量子力学第四章精选文档.ppt

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1、量子力学第四章1本讲稿第一页，共六十八页第四章第四章第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象 4.1 4.1 态的表示态的表示 4.24.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示 4.34.34.34.3 矩阵性质矩阵性质 4.4 4.4 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 4.5 4.5 4.5 4.5 幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）4.6 4.6 4.6 4.6 态随时间变化的幺正变换态随时间变化的幺正变换态随时间变化的幺正变换态随时间变化的幺正变换 4.7 4.7 海森伯绘景与薛定谔绘景海森伯绘景与

2、薛定谔绘景 4.8 4.8 狄拉克符号狄拉克符号 4.9 4.9 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 RETURNRETURNRETURNRETURN2本讲稿第二页，共六十八页第四章第四章第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象 表象：态和力学量的具体表示方式称为表象表象：态和力学量的具体表示方式称为表象 4.1 4.1 4.1 4.1 态的表示态的表示态的表示态的表示 量子力学中，任何一个量子态量子力学中，任何一个量子态 可以看成可以看成抽象的线性空间中的一个抽象的线性空间中的一个“矢量矢量”，体系的任，体系的任一组力学量完全集的共同本征函数（

3、记为一组力学量完全集的共同本征函数（记为 ，n代表一组量子数）可以构成此态空间的一组正代表一组量子数）可以构成此态空间的一组正交归一完备的基矢。交归一完备的基矢。nu3本讲稿第三页，共六十八页任何一个态任何一个态 （可知量）可按该基矢展开（可知量）可按该基矢展开 展开系数展开系数 其中其中 是矢量是矢量 在基在基 上的投影上的投影,这一组这一组数数 就是矢量就是矢量 在在Q Q表象中的表示表象中的表示,记为一矩阵形式记为一矩阵形式 nu na共轭矩阵为共轭矩阵为 4本讲稿第四页，共六十八页讨论：讨论：态矢量一般为复量，空间维数可以是无限维的，态矢量一般为复量，空间维数可以是无限维的，不可数的，

4、这种函数空间称希尔伯特空间。不可数的，这种函数空间称希尔伯特空间。若若 是归一化的，则是归一化的，则 即即5本讲稿第五页，共六十八页同一个态可以在不同的表象中表示，表象不同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。坐标表象：坐标表象：动量表象：动量表象：RETURNRETURNRETURNRETURN6本讲稿第六页，共六十八页 4.24.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示算符的矩阵表示 一、算符在一般表象中的表示一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示二、算符在自身表象中的表示 三算符表示矩阵

5、的性质三算符表示矩阵的性质RETURNRETURNRETURNRETURN7本讲稿第七页，共六十八页 4.24.24.24.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示 一、算符在一般表象中的表示一、算符在一般表象中的表示一、算符在一般表象中的表示一、算符在一般表象中的表示 设算符设算符 作用于函数作用于函数 后，得后，得出另一函数出另一函数 .在坐标表象中：在坐标表象中：Q表象中：设表象中：设Q有分立谱有分立谱 相应的本征函数相应的本征函数 则则 8本讲稿第八页，共六十八页用用 同乘上式两边，再对同乘上式两边，再对x积分积分 是是 在在Q表象中的表示表象中的表示 是是 在在Q表象中的表示表象中的表示 故

6、故 其中其中 9本讲稿第九页，共六十八页即：算符在即：算符在Q表象中的表示是一矩阵。表象中的表示是一矩阵。矩阵元矩阵元 表示表示Q表象中基矢表象中基矢 在算符在算符 作用下的变化性质。作用下的变化性质。RETURNRETURNRETURNRETURN 所以矩阵给定后，基矢在所以矩阵给定后，基矢在 作用下的变化就作用下的变化就完全确定，同时任何一个量子态在完全确定，同时任何一个量子态在 作用下的变作用下的变化也就完全确定了。化也就完全确定了。10本讲稿第十页，共六十八页二、算符在自身表象中的表示二、算符在自身表象中的表示 Q在自身表象中的矩阵元：在自身表象中的矩阵元：算符在其自身表象中是一个对角

7、矩阵。算符在其自身表象中是一个对角矩阵。RETURNRETURNRETURNRETURN11本讲稿第十一页，共六十八页三算符表示矩阵的性质三算符表示矩阵的性质三算符表示矩阵的性质三算符表示矩阵的性质因为因为 是厄米算符，则有是厄米算符，则有F F F矩阵的第矩阵的第m列第列第n行的矩阵元等于它第行的矩阵元等于它第n列第列第m行矩阵元的共轭复数，称为厄米矩阵。行矩阵元的共轭复数，称为厄米矩阵。F的共轭矩阵满足的共轭矩阵满足 结论：结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。12本讲稿第十二页，共六十八页 例题例题 求一维谐振子的坐标求一维谐振子的坐标x，动量，动量p及哈密顿

8、及哈密顿 量量H在能量表象中的矩阵表示。在能量表象中的矩阵表示。解解 利用厄米多项式的递推关系利用厄米多项式的递推关系 在能量表象在能量表象中中x 的矩阵表的矩阵表示为示为 13本讲稿第十三页，共六十八页在能量表象中在能量表象中p 的矩阵表示为：的矩阵表示为：14本讲稿第十四页，共六十八页能量能量H在自身表象中的矩阵在自身表象中的矩阵 RETURNRETURNRETURNRETURN15本讲稿第十五页，共六十八页4.34.34.34.3 矩阵性质矩阵性质 矩阵矩阵表象理论的数学基础表象理论的数学基础 1.1.矩阵的加法矩阵的加法 若矩阵若矩阵A和和B的行数与列数分别相同，则的行数与列数分别相同

9、，则它们可以相加成另一矩阵它们可以相加成另一矩阵C，其中，其中C的元素为的元素为A和和B相对应元素之和相对应元素之和:量子力学中，算符的表示矩阵满足上述量子力学中，算符的表示矩阵满足上述加法规则加法规则.16本讲稿第十六页，共六十八页 设算符设算符 是算符是算符 与与 之和，则在任之和，则在任一表象中的矩阵元一表象中的矩阵元F G 17本讲稿第十七页，共六十八页2.2.矩阵的乘法矩阵的乘法 两矩阵乘法规则两矩阵乘法规则:若若C=AB,则则C的矩阵元的矩阵元 条件：矩阵条件：矩阵A的列数等于的列数等于B的行数的行数 量子力学中表示算符的矩阵满足上述规则量子力学中表示算符的矩阵满足上述规则 设设

10、,则则 在在Q表象中的矩阵元：表象中的矩阵元：18本讲稿第十八页，共六十八页令令 其中其中 所以所以注注:(1)(1)一般一般ABBA,或或 (2)(2)若若AB=BA,则称矩阵则称矩阵A与与B对易对易 19本讲稿第十九页，共六十八页3.3.两矩阵两矩阵A与与B乘积的转置矩阵等于乘积的转置矩阵等于B的转置矩阵的转置矩阵 乘以乘以A的转置矩阵，即的转置矩阵，即 推之：推之：RETURNRETURNRETURNRETURN故有故有 20本讲稿第二十页，共六十八页4.4 4.4 4.4 4.4 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 一、期望值公式一

11、、期望值公式一、期望值公式一、期望值公式 二、本征值方程二、本征值方程二、本征值方程二、本征值方程 三、薛定谔方程三、薛定谔方程 RETURNRETURNRETURNRETURN21本讲稿第二十一页，共六十八页 4.44.4 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 一、期望值公式一、期望值公式一、期望值公式一、期望值公式 Q表象中：表象中：22本讲稿第二十二页，共六十八页即即 特例：特例：力学量在自身表象中的期望值力学量在自身表象中的期望值 或或 代表在态下测量力学量代表在态下测量力学量F得本征值得本征值 的概率。的概率。RETURNRETUR

12、NRETURNRETURN因为因为 所以所以 23本讲稿第二十三页，共六十八页二、本征值方程二、本征值方程二、本征值方程二、本征值方程 上式表示一个线性齐次方程组上式表示一个线性齐次方程组 即即24本讲稿第二十四页，共六十八页方程组有非零解的条件是系数行列式等于零：方程组有非零解的条件是系数行列式等于零：久期方程久期方程 F的本征值：的本征值：对于每一个本征值对于每一个本征值 可求出相应的本征矢可求出相应的本征矢 RETURNRETURNRETURNRETURN25本讲稿第二十五页，共六十八页三、薛定谔方程三、薛定谔方程三、薛定谔方程三、薛定谔方程 Q表象中表象中 左乘左乘 再对再对x 积分积

13、分所以所以其中：其中：26本讲稿第二十六页，共六十八页矩阵表示：矩阵表示：简记：简记：RETURNRETURNRETURNRETURN27本讲稿第二十七页，共六十八页4.5 4.5 4.5 4.5 幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）一一、表象变换表象变换二、表象变换矩阵二、表象变换矩阵S S的性质的性质 RETURNRETURNRETURNRETURN28本讲稿第二十八页，共六十八页4.54.54.54.5 幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）幺正变换（表象变换）一一一一、表象变换表象变换 A 表象表象 B表象表象 基基 矢

14、：矢：态矢量：态矢量：力学量：力学量：29本讲稿第二十九页，共六十八页（1 1）态矢量从）态矢量从A表象到表象到B表象的变换表象的变换 A 表象表象 B表象表象 即即或或故故30本讲稿第三十页，共六十八页（2 2）力学量从）力学量从A表象到表象到B表象的变换表象的变换 即即所以所以RETURNRETURNRETURNRETURN31本讲稿第三十一页，共六十八页二、表象变换矩阵二、表象变换矩阵S的性质的性质 1.1.变换矩阵变换矩阵S是么正矩阵是么正矩阵 S为幺正矩阵为幺正矩阵 即即32本讲稿第三十二页，共六十八页2.2.幺正变换不改变算符的本征值幺正变换不改变算符的本征值 因在因在A表象中表象

15、中 在在B表象中表象中 所以所以 即：在即：在B表象中力学量的本征值仍为表象中力学量的本征值仍为 3.3.幺正变换幺正变换S不改变矩阵的迹不改变矩阵的迹 即：即：F的迹等于的迹等于F的迹。的迹。RETURNRETURNRETURNRETURN33本讲稿第三十三页，共六十八页4.6 4.6 态随时间变化的幺正变换态随时间变化的幺正变换 一、变换矩阵一、变换矩阵一、变换矩阵一、变换矩阵 二、变换矩阵为幺正矩阵二、变换矩阵为幺正矩阵 RETURNRETURNRETURNRETURN34本讲稿第三十四页，共六十八页4.6 4.6 4.6 4.6 态随时间变化的幺正变换态随时间变化的幺正变换态随时间变化

16、的幺正变换态随时间变化的幺正变换 一、变换矩阵一、变换矩阵 设设 不是不是t的显函数，则上述方程的解取为：的显函数，则上述方程的解取为：H 设设则则因因 是任意波函数，得算符满足的方程是任意波函数，得算符满足的方程 或或RETURNRETURNRETURNRETURN35本讲稿第三十五页，共六十八页二、变换矩阵为幺正矩阵二、变换矩阵为幺正矩阵二、变换矩阵为幺正矩阵二、变换矩阵为幺正矩阵 同理有：同理有：故故 是幺正算符，相应的变换为幺正变换是幺正算符，相应的变换为幺正变换 U(t)又因又因RETURNRETURNRETURNRETURN因为因为所以所以36本讲稿第三十六页，共六十八页4.7 4

17、.7 海森伯绘景与薛定谔绘景海森伯绘景与薛定谔绘景 一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、海森伯绘景与薛定谔绘景 二、两种绘景间的关系二、两种绘景间的关系二、两种绘景间的关系二、两种绘景间的关系 三、海森伯运动方程三、海森伯运动方程三、海森伯运动方程三、海森伯运动方程 RETURNRETURNRETURNRETURN37本讲稿第三十七页，共六十八页 4.7 4.7 4.7 4.7 海森伯绘景与薛定谔绘景海森伯绘景与薛定谔绘景海森伯绘景与薛定谔绘景海森伯绘景与薛定谔绘景 一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、海森伯绘景与薛定谔绘景一、

18、海森伯绘景与薛定谔绘景 薛定谔绘景薛定谔绘景 海森伯绘景海森伯绘景 波函数波函数 随时间变化随时间变化 波函数波函数 不随时间变化不随时间变化 力学量力学量 不随时间变化不随时间变化 力学量力学量 随时间变化随时间变化 RETURNRETURNRETURNRETURN38本讲稿第三十八页，共六十八页二、两种绘景间的关系二、两种绘景间的关系 1.1.态矢量：态矢量：或或2.2.力学量的期望值力学量的期望值 （满足期望值不因表象的不同而不同的要求）（满足期望值不因表象的不同而不同的要求）由于由于故故39本讲稿第三十九页，共六十八页3 3力学量算符力学量算符 哈密顿算符：哈密顿算符：RETURNRE

19、TURNRETURNRETURN40本讲稿第四十页，共六十八页三、海森伯运动方程三、海森伯运动方程 由由对时间求导对时间求导海森伯海森伯Werner Heisenberg(19011976)因创建因创建量子力学矩量子力学矩阵理论阵理论荣获荣获19321932年年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖RETURNRETURNRETURNRETURN41本讲稿第四十一页，共六十八页4.8 4.8 狄拉克符号狄拉克符号 一、狄拉克符号规定一、狄拉克符号规定一、狄拉克符号规定一、狄拉克符号规定 二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论

20、在具体表象中的表示 三、表象变换三、表象变换 狄拉克狄拉克Dirac Dirac PaulPaul(1902(19021984)1984)因创建因创建发现原子理发现原子理论新的有效形式与论新的有效形式与薛定谔薛定谔荣获荣获19331933年年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖RETURNRETURNRETURNRETURN42本讲稿第四十二页，共六十八页4.8 4.8 狄拉克符号狄拉克符号 采用狄拉克符号表述量子力学理论有两个优点：采用狄拉克符号表述量子力学理论有两个优点：（1 1）运）运算简洁算简洁 （2 2）可毋需具体表象讨论问题。）可毋需具体表象讨论问题。一、狄拉克符号规定一、狄拉克符号规定

21、1.1.右矢（刃矢右矢（刃矢 ket ket）与左矢（刁矢）与左矢（刁矢 bra bra）量子态量子态态矢量态矢量 右矢右矢 具体的态矢量：具体的态矢量：波函数波函数 描述的状态描述的状态 能量的本征态能量的本征态 （本征值为（本征值为En）坐标的本征态坐标的本征态 （本征值为（本征值为x）43本讲稿第四十三页，共六十八页量子态量子态态矢量态矢量 左矢左矢具体的态矢量：具体的态矢量：左矢与右矢的关系左矢与右矢的关系 是是 的共轭矢量，即它们在同一表象的共轭矢量，即它们在同一表象中的相应分量互为共轭复数中的相应分量互为共轭复数 2 2左矢与右矢的标积左矢与右矢的标积 定义：定义：是是 的共轭矢量

22、，即的共轭矢量，即 是是 的共轭矢量，即的共轭矢量，即 或或 44本讲稿第四十四页，共六十八页 正交归一化条件正交归一化条件 设力学量完全集设力学量完全集 的本征值为的本征值为Fn ，相应的本，相应的本征态为征态为 ，满足正交归一条件：，满足正交归一条件：F 分立谱分立谱 或或 连续谱连续谱如：坐标的本征矢如：坐标的本征矢动量的本征矢动量的本征矢 RETURNRETURNRETURNRETURN45本讲稿第四十五页，共六十八页二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论在具体表象中的表示二、量子力学理论在具体表象中的表示 1.1.态矢量的表示态矢量的表示

23、 取取Q表象：表象：（1 1）Q的本征值为分立谱：基矢的本征值为分立谱：基矢 或或 对任意态矢量对任意态矢量 投影算符：投影算符：令令 注：注：为态矢量在为态矢量在Q表象中的表示，称其为表象中的表示，称其为态矢态矢 在基矢在基矢 上的投影上的投影,又称为态矢又称为态矢 在在Q表象中的波函数。表象中的波函数。46本讲稿第四十六页，共六十八页 作用矢量作用矢量 后得到其在基矢后得到其在基矢 上的投影，上的投影，故称为投影算符。故称为投影算符。本征矢的封闭性：本征矢的封闭性：（2 2）Q的本征值为连续谱：基的本征值为连续谱：基 或或 组成完全系组成完全系 注：注：本征矢的封闭性本征矢的封闭性 47本

24、讲稿第四十七页，共六十八页如：如：x表象：基表象：基 则则 为态矢量为态矢量 在在x表象中投影。表象中投影。2.2.力学量算符的表示力学量算符的表示 （1 1）算符算符 F F 设设取取Q表象：表象：设设Q具有分立本征谱具有分立本征谱,则基矢则基矢 或或48本讲稿第四十八页，共六十八页以以 左乘上式左乘上式 ，再利用，再利用 即即 是算符是算符 在在Q表象中的表示矩阵元表象中的表示矩阵元 F 分别代表态矢分别代表态矢 和和 在在Q表象中的表示。表象中的表示。49本讲稿第四十九页，共六十八页 设设Q具有连续本征值谱具有连续本征值谱 ,基矢基矢 力学量力学量 的矩阵元：的矩阵元：F 如：如：x 表

25、象表象:(2)(2)的共轭算符的共轭算符 F 当当 是厄米算符时：是厄米算符时：F F 设设则则50本讲稿第五十页，共六十八页3.3.量子力学公式的表示量子力学公式的表示 （1 1）薛定谔方程：）薛定谔方程：取取Q表象表象:设基矢为设基矢为 以以 左乘上式左乘上式,得得 51本讲稿第五十一页，共六十八页取取x表象：设基矢为表象：设基矢为 以以 左乘上式，对空间积分左乘上式，对空间积分 所以所以52本讲稿第五十二页，共六十八页（2 2）本征值方程）本征值方程取取Q表象：设基矢为表象：设基矢为 即即53本讲稿第五十三页，共六十八页（3 3）平均值公式）平均值公式 如：如：x表象：表象：在在 态下，

26、力学量态下，力学量 的平均值：的平均值：F 取取Q表象：设基矢为表象：设基矢为 RETURNRETURNRETURNRETURN54本讲稿第五十四页，共六十八页三、表象变换三、表象变换 设设 A表象：基矢为表象：基矢为 ,任一量子态任一量子态 B表象：基矢为表象：基矢为 ,同一量子态同一量子态 A表象表象 B表象表象 量子态量子态 故故因为因为55本讲稿第五十五页，共六十八页力学量力学量 F 即即 因为因为RETURNRETURNRETURNRETURN56本讲稿第五十六页，共六十八页4.9 4.9 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 一、湮没算符和产生算符一、湮没算符和产生算符 二

27、、线性谐振子二、线性谐振子 三、占有数表象三、占有数表象 RETURNRETURNRETURNRETURN57本讲稿第五十七页，共六十八页4.9 4.9 4.9 4.9 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 一、湮没算符和产生算符一、湮没算符和产生算符一、湮没算符和产生算符一、湮没算符和产生算符 1.1.定义定义2.2.性质性质 （1 1）不是厄米算符不是厄米算符 （2 2）（3 3）58本讲稿第五十八页，共六十八页3 3 ，的物理含义的物理含义由谐振子能量公式由谐振子能量公式n份份 能量能量,每份每份 可看作可看作一个粒子，称为准粒子，一个

28、粒子，称为准粒子，表示体系含有表示体系含有n个粒子个粒子 根据：根据：即粒子数由即粒子数由nn-1nn-1，减少一个，湮没，减少一个，湮没算符算符 即粒子数由即粒子数由nn+1+1，增加一个，产，增加一个，产生算符生算符 RETURNRETURNRETURNRETURN59本讲稿第五十九页，共六十八页二、线性谐振子二、线性谐振子二、线性谐振子二、线性谐振子 线性谐振子哈密顿量线性谐振子哈密顿量 由由得得 60本讲稿第六十页，共六十八页其中：其中：粒子数算符粒子数算符,本征值为粒子数本征值为粒子数n1.1.的本征矢的本征矢 基态：基态：即即61本讲稿第六十一页，共六十八页2.2.的本征值的本征值

29、(1)(1)能量的下限能量的下限 若若 是能量本征函数，即满足是能量本征函数，即满足 ，则，则 （能量的下限）（能量的下限）对任何态矢量对任何态矢量 均有均有 62本讲稿第六十二页，共六十八页(2)(2)基态能量基态能量由由 对任何一个能量本征态矢量对任何一个能量本征态矢量 ,有有 是是 的本征值为的本征值为 的本征态矢量的本征态矢量 又又63本讲稿第六十三页，共六十八页是是 的本征值为的本征值为 的本征态矢量的本征态矢量 重复该过程重复该过程,易知易知 都是都是 的本征值。但因为的本征值。但因为 所以上面数列必终止于某一个最小值所以上面数列必终止于某一个最小值E0 0 ，所以，所以 所以所以

30、基态能量基态能量 64本讲稿第六十四页，共六十八页（3 3）能量的一般表示式）能量的一般表示式 因为因为即即是是 的本征值为的本征值为 的本征态矢量的本征态矢量 同理：同理：是是 的本征值为的本征值为 的本征态矢量的本征态矢量 推之：推之：均是均是 的本征值，的本征值，且且 ，均不为零。均不为零。故故 的本征值没有上限，的本征值没有上限，所以，所以，能量本征值：能量本征值：RETURNRETURNRETURNRETURN65本讲稿第六十五页，共六十八页三、占有数表象三、占有数表象 以基矢以基矢 （粒子数算符（粒子数算符 的本征矢）构成的的本征矢）构成的表象称占有数表象。表象称占有数表象。1.1.算符算符 的表示矩阵的表示矩阵 矩阵元：矩阵元：66本讲稿第六十六页，共六十八页2 2 算符的表示矩阵算符的表示矩阵 矩阵元：矩阵元：3.3.线性谐振子哈密顿量的表示矩阵线性谐振子哈密顿量的表示矩阵 矩阵元：矩阵元：67本讲稿第六十七页，共六十八页的本征矢的本征矢 RETURNRETURNRETURNRETURN68本讲稿第六十八页，共六十八页