，有多少条？平面内的直线应该满足怎样的条件？