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1、量子力学-第四章本讲稿第一页，共五十六页主要内容主要内容1、表表象象理理论论2、Dirac符号符号*3、占有数表象、占有数表象本讲稿第二页，共五十六页教学要求：教学要求：通过本章的学习，同学们要知道量子力学的态和力学量通过本章的学习，同学们要知道量子力学的态和力学量的具体表示方式的具体表示方式-表象可以是多样的，并着重掌握表象可以是多样的，并着重掌握坐标表象，坐标表象，动量表象。动量表象。重点：重点：态的表象，算符的矩阵表示，占有数表象态的表象，算符的矩阵表示，占有数表象难点：难点：狄喇克符号及其使用狄喇克符号及其使用本讲稿第三页，共五十六页4.1 4.1 态的表象态的表象（一）动量表象（一）
2、动量表象（二）力学量表象（二）力学量表象（三）讨论（三）讨论本讲稿第四页，共五十六页到目前为止，体系的状态都用到目前为止，体系的状态都用坐标坐标(x,y,z)(x,y,z)的的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则数。力学量则用作用于坐标函数的算符用作用于坐标函数的算符表示。但是这表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的坐标系、球坐标系、柱坐标
3、系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。本讲稿第五页，共五十六页在坐标表象中，体系的状态用波函数在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)(x,t)描写，这样一个态如描写，这样一个态如何用何用动量动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有
4、所介绍。为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：动量本征函数：组成完成完备系，任一状系，任一状态可按其展开可按其展开展开系数（一）动量表象（一）动量表象本讲稿第六页，共五十六页命命题假假设 (x,t)(x,t)是是归一化波函数，一化波函数，则 C(p,t)C(p,t)也是也是归一一化的。化的。证本讲稿第七页，共五十六页|C(p,t)|2 d p：是在：是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在结果在p p+d p 范围内的几率。范围内的几率。|(x,t)|2d x：是在是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所描写的状态中，测
5、量粒子的位置所得结果在所得结果在x x+d x 范围内的几率。范围内的几率。(x,t)与与 C(p,t)一一 一一 对应，描述同一状，描述同一状态。(x,t)是是该状状态在坐在坐标表象表象中的波函数；中的波函数；而而C(p,t)就是就是该状状态在在动量表象量表象中的波函数。中的波函数。C(p,t)C(p,t)物理意物理意义本讲稿第八页，共五十六页若若(x,t)描写的态是具有确定动量描写的态是具有确定动量 p 的自由粒子态，即：的自由粒子态，即：则相相应动量表象中的波函数：量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量p的粒 子的波函数是以动量 p为变量的-函数。换言之，动量本征函 数在自身
6、表象中是一 个函数。x 在自身表象即坐在自身表象即坐标表象中表象中对应有确定有确定值 x本征函数是本征函数是(x-x)。同同样这可由本征 值方程看出：本讲稿第九页，共五十六页那么，在那么，在任一力学量任一力学量Q Q表象表象中，中，(x,t)(x,t)所描写的态又所描写的态又如何表示呢？如何表示呢？推广上述讨论：推广上述讨论：x,px,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象，称为力学量都建立一种表象，称为力学量 Q Q 表象。表象。问题问题（1）具有分立本征值的情况（2）含有连续本征值情
7、况（二）力学量表象（二）力学量表象本讲稿第十页，共五十六页（1）具有分立本征）具有分立本征值的情况的情况设 算符算符Q的本征的本征值为：Q1,Q2,.,Qn,.，相相应本征函数本征函数为：u1(x),u2(x),.,un(x),.。将(x,t)按 Q 的 本征函数展开：若,un都是归一化的，则 an(t)也是归一化的。证：由此可知，|an|2 表示 在(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。a a1 1(t),a(t),a2 2(t),.,a(t),.,an n(t),.(t),.就是就是(x,t)所描写状所描写状态在在Q表象中的表示。表象中的表示。本讲稿第十一页，共五十六页共轭矩阵归一
8、化可写一化可写为写成写成矩阵形式矩阵形式本讲稿第十二页，共五十六页（2）含有）含有连续本征本征值情况情况例如氢原子能量就是这样一种力学量，即有分立也有连续本征值。设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为：的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,.,Qn,.,qu1(x),u2(x),.,un(x),.,uq(x)则归一化则变为：归一化则变为：|an(t)|2 是在(x,t)态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；|aq(t)|2dq 是在(x,t)态中 测量力学量 Q 所得结果在 q q+d q之间的几率。在在这样的表象中，的表象中，仍仍可以用一个列矩可以用一个列矩阵表表示：示：
9、归一化仍可表一化仍可表为：+=1本讲稿第十三页，共五十六页同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。（三）（三）讨论本讲稿第十四页，共五十六页基本矢量态矢量这这类类似似于于一一个个矢矢量量可可以以在在不不同同坐坐标标系系描描写写一一样样。矢矢量量 A A在在直直角角坐坐标标系系由由三三分分量量A Ax x A Ay y A Az z 描描述述；在在球球坐坐标标系系用用三三分分量量A Ar r A A A A 描述。描述。A Ax x A Ay y A Az z 和和 A Ar r,A,A,A,A 形式不同，但描写同一矢量形式不同，但描写同一矢量A
10、A。本讲稿第十五页，共五十六页波函数波函数是是态态矢矢量量在在Q Q表表象象中中沿沿各各基基矢矢方方向向上上的的“分分量量”。Q Q表表象象的的基基矢矢有有无无限限多多个个，所所以以态态矢矢量量所所在在的的空空间间是是一一个个无无限限维维的的抽抽象象的的函函数数空空间间，称称为为HilbertHilbert空间。空间。所以我们可以把状态所以我们可以把状态看成是一个矢量看成是一个矢量态矢量。态矢量。选取一个特定力学量选取一个特定力学量 Q Q 表象表象，相当于选取特定的坐标系，相当于选取特定的坐标系，u1(x),u2(x),.,un(x),.是是 Q 表象表象 的基本矢量的基本矢量简称称基矢基矢
11、。本讲稿第十六页，共五十六页例：例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。限深势阱中基态粒子的波函数。本讲稿第十七页，共五十六页（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示 （二）（二）Q Q 表象中力学量算符表象中力学量算符 的性质的性质 （三）（三）Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示本讲稿第十八页，共五十六页坐坐标表象：表象：Q表象：表象：假设只有分立本征值，将假设只有分立本征值，将,按按un(x)展开：展开：两边左乘 u*n(x)并对 x 积分Q
12、表象的 表达方式代入代入（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示本讲稿第十九页，共五十六页Q表象的表达方式表象的表达方式本讲稿第二十页，共五十六页F 在 Q 表象中是一个矩阵，Fnm 是其矩阵元=F写成矩阵形式简写成简写成本讲稿第二十一页，共五十六页（1 1）力学量算符用厄密矩）力学量算符用厄密矩阵表示表示所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。（二）（二）Q Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质本讲稿第二十二页，共五十六页（2 2）力学量算符在自身表象中的形式）力学量算符在自身表象中的形式Q的矩的矩阵形式形式结论：算符在自身表象中是一算符在自身表象中是一对角矩角
13、矩阵，对角元素就是算符的本征角元素就是算符的本征值。本讲稿第二十三页，共五十六页（1）只有）只有连续本征本征值如果如果 Q只有连续本征值只有连续本征值q，上面的讨论仍然适用，只需将，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的的角标从可数的 n,m 换成连续变化的换成连续变化的 q，求和换成积分，求和换成积分，见下表。见下表。分立分立谱连续谱算符算符F在在Q表象仍是一表象仍是一个矩个矩阵，矩，矩阵元由下式元由下式确定：确定：只是该矩阵的行列是不只是该矩阵的行列是不是可数的，而是用连续是可数的，而是用连续下标表示下标表示（三）（三）Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况本讲稿第二十四
14、页，共五十六页例：例：求求动量表象中量表象中 F的矩的矩阵元元要计算此积分，需要 知道 F的具体形式.本讲稿第二十五页，共五十六页例例3:求一维谐振子的坐标求一维谐振子的坐标,动量及动量及Hamilton量在能量表量在能量表象中的矩阵表示。象中的矩阵表示。本讲稿第二十六页，共五十六页本讲稿第二十七页，共五十六页（一）平均（一）平均值公式公式（二）本征方程（二）本征方程 （三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩方程的矩阵形式形式4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述本讲稿第二十八页，共五十六页坐坐标表象平均表象平均值公式公式在在Q表象中表象中式右写成
15、矩阵相乘形式简写成写成:（一）平均值公式（一）平均值公式本讲稿第二十九页，共五十六页写成矩阵形式表成显式整 理 改 写上式是一个上式是一个齐次次线性方程性方程组方程方程组有不完全有不完全为零解的条件是零解的条件是系数行列式等于零系数行列式等于零久 期 方 程求解此久期方程得到一求解此久期方程得到一组值：1,2,.,n,.就是就是F的本征的本征值。将其分将其分别代入原代入原齐次次线性方程性方程组就能得到相就能得到相应于各于各i的本征矢的本征矢于是求解微分方程的问题就化成了求解代于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。数方程根的问题。（二）本征方程（二）本征方程本讲稿第三十页，共五十六
16、页例例1 1：本征函数本征函数 u um m(x)(x)在自身表象中的矩阵表示。在自身表象中的矩阵表示。同样将同样将 u um m(x)(x)按按 的本征函数展开：的本征函数展开：显 然 有所以所以 u um m(x)(x)在自身表象中的矩阵表示如下：在自身表象中的矩阵表示如下：本讲稿第三十一页，共五十六页例例2 2：求求 L Lx x本征态在本征态在 L Lz z表象中的矩阵表示，只讨论表象中的矩阵表示，只讨论(=1)=1)情况。情况。解解Lx的本征方程的本征方程为：欲得a1,a2,a3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零(-2+2)=0 解得本征解得本征值=0,=0,.本讲稿第三十二页
17、，共五十六页取取=代入本征方程得：代入本征方程得：解得：解得：由由归 一化一化 条件条件 定定 a2为简单计 取实数同理得另外两个本征同理得另外两个本征值相相应本征函数本征函数则 =1,Lx=的本征的本征态 可可记为：本讲稿第三十三页，共五十六页写写 到到 Q 表表 象象按力学量算符按力学量算符 Q的本征函数展开的本征函数展开左乘左乘 um*(x)对 x 整个空整个空间积分分 H 都是矩阵简写简写（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式本讲稿第三十四页，共五十六页4.4Dirac符号符号 (一）引一）引 (二二)态矢量态矢量 （三）算符（三）算符 （
18、四）总结（四）总结本讲稿第三十五页，共五十六页前三章前三章给出的都是出的都是 X-表象中的形式，表象中的形式，本章中本章中给出了任一力学量出了任一力学量 Q-表象中的形式，它表象中的形式，它们都是取定都是取定了某一了某一具体的力学量空具体的力学量空间，即某一具体的力学量表象。量子，即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和学和经典力学中也可用矢量形式典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不来表示一个矢量，而不用具体坐用具体坐标系中的分量系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一表示一样。量子力学可以不涉
19、及具体表象来量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状粒子的状态和运和运动规律。律。这种抽象的描述方法是由种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的，首先引用的，所以所以该方法所使用的符号称方法所使用的符号称为 Dirac 符号。符号。(一）引一）引本讲稿第三十六页，共五十六页（1 1）右矢空）右矢空间前前面面已已经经讲讲过过，一一个个状状态态通通过过一一组组力力学学量量完完全全集集的的测测量量（完完全全测测量量）来来确确定定，通通常常用用所所测测得得的的力力学学量量的的量量子子数数来确定。来确定。例例如如：一一维维线线性性谐谐振振子子其其状状态态由由量量子子数数 n 确确定定，记记为为n(x
20、)；氢氢原原子子的的状状态态由由量量子子数数 n,l,m 确定，记为确定，记为 n l m(r,)，如此等等。如此等等。在在抽抽象象表表象象中中 Dirac 用用右右矢矢空空间间的的一一个个矢矢量量|与与量量子子状状态态相相对对应应，该该矢量称为右矢矢量称为右矢(刃矢刃矢)。|n n(x)；|n,l,m n l m状态状态|n 和和|n,l,m亦可分别记成亦可分别记成|n 和和|n l m。对力学量的本征态可表示为对力学量的本征态可表示为|x,|p,|Qn.等。等。因因为为力力学学量量本本征征态态构构成成完完备备系系，所所以以本本征征函函数数所所对对应应的的右右矢矢空空间间中中的的右右矢矢也也
21、组组成成该该空空间间的的完完备备右右矢矢（或或基基组组），即即右右矢矢空空间间中中的的完完备备的的基基本本矢矢量量（简简称基矢）。称基矢）。右右矢矢空空间间的的任任一一矢矢量量|可可按按该该空空间间的的某某一一完完备基矢展开。备基矢展开。例如：例如：(二二)态矢量态矢量本讲稿第三十七页，共五十六页（2 2）左矢空）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为量，记为|。例如：。例如：Dirac 符号符号右矢空间和左矢空间称为右矢空间和左矢空间称为伴空间伴空间或对偶空间，或对偶空间，称为称为伴矢量伴矢量。p|,x|,
22、Qn|组成左矢空间组成左矢空间的完备基组，的完备基组，任一任一左矢量左矢量可按其展开，可按其展开，即即左矢空间的任一矢量可按左矢左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。空间的完备基矢展开。左矢空间左矢空间 右矢空间右矢空间 n,l,m|n,l,m x|x A|A l,m|l,m p|p Q 左矢，左矢，bra bra ket,ket,右矢右矢 本讲稿第三十八页，共五十六页（3 3）伴矢量）伴矢量|和和|按按 Q 的右基矢的右基矢|Qn 展开展开|=a1|Q1 +a2|Q2 +.+an|Qn +.展开系数即相当于展开系数即相当于 Q 表象中的表示：表象中的表示：|按按 Q 的左基矢的左基矢
23、 Qn|展开：展开：|=a*1 Q1|+a*2 Q2|+.+a*n Qn|+.展开系数即相当于展开系数即相当于 Q 表象中的表示：表象中的表示：+=(a*1,a*2,.,a*n,.)同理同理 某一左矢量某一左矢量|亦可按亦可按 Q 的左基矢展开：的左基矢展开：|=b*1 Q1|+b*2 Q2|+.+b*n Qn|+.显然然:*=这就是用Dirac表示的波函数归一化条件。由由标积定定义得得:定义定义|和和|和和|的关系：的关系：1 1）在）在同一确定表象同一确定表象中，各分量互为复共轭；中，各分量互为复共轭；2 2）由于二者属于不同空间所以它们）由于二者属于不同空间所以它们不能不能相加相加，只有
24、同一空间的矢量才能相加；，只有同一空间的矢量才能相加；3 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算。任一左矢进行标积运算。（4 4）本征函数的封）本征函数的封闭性性展开式展开式两边左乘 是任意是任意态矢量，所以矢量，所以成立成立。本征矢|Qn 的封闭性I 分分 立立 谱本讲稿第四十页，共五十六页对于于连续谱|q ，q 取取连续值，任一状，任一状态|展开式展开式为：II 连 续 谱左乘 是任意是任意态矢，所以有矢，所以有 同理，对于|x 和|p 分 别 有这就是连续本征值的本征矢的封闭性。这就是连续本征值的本征矢的封闭性。由于由于所以所以 它们也
25、称为它们也称为单位算符，在运算单位算符，在运算中可插入（乘到）中可插入（乘到）公式任何地方而不公式任何地方而不改变原公式的正确改变原公式的正确性性。例如：在例如：在|左左侧插入算符插入算符 同理同理即得态矢按各种力学量本征矢的展开式即得态矢按各种力学量本征矢的展开式本讲稿第四十一页，共五十六页投影算符投影算符|Qn上上，相相当当于于把把|投投影影到到右右基基矢矢|Qn 或或|q 上上，即即作作用用的的结结果果只只是是留留下下了了该该态态矢矢在在|Qn 上上的的分分量量 或或 。故故称称|Qn|在在 X X 表象的表示是表象的表示是(x,t)(x,t)，所以显然有：，所以显然有：封闭性在封闭性在
26、 X X 表象中的表示表象中的表示左乘 分立分立谱本讲稿第四十二页，共五十六页连续谱封封闭性与正交性与正交归一性比一性比较区区别在形式上在形式上 二者相似二者相似正交正交归一性的表示式是一性的表示式是对坐坐标的的积分：分：封封闭性表示式是性表示式是对本征本征值求和或求和或积分：分：所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。函数完备性的表示。本讲稿第四十三页，共五十六页(1)(1)右右矢空矢空间在抽象的在抽
27、象的DiracDirac表象表象Dirac 符符号号的的特特点点是是简简单单灵灵活活。如如果果欲欲把把上上式式写写至至 Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。表象，则只需在适当位置插入单位算符。左乘 在在A表象中的表示，表象中的表示，即即反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把 S S 变换矩阵写出来。变换矩阵写出来。为为清清楚楚简简单单起起见见，假假设设：A 和和B的的本本征征矢矢各各只只有有3个个，分分别别为为:|1,|2,|3 和和|1,|2,|3。|1=S1
28、 1|1+S2 1|2+S3 1|3|2=S1 2|1+S2 2|2+S3 2|3|3=S1 3|1+S2 3|2+S3 3|3如果如果|,(=1,2,3)在在A表象中的表示表象中的表示 已知：已知：本讲稿第五十页，共五十六页在在 A A 表象中，表象中，B B 的本征基矢可表示为：的本征基矢可表示为：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：就是由就是由 A A 表象到表象到 B B 表象的么正变换矩阵。表象的么正变换矩阵。本讲稿第五十一页，共五十六页1 1、波函数变换关系、波函数变换关系对任一态矢对任一态矢|u|u 作用作用 A A 的单位矢量的单位矢量
29、则则于是于是|u|u 在在 A A 表象中的表示为：表象中的表示为：同理：同理：则则|u|u 在在 B B 表象中的表示：表象中的表示：为了找出 b与 an 之间的 关系，我们对此式插入 A 表象的单位算符得：b=Sb=S+a a =S =S-1-1 a ab 与 a 之间 的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系本讲稿第五十二页，共五十六页（2 2）算符）算符 F F 的的变换关系关系A 表象：表象：B 表象：表象：F=SF=S+F S F S =S =S-1-1 F S F S 插入单位算符插入单位算符本讲稿第五十三页，共五十六页（1）么正）么正变换不改不改变算符
30、的本征算符的本征值设设 F F 在在 A A 表象中的本征方程为：表象中的本征方程为：F a=aF a=a在在B B 表象，表象，=S=S-1-1 a a F=S-1 F S b=S-1 aF b=F b=S=S-1-1 F a F a=S=S-1-1 a a=b=b可可见见，不不同同表表象象中中，力力学学量量算算符符 F F对对应应同同一一状状态态（a a 和和 b b 描描写写同同一一状状态态）的的的的本本征征值值不不变变。基基于于这这一一性性质质，解解F F的的本本征征值值问问题题就就是是把把该该力力学学量量从从某某一一表表象象变变到到自自身身表表象象，使使F F矩矩阵阵对对角角化。化。
31、S S-1-1 F S S F S S-1-1 a a（三）么正变换的性质（三）么正变换的性质本讲稿第五十四页，共五十六页（2 2）么正）么正变换不改不改变矩矩阵的迹的迹矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即F F 的迹等于的迹等于 F F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。（3 3）矩）矩阵方程式方程式经么正么正变换保持不保持不变表象表象 AF=表象表象 BF=矩矩阵方程式方程式证=F=S-1 F S b=S-1 aF=(S-1 F S)(S-1)=S-1 F=S-1F=证毕 本讲稿第五十五页，共五十六页例：例：设在在 A 表象中表象中对易关系：易关系：在在B表象表象对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变（4）么正）么正变换不改不改变厄密矩厄密矩阵的厄密性的厄密性设：A 表象表象B表象：表象：F=S-1 F S=S=S-1-1 F S F SF F+=(S=(S-1-1 F S)F S)+=S=S+F F+(S(S-1-1)+=F=F本讲稿第五十六页，共五十六页