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1、第八章矩阵特征值本讲稿第一页，共六十二页2.幂法和反幂法.一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。本讲稿第二页，共六十二页本讲稿第三页，共六十二页本讲稿第四页，共六十二页本讲稿第五页，共六十二页本讲稿第六页，共六十二页本讲稿第七页，共六十二页两种特殊情况本讲稿第八页，共六十二页本讲稿第九页，共六十二页幂法小结本讲稿第十页，共六十二页二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ，当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍 两种。本讲稿第十一页，共六十二页本讲稿第十二页，共六十二页本讲稿第十三页，共六十二页本
2、讲稿第十四页，共六十二页本讲稿第十五页，共六十二页本讲稿第十六页，共六十二页（三）、瑞利商加速定义：设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x，称为对应向量x的瑞利（Rayleigh)商。（P298）定理定理14：设：设为对称矩阵，特征值得满足对应的特征向量满足 ，应用幂法计算A的主特征值 ，则规范化向量的瑞利商给出的较好近似（P307）本讲稿第十七页，共六十二页三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方 法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。本讲稿第十八页，共六十二页本讲稿第十九页，共六十二页反幂法的一个应用本讲稿第二十页，共六十二页本讲稿第二十一页，共六十二页本讲
3、稿第二十二页，共六十二页3.Jacobi方法本讲稿第二十三页，共六十二页一、矩阵的旋转变换（Givens变换）本讲稿第二十四页，共六十二页也称Givens变换。本讲稿第二十五页，共六十二页本讲稿第二十六页，共六十二页二、Jacobi方法本讲稿第二十七页，共六十二页本讲稿第二十八页，共六十二页本讲稿第二十九页，共六十二页本讲稿第三十页，共六十二页本讲稿第三十一页，共六十二页本讲稿第三十二页，共六十二页本讲稿第三十三页，共六十二页本讲稿第三十四页，共六十二页本讲稿第三十五页，共六十二页4.QR方法一、基本QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。理论依
4、据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。与A相似 k=1,2,本讲稿第三十六页，共六十二页 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列A(k)“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则A(k)“基本”收敛于对角矩阵。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR
5、方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法为例。本讲稿第三十七页，共六十二页本讲稿第三十八页，共六十二页本讲稿第三十九页，共六十二页 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。本讲稿第四十页，共六十二页本讲稿第四十一页，共六十二页本讲稿第四十二页，共六十二页二、豪斯豪尔德(Householder)变换本讲稿第四十三页
6、，共六十二页本讲稿第四十四页，共六十二页三、化一般矩阵为拟上三角阵 (P313)本讲稿第四十五页，共六十二页本讲稿第四十六页，共六十二页本讲稿第四十七页，共六十二页本讲稿第四十八页，共六十二页本讲稿第四十九页，共六十二页本讲稿第五十页，共六十二页四、拟上三角矩阵的QR分解本讲稿第五十一页，共六十二页本讲稿第五十二页，共六十二页本讲稿第五十三页，共六十二页本讲稿第五十四页，共六十二页本讲稿第五十五页，共六十二页本讲稿第五十六页，共六十二页本讲稿第五十七页，共六十二页本讲稿第五十八页，共六十二页本讲稿第五十九页，共六十二页本讲稿第六十页，共六十二页五、带原点移位的QR方法 (p322)本讲稿第六十一页，共六十二页本讲稿第六十二页，共六十二页