《第四章量子力学算符精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章量子力学算符精选文档.ppt（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第四章量子力学算符第四章量子力学算符本讲稿第一页，共七十七页1 1 表示力学量的算符表示力学量的算符 （一）算符引进（一）算符引进1 1、力学量平均值、力学量平均值 2 2、常见力学量算符、常见力学量算符 本讲稿第二页，共七十七页（一）算符引进（一）算符引进l当可能值为离散值时当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的值乘上相应的几率求和；几率求和；当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各一个物理量出现的各种可能值乘上相应的种可能值乘上相应的几率密度求积分。几率密度求积分。基于波函数的几率含义，基于
2、波函数的几率含义，我们马上我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。三维。在统计物理中知道：在统计物理中知道：1.力学量平均值本讲稿第三页，共七十七页（1 1 1 1）坐标平均值）坐标平均值）坐标平均值）坐标平均值为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，则点的几率密度，则对三维情况对三维情况，设，设(r)(r)是归一化波
3、函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现在是粒子出现在 r r 点点的几率密度，则的几率密度，则x x的平均值为的平均值为（2 2）动量平均值）动量平均值一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函数，相是归一化波函数，相应动量表象波函数为应动量表象波函数为本讲稿第四页，共七十七页2 2、常见力学量算符、常见力学量算符、常见力学量算符、常见力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次
4、量子化）。（称为第一次量子化）。（1 1）动量算符）动量算符既然既然(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数是归一化波函数，相应动量表象波函数为为c(pc(px x)一一 一一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用的平均值也应可以在坐标表象用(x)(x)表示出来。但是表示出来。但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，动量来确定动量平均值，动量 p px x必须改造成只含必须改造成只含自变量自变量 x x 的形式，这种形式称为动量的形式，这种形式称为动量 p
5、 px x的算符形式，记为的算符形式，记为本讲稿第五页，共七十七页一维情况：一维情况：一维情况：一维情况：本讲稿第六页，共七十七页比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数(r)(r)描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：须改造成动量算符形式：三维情况：三
6、维情况：本讲稿第七页，共七十七页由归一化波函数由归一化波函数由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)(r)(r)求求求求 力学量平均值时，必须把该力学力学量平均值时，必须把该力学力学量平均值时，必须把该力学力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在量的算符夹在量的算符夹在量的算符夹在*(r)(r)(r)(r)和和和和(r)(r)(r)(r)之间之间之间之间,对全空间积分，即对全空间积分，即对全空间积分，即对全空间积分，即F 是任一 力学量算符本讲稿第八页，共七十七页（2 2 2 2）动能算符）动能算符）动能算符）动能算符（3 3）角动量算符）角动量算符本讲稿第九页，共七十七页（4 4）Hamil
7、ton Hamilton 算符算符本讲稿第十页，共七十七页代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 u=v 表示 把函数 u 变成 v，就是这种变 换的算符。1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商，故称为微商算符。2）x u=v，x 也是算符。它对 u 作用 是使 u 变成 v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：做相应的运算才有意义，例如：（二）算符的概念和性能（二）算符的概
8、念和性能1、算符的概念本讲稿第十一页，共七十七页（7 7）逆算符逆算符（8 8）算符函数算符函数（9 9）复共轭算符复共轭算符（1010）转置算符转置算符（1111）厄密共轭算符厄密共轭算符（1212）厄密算符厄密算符（1 1 1 1）线性算符线性算符线性算符线性算符（2 2）算符相等算符相等（3 3 3 3）算符之和算符之和算符之和算符之和（4 4 4 4）算符之积算符之积算符之积算符之积（5 5）对易关系对易关系（6 6 6 6）对易括号对易括号对易括号对易括号2、算符的一般特性本讲稿第十二页，共七十七页（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意
9、复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的 算符 称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即=，则算符 和算符 相等记为=。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。本讲稿第十三页，共七十七页（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符 、对体系的任何波函数 有：(+)=+=则+=称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和
10、满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton 算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。本讲稿第十四页，共七十七页（4 4）算符之积）算符之积若若()=()=则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来一般来说算符之算符之积不不满足足 交交换律，即律，即 这是算符与通常数运算是算符与通常数运算 规则的唯一不同之的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称称 与与 不不对易。易。显然二者结果不相等，所以:对易关系本讲稿第十五页，共七十七页量子力学中最基本的 对易关系。若算符满足=-，则称 和 反对易。写成通式:但是坐标算符与其
11、非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，易，与与 对易，不能推知易，不能推知 与与 对易与否。例如：易与否。例如：本讲稿第十六页，共七十七页（6 6）对易括号）对易括号为了表述了表述简洁，运算便利和研究量子，运算便利和研究量子 力学与力学与经典力学的关系，人典力学的关系，人们定定义了了 对易括号：易括号：,-这样一来，坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。本讲稿第十七页，共七十七
12、页（7 7）逆算符）逆算符a.定义:设=,能够唯一的解出 ,则可定义 算符 之逆 -1 为:-1 =并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.b.b.性性质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则 -1-1=-1-1 =I =I,-1-1=0 =0 证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.C.性质 II:若,均存在逆算符,则()-1=-1-1本讲稿第十八页，共七十七页例如例如例如例如:设给定一函数 F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可
13、定可定义算符算符 的函数的函数 F(F()为:（9）复共轭算符复共轭算符算符算符的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭.例如例如:坐坐标表象中表象中（8 8）算符函数）算符函数本讲稿第十九页，共七十七页利用波函数标准条件:当|x|时,0。由于、是 任意波函数,所以同理可同理可证:（1010）转置算符转置算符本讲稿第二十页，共七十七页(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符由此可得：由此可得：:转置算符置算符 的定的定义厄密共轭 算符亦可 写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以可以证明明:()+=+(.)+=.+本讲稿第二
14、十一页，共七十七页(12)(12)厄密算符厄密算符1.定定义:满足下列关系足下列关系 的算符称的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性性质性性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则 (+)+=+=(+)性性质 II:两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算符算符,除非二算符除非二算符对易。易。因因为 ()+=+=仅当当 ,=0 成立成立时,()+=才成立。才成立。本讲稿第二十二页，共七十七页（1 1）动量算符的厄密性）动量算符的厄密性 （2 2）动量本征方程）动量本征方程 （3 3）箱归一化）箱归一化2 2 动量算符动量算符本
15、讲稿第二十三页，共七十七页（1）动量算符的厄密性量算符的厄密性使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程量本征方程其分量形式：证：由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。本讲稿第二十四页，共七十七页I.求解求解这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。如果取如果取|c|2(2)3=1则 p(r)就可就可 归一化一化为-函数。函数。解之得到如下一组解：于是：于是：II.归一化系数的确定一化系数的确定采用分离变量法，令：采用分离变量法，令：代入代入动量本征方程量本征方程且等式两且等式两边除以
16、除以该式，得：式，得：本讲稿第二十五页，共七十七页xyzAAoL（3）箱）箱归一化一化在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A,AA,A上加上其波函数相等的条件，此边界上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为为一的，而只能归一化为-函数。函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。归一，这种方法称为箱归一化。周
17、期性边界条件周期性边界条件这表明，px 只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。本讲稿第二十六页，共七十七页所以所以 c=L-3/2，归一化的本征函数一化的本征函数为：波函数波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c 可由可由归一化条件来确定：归一化条件来确定：本讲稿第二十七页，共七十七页讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况：(a)A(b)A(c)yx（2 2）由）由 p px x=2n=2nx x /L,p/L,py y=2n=2ny y /L,p/L,pz z=2n=2nz z /L,/L,可以看
18、可以看出，相邻两本征值的间隔出，相邻两本征值的间隔 p=2 p=2 /L /L 与与 L L 成反比。当成反比。当 L L 选的足够大选的足够大时，本征值间隔可任意小，时，本征值间隔可任意小，当当 L L 时，本征值变成为连续时，本征值变成为连续谱。谱。（3 3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归归一化为一化为 函数函数（4 4）p p(r)exp(r)expiEt/iEt/就是自由粒子波函数，在它所描就是自由粒子波函数，在它所描写的状写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在
19、这个态中的本征值。符在这个态中的本征值。（5 5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。本讲稿第二十八页，共七十七页（一）厄密算符的平均（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性（三）厄密算符本征函数的正交性 （四）（四）实例例3 3 厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与本征函数本讲稿第二十九页，共七十七页定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的
20、算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：取取=1 1+c+c2 2，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。（一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值本讲稿第三十页，共七十七页因为对任 意波函数左式左式=右式右式令令c=1，得：，得：令令c=i，得：，得：二式相加得：二式相加得：二式相减得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：本讲稿第三十一
21、页，共七十七页（1 1）涨落）涨落因因为是厄密算符是厄密算符必必为实数数因而因而也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均厄密算符平方的平均值一定大于等于零一定大于等于零于是有：于是有：（2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。可把常数记为Fn，把状态 记为n，于是得：其其中中F Fn n,n n 分分别别称称为为算算符符 F F的的本本征征值值和和相相应应的的本本征征态态，上上式式即即是是算算符符F F的的本本征征方方程程。求求解解时时，作作为力学
22、量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：证明：（二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程本讲稿第三十二页，共七十七页定理定理IIII：厄密算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定IIIIII根据定理 I(I)(I)量子力学中的力学量用线性
23、厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的(如宇称、自旋等），将由量子力学如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。本身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II)(II)测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即即测测量量值值是是本本征值之一），该本征值由力学量算符
24、征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出：本讲稿第三十三页，共七十七页（1 1）正交性）正交性定理定理III：厄密算符属于不同本征厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交证：设取复共轭，并注意到 Fm 为实。两边右乘 n 后积分二式相减二式相减 得：得：若若mFn，则必有：必有：证毕（2 2）分立）分立谱、连续谱正交正交归一表示式一表示式1.分立谱正 交归一条 件分别为：2.连续谱正 交归一条 件表示为：3.正交正交归一系一系满足上式的函数系足上式的函数系 n 或或 称称为正交正交归一（函数）系。一（函数）系。（三）厄密算符的本征函数的正交性（
25、三）厄密算符的本征函数的正交性本讲稿第三十四页，共七十七页（4）简并情况并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1,n2 n2,.,.,nfnf 满足本征方程：一般说来，这些函数 并不一定正交。可可以以证证明明由由这这 f f 个个函函数数可可以以线线性性组组合合成成 f f 个个独独立立的的新新函函数数，它们仍属于本征值
26、它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是证证明明由由这 f 个个n i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 n j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件：证明分证明分如下两如下两步进行步进行1.1.nj nj 是本征是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2.满足正交足正交归一条件的一条件的 f 个新函数个新函数n j可以可以组成。成。本讲稿第三十五页，共七十七页1.1.njnj是本征是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2.满足正交足正交归一条件的一条件的f个新函数个新函数nj可以可以组成。成。方程的归一化条件有 f 个，正交条
27、件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2。为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质是：简并的本质是：当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，符，F F 算符与这些算符两两对易，其本征值算符与这些算符两两对易，其本征值与与 F Fn n 一起共同确定状态。一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下
28、结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为因为 f f2 2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们有多种可能来的个数，因而，我们有多种可能来确定这确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函数个新函数nj nj 的确是算的确是算符
29、符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的本征函数。的正交归一化的本征函数。本讲稿第三十六页，共七十七页（2 2）线性性谐振子能量本征函数振子能量本征函数组成正交成正交归一系一系（1 1）动量本征函数量本征函数组成正交成正交归一系一系（3 3）角）角动量本征函数量本征函数组成正交成正交归一系一系1.L1.Lz z 本征函数本征函数2.L2.L2 2本征函数本征函数（4 4）氢原子波函数原子波函数组成正交成正交归一系一系（四）实例（四）实例本讲稿第三十七页，共七十七页（一）力学量的可能（一）力学量的可能值（二）力学量的平均（二）力学量的平均值（1 1）力学量算符本征函数力学
30、量算符本征函数组成完成完备系系 （2 2）力学量的可能力学量的可能值和相和相应几率几率 （3 3）力学量有确定力学量有确定值的条件的条件4 4 算符与力学量的关系算符与力学量的关系（三）例（三）例题本讲稿第三十八页，共七十七页量量子子力力学学基基本本假假定定IIIIII告告诉诉人人们们，在在任任意意态态(r)(r)中中测测量量任一力学量任一力学量 F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的本征方程的本征方程解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。但是但是还有有 两点两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚：1.1.测得每个本征得每个本征值n n的几率是多少？也就是的几率是多少
31、？也就是说，哪些本征，哪些本征值能能够测到，到，对应几几率率是是多多少，少，哪些哪些测不到，几率不到，几率为零。零。2.是否会出是否会出现各次各次测量都得到同一个本征量都得到同一个本征值，即有确定，即有确定值。要解决上述问题，我们还得从讨论 本征函数的另一 重要性质入手。(1)(1)力学量算符本征函数力学量算符本征函数组成完成完备系系1.函数的完函数的完备性性有一组函数n(x)(n=1,2,.),如果任意函数(x)可以按这组函数展开:则称称这组函数函数n(x)是完是完备的。的。例如：例如：动量本征函数量本征函数 组成完成完备系系（一）力学量的可能值（一）力学量的可能值本讲稿第三十九页，共七十七
32、页2.2.力学量算符的本征函数力学量算符的本征函数组成完成完备系系(I)(I)数数学学中中已已经经证证明明某某些些满满足足一一定定条条件件的的厄厄密密算算符符其其本本征征函函数数组组成成完完备备系系（参参看看：梁梁昆昆淼淼，数数学学物物理理方方法法P324P324；王王竹竹溪溪、郭郭敦敦仁仁，特特殊殊函函数数概概论论1.10 1.10 用用正正交函数组展开交函数组展开 P41 P41），即若：），即若：则任意函数(x)可 按n(x)展开：(II)(II)除上面提到的动量本征函数外除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示
33、：算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。本讲稿第四十页，共七十七页（2）力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率现现在在我我们们再再来来讨讨论论在在一一般般状状态态 (x)(x)中中测测量量力力学学量量F F，将将会会得得到到哪哪些些
34、值值，即即测测量量的的可可能能值值及其每一可能值对应的几率。及其每一可能值对应的几率。根根据据量量子子力力学学基基本本假假定定IIIIII，测测力力学学量量 F F 得得到到的的可可能能值值必必是是力力学学量量算算符符 F F的的本本征征值值 n n n n=1,2,.1,2,.之一之一,该本征值由本征方程确定：该本征值由本征方程确定：而每一本征值n各以一定几率出现。那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。由于n(x)组成完备系，所以体系 任一状态(x)可按其展开：展开系数 cn 与x无关。为求为求 c cn n ，将，将m m*(x)(x)乘上式并对乘上式并对 x x 积分积分得：
35、得：讨论：讨论：与波函数(x)按动量本征函数 展开式比较二者完全相同我们知道：我们知道：(x)(x)是坐标空间的波函数；是坐标空间的波函数；c(p)c(p)是动量空间的波函数；是动量空间的波函数；则则 c cn n 则是则是 F F 空间的波函数，空间的波函数，三者完全等价。三者完全等价。本讲稿第四十一页，共七十七页证明：当证明：当(x)(x)已归一时，已归一时，c(p)c(p)也是归一的，也是归一的，同样同样 c cn n 也是归一的。也是归一的。证：所所以以|c|cn n|2 2 具具有有几几率率的的意意义义，c cn n 称称为为几几率率振振幅幅。我我们们知知道道|(x)|(x)|2 2
36、 表表示示在在x x点点找找到到粒粒子子的的几几率率密密度度，|c(p)|c(p)|2 2 表表示示粒粒子子具具有有动动量量 p p 的的几几率率，那那末末同同样样，|c|cn n|2 2 则则表表示示 F F 取取 n n 的几率。的几率。量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV综上所述，综上所述，量子力学作量子力学作如下假定：如下假定：任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数n n(x)(x)组成正交成正交归一完一完备系，系，在任意已在任意已归一一态(x)(x)中中测量力学量量力学量 F F 得到本征得到本征值n n 的的几率等于几率等于(x)(x)按按n n(x)(x)
37、展开式：展开式：中中对应本征函数本征函数n n(x)(x)前的系数前的系数 c cn n 的的绝对值平方。平方。本讲稿第四十二页，共七十七页（3 3）力学量有确定力学量有确定值的条件的条件推推论：当体系：当体系处于于(x)态时，测量力学量量力学量F具有确定具有确定值的的 充要条件是充要条件是(x)必必须是算符是算符 F的一个本征的一个本征态。证：1.必要性。若必要性。若F具有确定具有确定值 则(x)必必为 F 的本征的本征态。确定值的意思就是 每次测量都为。根据根据基本假定基本假定III，测量量值必必为本征本征值之一，之一，令令=m 是是 F 的一个本征的一个本征值，满足本征方程足本征方程又根
38、据又根据基本假定基本假定 IV，n(x)组成完成完备系，系，且测得可能值是：1,2,.,m 相应几率是：|c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.。现在只测得现在只测得m m，所以，所以|c|cm m|2 2=1,|c=1,|c1 1|2 2=|c=|c2 2|2 2=.=0=.=0（除（除|c|cm m|2 2外）。外）。于是得于是得(x)=(x)=m m(x)(x)，即，即(x)(x)是算符是算符 F F 的一个本征态。的一个本征态。本讲稿第四十三页，共七十七页2.2.充分性。若充分性。若(x)(x)是是 F F的一个本征的一个本征态，即，即 (x)=(x)=m m(x)(x)，则 F F
39、 具有确定具有确定值。根据基本假定根据基本假定IVIV，力学量算符，力学量算符 F F 的本征函数组成完备系。的本征函数组成完备系。所以所以测得得n 的几率是的几率是|cn|2。因为因为表明，表明，测量量 F 得得m 的几率的几率为 1，因而有确定因而有确定值。本讲稿第四十四页，共七十七页力学量平均值就是指多次测量的平均结果，力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度如测量长度 x x，测了，测了 10 10 次，其中次，其中 4 4 次得次得 x x1 1，6 6 次得次得 x x2 2，则，则 10 10 次测量的平均值为：次测量的平均值为：如果波函数如果波函数未未归一化一化同样，在
40、任一态(x)中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上）可写为：则这两种求平均 值的公式都要 求波函数是已 归一化的此式等价于 以前的平均 值公式：（二）力学量的平均值（二）力学量的平均值本讲稿第四十五页，共七十七页薛定谔的猫：薛定谔的猫：“一只猫关在一个钢盒内，盒中有下述极残忍的装置（必须保证此装置不受猫的直接干扰）：在盖革计数器中有一小块辐射物质，它非常小，或许在1 小时内只有一个原子衰变。在相同的几率下或许没有一个原子衰变。如果发生衰变，计数管便放电，并通过继电器释放一锤，击碎 一个小的氢氰酸瓶。如果人们使这整个系统自己存在1 个小时，那么人们会说，如果在期间没有原子衰变，这猫就是活的。而
41、第一次原子衰变必定会毒杀了猫”。根据量子力学，盒内整个系统处于两种态的叠加|u=|e|死猫+|g|活猫本讲稿第四十六页，共七十七页例：设例：设例：设例：设t=0 t=0 t=0 t=0 时，粒子的状态为时，粒子的状态为时，粒子的状态为时，粒子的状态为 (x)=A sin(x)=A sin(x)=A sin(x)=A sin2 2 2 2kx+(1/2)coskx kx+(1/2)coskx kx+(1/2)coskx kx+(1/2)coskx 求粒子的平均动量和平均动能。求粒子的平均动量和平均动能。求粒子的平均动量和平均动能。求粒子的平均动量和平均动能。解：解：可写成单色可写成单色平面波的叠
42、平面波的叠加加比较二式，因比较二式，因单色平面波动单色平面波动量有确定值：量有确定值：或：或：本讲稿第四十七页，共七十七页从而得：从而得：归一化后。归一化后。|c(p|c(pi i)|)|2 2 表示粒子具有动量为表示粒子具有动量为 p pi i 的几率，于是就可以计算动量和动能的的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。平均值了。本讲稿第四十八页，共七十七页（1 1）动量平均值）动量平均值（2 2）动能平均值）动能平均值本讲稿第四十九页，共七十七页7 7 共同本征函数（一）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件（二）两算符对
43、易的物理含义 （三）力学量完全集合返回返回本讲稿第五十页，共七十七页（一）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态 （x x x x）时，力学量）时，力学量）时，力学量）时，力学量 F F F F 一般没有确定值。一般没有确定值。一般没有确定值。一般没有确定值。如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值，（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值，则则 必必也是也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即结论：结论：
44、当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定值，那么时，如果同时具有确定值，那么 必是必是 二力学量共同本征函数。二力学量共同本征函数。本讲稿第五十一页，共七十七页（二）两算符对易的物理含义所以所以？是特定函数，非任意函数也！例如：例如：l=0 =0 的态，的态，Y Y m m=Y=Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式
45、：本讲稿第五十二页，共七十七页定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征的本征的本征的本征函数系，则二算符对易。函数系，则二算符对易。函数系，则二算符对易。函数系，则二算符对易。证：证：由于由于 n n 组成完备系，所以任意组成完备系，所以任意态函数态函数 (x)(x)可以按其展开：可以按其展开：则则因为因为 (x)(x)是是任意函数任意函数本讲稿第五十三页，共七十七页逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则
46、此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数。证：证：考察：考察：n n 也是也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （n=1 n=1，2 2，)也都是也都是 G G 的本的本征函数征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系.仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：与 n 只差一常数 Gn本讲稿第五十四页，共七十七页定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的一组力学量算符具有共
47、同完备本征函数系的一组力学量算符具有共同完备本征函数系的一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。充要条件是这组算符两两对易。充要条件是这组算符两两对易。充要条件是这组算符两两对易。例例 1 1：例例 2 2：本讲稿第五十五页，共七十七页例例 3 3：例例 4 4：本讲稿第五十六页，共七十七页（三）力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三维空间中自由粒子，
48、完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：三个两两对易的力学量：例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学量就可一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。的本征函数，即体系的任何状态
49、均可用它展开。本讲稿第五十七页，共七十七页6 6 测不准关系测不准关系（一）测不准关系的严格推导（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系（二）坐标和动量的测不准关系 本讲稿第五十八页，共七十七页（一）测不准关系的严格推导（一）测不准关系的严格推导（一）测不准关系的严格推导（一）测不准关系的严格推导（1 1）引）引由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不
50、确定到两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？什么程度？即不确定度是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的大小。的偏差的大小。（1 1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导证：证：本讲稿第五十九页，共七十七页II II 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：是算符或普通数本讲稿第六十页，共七十七页最后有：最后有：对任意实数 均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：的条件是系数必须满足下列关系：两