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1、函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 主要内容：主要内容：一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法 ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：从导数的几何意义考察函数的单调性：定理定理1严格单调严格单调(2)(2)区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性不影响区间的严格单调性.例如例如,注意注意:(1)(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；仍然成立；例例1.1.解解注意注意:函数的单调性是一个区间上
2、的性质函数的单调性是一个区间上的性质,要用要用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.导数在这一区间上的符号来判定导数在这一区间上的符号来判定,而不能用而不能用令令得得把把 分成两个区间分成两个区间例例2.解解:单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点也可能是导数不存在的点.说明说明:把函数的定义域区间分成若干个区间，把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤总结求单调区间的步骤1写出函数的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求出导函数的零点、和导数不存在的点求出导函数的零点、和导数不
3、存在的点(不可导点不可导点)3以导数等于零的点、不可导点为分点，以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。从而确定函数在每个区间内的单调性。解解:令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间为区间为练习练习解解5/21例例4 4证证注注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。一些不等式。练习练习.证明证明时时,成立不等式成立不等式证证:令令从而从而因此因此且且二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上
4、方。所张弦的上方。图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方。所张弦的下方。问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?定义定义1 1 设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹的凹的;(2)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凸的凸的.18曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定定理定理2 2定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(1)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.证证:设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数只证只证(
5、2)由定义只须证：由定义只须证：只须证：只须证：只须证：只须证：记作记作 只须证：只须证：定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(1)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.证证:设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数只证只证(2)由定义只须证：由定义只须证：只须证：只须证：分别在区间分别在区间上应用拉格朗日中值定理上应用拉格朗日中值定理 得得这说明这说明 在在 I 内单调递减内单调递减.21例例5 判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解上是凸的上是凸的.22例例6解解注意到注意到,定义定义定义定义2 2
6、 2 2 若连续曲线若连续曲线 在其上一点在其上一点的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 的的拐点拐点.xyoy=f(x)注：注：拐点是凹弧与凸弧的分界点拐点是凹弧与凸弧的分界点证证注意注意:例如例如,例如例如,yxoyxo1写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2求出二阶导函数的零点、和不存在的点求出二阶导函数的零点、和不存在的点3检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性注意注意判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：例例7.7.求曲线求曲线的凹凸
7、区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1)求求2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别列表判别故该曲线在故该曲线在及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸,点点(0,1)及及均为拐点均为拐点.凹凹凹凹凸凸例例8 8 讨论讨论 的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点.解：解：xyo1x00不存在不存在y凸凸 拐点拐点凹凹非拐点非拐点凹凹曲线的曲线的凹凸性凹凸性反映的是反映的是不等式不等式关系：关系：(1)若曲线的图形是若曲线的图形是凹凹的（即的（即 ），则有），则有(2)若曲线的图形是若曲线的图形是凸凸的（即的（即 ），则有），则有注：注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。利用凹凸性也可以证明一些不等式。例例9 9解解31例例102.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上凹凸弧的分界点连续曲线上凹凸弧的分界点小结小结1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增