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1、高等数学集合与函数本讲稿第一页，共三十四页本讲稿第二页，共三十四页第一节 集合与函数一、集合 数集二、函数三、函数的初等性质四、函数的运算五、初等函数六、小结本讲稿第三页，共三十四页一、集合、数集一、集合、数集（1 1）集合）集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.（2 2）集合的元素：）集合的元素：组成这个集合的事物。组成这个集合的事物。（3 3）集合表示方法）集合表示方法无限集无限集有限集有限集（4 4）相互关系）相互关系1.1.集合集合本讲稿第四页，共三十四页2.2.两种常见数集两种常见数集（1 1）区间（略）区间（略）（2 2）邻域）邻域：a)定义：定义：本讲稿
2、第五页，共三十四页b)几何解释几何解释 c)本讲稿第六页，共三十四页二、函数二、函数例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)本讲稿第七页，共三十四页因变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域 1.1.概念概念本讲稿第八页，共三十四页自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.本讲稿第九页，共三十四页 (1)符号函数符号函数2.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo本
3、讲稿第十页，共三十四页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线本讲稿第十一页，共三十四页(3)取最值函数取最值函数yxoyxo本讲稿第十二页，共三十四页在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.(4)本讲稿第十三页，共三十四页例例1 1解解故故本讲稿第十四页，共三十四页设设函函数数 在在集集合合 上上有有定定义义，若若存存在在正正常常数数 ，使得对任意使得对任意 ，有，
4、有 （或对任意（或对任意 有有 ），则则称称 在在 上上有有上上界界（或或有有下下界界），且且称称 为为 在在 上上的的一一个个上上界界(或或下下界界)。若若 存在，使得对任意存在，使得对任意 有有 ，则则称称 在在 上上有有界界；否否则则称称 为为 上上的的无无界界函数。函数。三、函数的特性三、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:本讲稿第十五页，共三十四页M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX注：有界的概念与数集紧密相关注：有界的概念与数集紧密相关 本讲稿第十六页，共三十四页2 函数的单调性函数的单调性:xyo本讲稿第十七页，共三十四页xyo本讲稿第十八页，共三十四页3
5、函数的奇偶性函数的奇偶性（前提是定义域关于原点对称（前提是定义域关于原点对称）偶函数偶函数yxox-x本讲稿第十九页，共三十四页奇函数奇函数yxox-x本讲稿第二十页，共三十四页4 函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.本讲稿第二十一页，共三十四页(1)反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成称此映射称此映射为为 f 的的反函数反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数其反函数(减减)(减减).).1)yf(x)单调递增单调递增且也单
6、调递增且也单调递增 性质性质:四、反函数四、反函数本讲稿第二十二页，共三十四页2)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称.例如例如,对数函数对数函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数指数函数本讲稿第二十三页，共三十四页五五 基本初等函数基本初等函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数三角函数 反三角函数反三角函数本讲稿第二十四页，共三十四页六六 复合运算、初等函数复合运算、初等函数1.1.复合函数：复合函数：设函数设函数 的定义域的定义域分别为分别为 的值
7、域为的值域为W，且，且W .则称函则称函数数 由函数由函数 及及 复合而成复合而成 内函数内函数外函数外函数本讲稿第二十五页，共三十四页注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的函数的;函数能复合需满足：函数能复合需满足：W 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.本讲稿第二十六页，共三十四页例例1 1解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)本讲稿第二十七页，共三十四页例例2 2本讲稿第二十八页，共三十四页例例3 3解解本讲稿第二十九页，共三
8、十四页综上所述综上所述本讲稿第三十页，共三十四页 由常数及基本初等函数经有限次四则运算由常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。2 2 初等函数初等函数本讲稿第三十一页，共三十四页六、小结六、小结基本概念基本概念 集合集合,区间区间,邻域邻域函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性 有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数基本初等函数基本初等函数复合运算、初等函数复合运算、初等函数本讲稿第三十二页，共三十四页思考题思考题本讲稿第三十三页，共三十四页思考题解答思考题解答设设则则故故本讲稿第三十四页，共三十四页