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1、第八章矩阵特征值和特征向量计算本讲稿第一页，共二十九页矩阵特征值与特征向量知识矩阵特征值与特征向量知识(复习复习)特征向量是齐次方程组的根特征向量是齐次方程组的根:唯一特征值，不唯一特征向量。唯一特征值，不唯一特征向量。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。相似的矩阵有相同的特征多项式，反之不然。相似的矩阵有相同的特征多项式，反之不然。A A有有n n个线性无关的特征向量当且仅当相似于对角阵。个线性无关的特征向量当且仅当相似于对角阵。本讲稿第二页，共二十九页种群年龄结构的估算种群年龄结构的估算问题问题.已知一种昆虫每已知一种昆虫每2 2周产卵一次周产卵一次
2、,6,6周以后死亡周以后死亡,孵化以后的幼虫孵化以后的幼虫2 2周后周后成熟成熟,平均产卵平均产卵100100个个,4,4周龄的成虫平均产卵周龄的成虫平均产卵150150个个,假设每个卵发育为假设每个卵发育为2 2周龄成虫的概率为周龄成虫的概率为0.09(0.09(称为成活率称为成活率),2),2周龄的成虫发育成周龄的成虫发育成4 4周龄成虫的周龄成虫的概率为概率为0.2.0.2.(1)(1)假设开始时假设开始时,0-2,2-4,4-6,0-2,2-4,4-6周龄的昆虫数目相同周龄的昆虫数目相同,计算计算2 2周、周、4 4周、周、6 6周后各种周龄的昆虫数目；周后各种周龄的昆虫数目；(2)(
3、2)讨论这种昆虫各种昆虫数目的演变趋势讨论这种昆虫各种昆虫数目的演变趋势:各周龄的昆虫的比例各周龄的昆虫的比例是否有一个稳定值是否有一个稳定值?昆虫数目是无限地增长还是趋于灭亡昆虫数目是无限地增长还是趋于灭亡?这个问题可归结为种群的年龄结构及其增长趋势的问题这个问题可归结为种群的年龄结构及其增长趋势的问题.英国英国 的生物学的生物学家家P.H.Leslie P.H.Leslie 在在19451945年提出了种群年龄结构的离散数学模型年提出了种群年龄结构的离散数学模型,利用矩阵的特利用矩阵的特征值与向量得出数学模型的解征值与向量得出数学模型的解.本讲稿第三页，共二十九页 假定昆虫的雌、雄数目比为
4、一常数，为简单计，只考虑雌性个体.将所有的雌性个体分成3个年龄组:年龄的单位为周年龄的单位为周,每个年龄组的时间段为每个年龄组的时间段为2 2周。取周为一个时间单位周。取周为一个时间单位.建立模建立模型的依据为型的依据为:本讲稿第四页，共二十九页本讲稿第五页，共二十九页I.各周龄昆虫数本讲稿第六页，共二十九页II.种群年龄结构演变趋势分析本讲稿第七页，共二十九页本讲稿第八页，共二十九页本讲稿第九页，共二十九页本讲稿第十页，共二十九页本讲稿第十一页，共二十九页1.幂法.求按模最大的特征值与特征向量,方法简单收敛慢.本讲稿第十二页，共二十九页矩阵A 的特征向量集，是 n 个线性无关的向量本讲稿第十
5、三页，共二十九页讨论(1)(1）若按模最大特征值 1 是特征多项式单实根.本讲稿第十四页，共二十九页 算法 本讲稿第十五页，共二十九页(2)按模最大特征值1是特征多项式的 重实根讨论(2)本讲稿第十六页，共二十九页本讲稿第十七页，共二十九页讨论(3)本讲稿第十八页，共二十九页本讲稿第十九页，共二十九页本讲稿第二十页，共二十九页 当 K 充分大时将上式看作等式,任取两个 K 值的两个方程求出 P,q,本讲稿第二十一页，共二十九页求特征向量本讲稿第二十二页，共二十九页本讲稿第二十三页，共二十九页2.幂法的加速与降阶原点位移法:收敛速度决定于12大小.本讲稿第二十四页，共二十九页本讲稿第二十五页，共
6、二十九页3.反幂法也可以用加速算法.本讲稿第二十六页，共二十九页l客观世界模型化顺序：客观世界模型化顺序：数学数学 物理物理 化学化学 生物生物 社会科学。社会科学。前面学科可以模型后面的学科前面学科可以模型后面的学科,反之不行反之不行!?!?应应用用数数学学的的基基本本方方法法是是建建立立模模型型,而而且且这这种种模模型型是最基础的是最基础的,因此也是最普遍因此也是最普遍(通用通用)的的.数学是基础的意义：数学是基础的意义：l毕达哥拉斯与柏拉图：毕达哥拉斯与柏拉图：数学规律是宇宙间最基本、最普遍的规律。数学规律是宇宙间最基本、最普遍的规律。本讲稿第二十七页，共二十九页 Bourbaki 的讣
7、文（1968年冬）Cantor（康托尔）、Hilbert（希尔伯特）、Noether（诺特）诸家族，Cartan、Weil、Dieudonn、Chevalley，诸家族 Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、Godement（古德曼）、Samuel（萨姆埃尔）、Schwartz（施瓦尔兹）诸家族，Demazure（德马祖尔）、Douady（杜阿第）、Giraud（吉劳）、Verdier（费荻耶）诸家族，还有其他家族以及Able 和Idle小姐，悲哀地奉告Nicolas Bourbaki老爷于11月11日在Nancago自己的庄圆中逝世。兹订于1968年11月23日星期六15时在随机函数公墓（Markov及Gdel地下铁路车站）安葬。仪式在Koszul（广）场，射影予解式十字路口，“直积”酒吧间前举行。BourbakiBourbaki学派学派(结构主义结构主义).).本讲稿第二十八页，共二十九页按已故者遗愿，由至圣红衣主教阿列夫1（1）在万用问题圣母大教堂主持弥散，所有闭影射的等价类及纤维的全权代表出席。高等师范学校、陈班（类）学生默哀追念死者。不奉献鲜花、花环及花束。“因为上帝就是Aleksandrov（亚历山大洛夫）的万有紧化”（Grothendieck格罗登迪克福音书第四章22页）。本讲稿第二十九页，共二十九页