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1、高等数学映射与函数高等数学映射与函数1本讲稿第一页，共五十二页一、集合一、集合(1)定义定义组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.(3)符号符号(4)表示表示 列举法列举法 描述法描述法(5)常用集合常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.1.1.集合概念集合概念(2)有限集和无限集有限集和无限集映射与函数映射与函数2本讲稿第二页，共五十二页不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集,规定空集为任何集合的子集规定空集为任何集合的子集.(6)关系关系子集子集(包含包含),相等相等,2.2.集合的运算集合的运算 并
2、并,交交,(1)基本运算基本运算BAIBAIAB=x|x A 且且 x BAB=x|x A 或或 x B映射与函数映射与函数3本讲稿第三页，共五十二页 补补,直积或笛卡儿乘积直积或笛卡儿乘积:差差,ABIAB=x|x A且且x BABIAB映射与函数映射与函数4本讲稿第四页，共五十二页(2)运算法则运算法则交换律交换律:结合律结合律:分配律分配律:对偶律对偶律:映射与函数映射与函数5本讲稿第五页，共五十二页3.3.区间和邻域区间和邻域开区间开区间(a,b):(1)(1)有限区间有限区间闭区间闭区间 a,b:半开区间半开区间 a,b):半开区间半开区间(a,b:映射与函数映射与函数6本讲稿第六页
3、，共五十二页(2)(2)无限区间无限区间映射与函数映射与函数7本讲稿第七页，共五十二页(3)(3)邻域邻域点点a的邻域的邻域U(a):):以点以点a为中心为中心的任何开区间的任何开区间.点点a的的邻域邻域U(a,):):U(a,)的实质的实质:U(a,)=(a,a+).点点a的左的左 邻域邻域:(a,a).点点a的右的右 邻域邻域:(a,a+).问题问题：如何用邻域表示：如何用邻域表示(1,2)呢？呢？映射与函数映射与函数8本讲稿第八页，共五十二页二、映射二、映射 引例引例(1)(1)一个班里有一个班里有6名男同学名男同学,记为记为X=1,2,6，入，入学时分配宿舍，共有学时分配宿舍，共有4个
4、房间可供分配，记为个房间可供分配，记为Y=301,302,303303,304我们确定分配方案如下：我们确定分配方案如下：1301，2,3302，4,5303，6304 引例引例(2)设设X=Y=1,2,3,4，规定对应法则：，规定对应法则：12，23，34，41 共同之处共同之处:在两个集合在两个集合X和和Y之间建立了一种对应关系之间建立了一种对应关系,使对使对X中的中的每一个元素每一个元素,有有Y中一个唯一确定的元素与它对应。中一个唯一确定的元素与它对应。映射与函数映射与函数9本讲稿第九页，共五十二页1.1.映射概念映射概念(1)定义定义(2)要素要素设设X、Y是是两两个个非非空空集集合合
5、，若若存存在在一一个个法法则则f，使使 得得对对X中中每每个个元元素素x，按按 照照法法 则则f，在在Y中中有有唯唯一一确确定定的的元元素素y与与 之之 对对 应应，则则 称称f为为从从X到到Y的映射，记作的映射，记作 f:X Y如，如，X=三角形三角形，Y=圆圆，f：X Y,对每个对每个x X,有唯一确定的有唯一确定的y(x的外接圆的外接圆)Y与之对应与之对应.映射与函数映射与函数10本讲稿第十页，共五十二页注记注记映射与函数映射与函数11本讲稿第十一页，共五十二页(3)满射、单射和双射满射、单射和双射(一一一映射一映射)满射满射：单射单射：双射双射（一一映射）：（一一映射）：既是单射，又是
6、满射既是单射，又是满射.Rf=Y,即即Y中任一元素都是中任一元素都是X中某元素的像；中某元素的像；映射与函数映射与函数12本讲稿第十二页，共五十二页补例补例1 1 设设X是一切非负实数所成的集合，是一切非负实数所成的集合，Y=y y R,0 y1，f是从是从X到到Y的一个映射，的一个映射，证明：证明：f是从是从X到到Y的一一映射。的一一映射。f(x)=证明证明:设设y Y，取，取x=，因为，因为0 y0)确定确定y是是x的二值函数。的二值函数。对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为以将它化为单值函数，这样得到的
7、单值函数称为多值函数的多值函数的单值分支单值分支。映射与函数映射与函数20本讲稿第二十页，共五十二页例例函数函数 y=2yxo1y=2映射与函数映射与函数21本讲稿第二十一页，共五十二页例例6绝对值函数绝对值函数yxo1-11y=|x|映射与函数映射与函数22本讲稿第二十二页，共五十二页例例符号函数符号函数yxo11映射与函数映射与函数23本讲稿第二十三页，共五十二页例例8函数函数xyo21y=f(x)分段函数分段函数映射与函数映射与函数24本讲稿第二十四页，共五十二页补例补例2 2 设设A、B两地之间的长途电话费在最初的两地之间的长途电话费在最初的3分钟分钟是是6.60(元元),),以后的每
8、分钟以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计不足一分钟按一分钟计)另加另加1.20(元元).).显然长途电话费显然长途电话费C(单位单位:元元)是通话时间是通话时间t(单位单位:分钟分钟)的函数的函数.试写出函数的公式表示试写出函数的公式表示,并描绘它的图形。并描绘它的图形。解：解：记长途电话费为记长途电话费为C(t)由于由于t0，于是函数的，于是函数的定义域为定义域为(0,+)从给出的信息，我们有从给出的信息，我们有 映射与函数映射与函数25本讲稿第二十五页，共五十二页取整函数取整函数 y=x其中其中x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数.1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1
9、4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线例例9映射与函数映射与函数26本讲稿第二十六页，共五十二页例例10 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数映射与函数映射与函数27本讲稿第二十七页，共五十二页2.2.函数的几种特性函数的几种特性(1)有界性有界性定义定义映射与函数映射与函数28本讲稿第二十八页，共五十二页说明说明 有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念命题命题1：比如，比如，y=1/x 在在(1,+)有界，在有界，在(0,1)内无界内无界(无上无上界界,但有下界但有下界).).函数函数(x)在在X上有界的充分必要条件是它在上有界的充
10、分必要条件是它在X上既有上既有上界又有下界。上界又有下界。映射与函数映射与函数29本讲稿第二十九页，共五十二页(2)函数的单调性函数的单调性xyo定义定义单调增加单调增加(或单调减少或单调减少).xyo注意注意函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对性概念(x1)(x2)映射与函数映射与函数30本讲稿第三十页，共五十二页(3)函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数yxox-x定义定义则称则称 f(x)为为偶函数偶函数(或或奇函数奇函数).奇函数奇函数yxox-x f(-x)=f(x)(或或f(-x)=-f(x)注意注意:有非奇非偶的函数有非奇
11、非偶的函数映射与函数映射与函数31本讲稿第三十一页，共五十二页补例补例3 3 判别判别的奇偶性。的奇偶性。分析分析 补例补例4 4 试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。分析分析 设设(x),g(x)为两偶函数为两偶函数,即即(-x)=(x),g(-x)=g(x).记记h(x)=(x)+g(x),则则 h(-x)=(-x)+g(-x)=(x)+g(x)=h(x),故两偶函数之和为偶函数。故两偶函数之和为偶函数。映射与函数映射与函数32本讲稿第三十二页，共五十二页(4)函数的周期性函数的周期性通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周
12、期;设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，若存在一个正数，若存在一个正数 l，定义定义恒成立，则称恒成立，则称 f(x)为周期函数，为周期函数，l 称为称为f(x)的周期的周期xyoxf(x)x+lf(x+l)说明说明 并非每个周期函数都有最小正周期并非每个周期函数都有最小正周期如狄利克雷如狄利克雷(Dirichlet)函数。函数。映射与函数映射与函数33本讲稿第三十三页，共五十二页DWDW.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数反函数定义定义设函数设函数 f:Df(D)是单射，则称其逆映射是单射，则称其逆映射为函数为函数 f 的反函数的反函数映射与函数映射与函数34本讲稿第三十
13、四页，共五十二页说明说明反函数的习惯表示法反函数的习惯表示法 若直接函数若直接函数 y=f(x)，xD，直接函数与反函数的单调性直接函数与反函数的单调性 具有一致性具有一致性直接函数与反函数的图形特点直接函数与反函数的图形特点 y=x 关于直线关于直线y=x对称对称映射与函数映射与函数35本讲稿第三十五页，共五十二页()复合函数复合函数定义定义设函数设函数 y=f(u)，函数函数 u=g(x)，则称函数则称函数为由函数为由函数u=g(x)和函数和函数 y=f(u)构成的复合函数构成的复合函数说明说明(1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即
14、两个函数的复合是有条件的；个函数的复合是有条件的；(2)函数复合可以推广到多个函数函数复合可以推广到多个函数问题问题：y=arcsinu 和和u=2+x2和能否复合？和能否复合？映射与函数映射与函数36本讲稿第三十六页，共五十二页补例补例5 5 设设f(x)的定义域是的定义域是(0,1)，试求复合函数，试求复合函数f(lnx)的定义域。的定义域。分析分析 y=(lnx)由由y=(u)和和u=lnx复合而成，复合而成，0lnx1，解出，解出1xe故故f(lnx)的定义域为的定义域为(1,e)f(u)与与f(x)的定义域一样的，即的定义域一样的，即0u1，所以，所以，补例补例6 6设设映射与函数映
15、射与函数37本讲稿第三十七页，共五十二页.函数的运算函数的运算设函数设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为的定义域依次为D1,D2,且且则可定义则可定义 f(x)和和 g(x)的下列运算：的下列运算：例例1111 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为(-l,l)，证明必存在，证明必存在(-l,l)上的偶函数上的偶函数 g(x)及奇函数及奇函数 h(x)，使得，使得 f(x)=g(x)+h(x).映射与函数映射与函数38本讲稿第三十八页，共五十二页.初等函数初等函数(1)基本初等函数基本初等函数 幂函数幂函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函三角函数和反三角函数统
16、称为数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.映射与函数映射与函数39本讲稿第三十九页，共五十二页 指数函数指数函数映射与函数映射与函数40本讲稿第四十页，共五十二页 对数函数对数函数映射与函数映射与函数41本讲稿第四十一页，共五十二页 三角函数三角函数正弦函数正弦函数映射与函数映射与函数42本讲稿第四十二页，共五十二页余弦函数余弦函数映射与函数映射与函数43本讲稿第四十三页，共五十二页正切函数正切函数映射与函数映射与函数44本讲稿第四十四页，共五十二页余切函数余切函数映射与函数映射与函数45本讲稿第四十五页，共五十二页 反三角函数反三角函数映射与函数映射与函数46本讲稿第四十六页，共五十
17、二页映射与函数映射与函数47本讲稿第四十七页，共五十二页映射与函数映射与函数48本讲稿第四十八页，共五十二页映射与函数映射与函数49本讲稿第四十九页，共五十二页(2)初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次的四则有限次的四则运算运算和和有限次的函数复合有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为示的函数，称为初等函数初等函数.补例补例7 7说明说明本课程内所讨论的函数大都是初等函数本课程内所讨论的函数大都是初等函数映射与函数映射与函数50本讲稿第五十页，共五十二页四、小结四、小结1.基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,映射映射,函数函数.2.2.函数特性函数特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.基本初等函数的特性基本初等函数的特性.映射与函数映射与函数51本讲稿第五十一页，共五十二页3.基本运算基本运算集合运算集合运算,求函数定义域求函数定义域,求函数值求函数值,简单函数作图简单函数作图,判别函数的有界性判别函数的有界性、奇偶性，求函数的单调区间，奇偶性，求函数的单调区间，求周期函数的周期，求周期函数的周期，求反函数求反函数,函数复合与分解，函数复合与分解，建立实际问题的函数关系建立实际问题的函数关系四、小结四、小结52本讲稿第五十二页，共五十二页