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1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院 本讲概要本讲概要函数函数单调性单调性函数极值的定义函数极值的定义函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法3.3 3.3 函数的单调性和极值函数的单调性和极值 设函数设函数 y = f (x)在在 a,b 上连续，在上连续，在( (a,b) )内可导，内可导，定理定理一一. .函数的单调性函数的单调性 0fx 0fx 且且 （或（或 ），则），则 f (x)在在 a,b 上上是单调是单调增加（或单调减少）。增加（或单调减少）。例例1 1 判定函数判定函数 的单调性。的单调性。 1fxxx 函数函数 f(x)
2、 在定义域在定义域(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)内连续，内连续， fx f(x) 在在(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)内都是单调增加的。内都是单调增加的。由函数的单调性的判定定理，得由函数的单调性的判定定理，得解解0 211x 例例2 2 判定函数判定函数 的单调性。的单调性。 1xf xex 函数函数 f(x) 的的定义域为定义域为( (-,+-,+) )， fx 则则 f(x) 在在( (-,0-,0) )内单调减少。内单调减少。解解 0fx 令令，0 x 得得 在在( (-,0-,0) )， 0fx ， 则则 f(x) 在在( (0,+0,+) )内单调增加。内单调增加
3、。 在在( (0,+0,+) )， 0fx ，1xe (3)以这些点为分界点以这些点为分界点，将定义域分为若干个将定义域分为若干个子区间子区间,列表判断列表判断各个区间内各个区间内f (x)的符号，从而判的符号，从而判定出定出 f (x) 的单调性的单调性.求函数的单调性的步骤：求函数的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)求出使求出使 f (x) = 0 和和 f (x) 不存在的点不存在的点；例例3 3求函数求函数 的单调区间。的单调区间。 32693f xxxx 定义域为定义域为( (-,+-,+) ) fx 解解 0fx 令令，1213xx 解解得得，。 313
4、xx 1213xx 用用，将将定定义义域域分分区区间间，列列表表x fx f x ,1 1 1,33 3, 0023129xx 2343xx 练习练习 求函数求函数 的单调区间。的单调区间。 42105f xxx 定义域为定义域为( (-,+-,+) ) 3420fxxx 解解 0fx 令令，123055xxx 解解得得，。 245x x x fx f x ,5 5 5,0 0 0, 5 5 5, 000列表列表例例4 4 判定函数判定函数 的单调性。的单调性。3yx 函数的函数的定义域为定义域为( (-,+-,+) )23yx 解解0 x 除除去去点点外外，0y 内单调增加。内单调增加。 函
5、数函数 在在( (-,+-,+) )3yx 注意注意在在( (a,b) )内的有限个点处为零，而在内的有限个点处为零，而在 如果如果 fx 其余点处均为正，则其余点处均为正，则f (x)在在( (a,b) )内仍是单调增加的。内仍是单调增加的。如果对于如果对于x0近旁的任意近旁的任意x(xx0)， 设函数设函数 f (x)在区间在区间(a,b)内有定义，内有定义，x0是是(a,b)内的内的二二. . 函数极值的定义函数极值的定义f (x0)是函数是函数f (x)的一个的一个极大值极大值，定义定义 则则f (x0)是函数是函数f (x)的一个的一个极小值极小值，一个点。如果对于一个点。如果对于x
6、0近旁的任意近旁的任意x(xx0)，f (x)f (x0)均成立，均成立， 做做f (x)的一个的一个极大点极大点。点点x0叫叫 函数的极大值与极小值统称为极值。函数的极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。下图中找到函数下图中找到函数f (x)在在a,b的极值、最值。的极值、最值。 极值是极值是局部性局部性的概念，最值是的概念，最值是整体性整体性的概的概念。念。极值不唯一，最值唯一；极值不唯一，最值唯一； 函数极值一定在区间的函数极值一定在区间的内部内部，在区间的端，在区间的端点处不能取得极值；点处不能取得极值；说
7、明：说明：函数的极大值不一定比极小值函数的极大值不一定比极小值大大； 而函数的最大值和最小值可能出现在区间的而函数的最大值和最小值可能出现在区间的内部，也可能出现在区间的端点处。内部，也可能出现在区间的端点处。 设函数设函数 f (x)在点在点x0可导，且在可导，且在x0取得极取得极 00fx 。三三. .函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法 使导数为零的点（即方程使导数为零的点（即方程 00fx 定义定义定理定理值，则函数值，则函数 f (x)在点在点x0的导数的导数 根）称为函数根）称为函数 f (x)的驻点。的驻点。的实的实定理定理2 2（极值判定定理一）（极值判定定理一） 00fx
8、 ，当当x x0时，时， ， 0fx 0fx 当当x x0时，时， ， 0fx 0fx 在在x0两侧，两侧， 不变号，则不变号，则f (x0)不是函数的不是函数的 fx 可导，且可导，且 如果如果 设函数设函数 f (x)在点在点x0近旁近旁 则则f (x0)是函数的极大值；是函数的极大值； 则则f (x0)是函数的极是函数的极小小值；值； 极值极值。可能的极值点可能的极值点x0 ：0(2)()fx 若若不不存存在在。0(1)() =fx 若若0 0；思考思考: :驻点驻点不可导点不可导点 判定函数的单调性和极值的步骤：判定函数的单调性和极值的步骤： 求定义域；求定义域； 求出一阶导，找到可能
9、的极值点；求出一阶导，找到可能的极值点； 列表讨论列表讨论: :用用极值的判定定理一极值的判定定理一, ,判定子区间判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化：内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化： 如果由增变减，则是极大值；如果由增变减，则是极大值； 如果由减变增，则是极小值。如果由减变增，则是极小值。 如果两侧单调性不变，则不是极值。如果两侧单调性不变，则不是极值。例例5 5求函数求函数 的极值。的极值。 32693f xxxx 定义域为定义域为( (-,+-,+) ) fx 解解 0fx 令令，1213xx 解解得得，。 313xx 23129xx x fx f x
10、,1 1 1,33 3, 00利用极值判定定理一通过列表讨论如下：利用极值判定定理一通过列表讨论如下：极大值极大值极小值极小值13则函数的极大值则函数的极大值 ，极小值为，极小值为 11f 33f 。例例6 6求函数求函数 的极值。的极值。 3211f xx 定义域为定义域为( (-,+-,+) ) fx 解解 0fx 令令，11x 解解得得， 22611x xx 22312xx 20 x ，31x 。利用极值判定定理一通过列表讨论如下：利用极值判定定理一通过列表讨论如下：则极小值则极小值 ， 00f 无极值无极值极小值极小值0无极值无极值1311xx ， 不是极值点。不是极值点。x fx f x , 1 1 1,0 0 0,1 1 1, 000函数函数单调性单调性函数极值的定义函数极值的定义函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法小结小结作业作业 习题习题3.43.4 1 1(2)(3)(2)(3)