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1、 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分.把答案填在题中横线上),则 =_ .f (x)=xLx22L的通解为_ .x2dx22 1 0,其中 为 的伴随矩阵 ,A * A E*0 0 1DX = _ .X二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,2abxxx2000(A)(C)(B)(D)则存在f (x)(A)在有x (0,d )f (x) f (0)f (x) f (0) nn=1annnn=1llannnn=1a2nnnn=1lannnn=1=ttf (x)1y(A)f (2)(
2、C)(11)设 是 3阶方阵,将 的第 1列与第 2列交换得 ,再把 的第 2列加到第 3AABBCQ0 1 00 1 01 0 0(A)(C)(B)(D)1 0 11 0 10 0 10 1 00 1 11 0 00 0 1A,BA,BA,BA,BXN(0,1),uP X 1-22u21,nn12ni则(A)Cov(X ,Y) =22n11(C)(D)D(X + Y) =22nn11三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )(15)(本题满分 12 分)设e a b X12nbb（1）曲线 y=lnx 上与直线 x【分析】 本题为基础题型，相当于
3、已知切线的斜率为1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。1 = (ln ) = = 1，得 x=1, 可见切点为(1, 0)【详解】 由 yx，于是所求的切线方程为xy - 0 = 1(x -1) ， 即 y = x -1.1y= 1，得 x = 1【评注】 本题也可先设切点为，00x0x=x00 1（2）已知 f exe ，且 f(1)=0, 则 f(x)=x2( )【分析】 先求出 f x 的表达式，再积分即可。= tx.， 即tx1积分得 f2.利用初始条件得f(x)=2x2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。3p（3）设 为正向圆周 x2在第一象
4、限中的部分，则曲线积分 xdy的值为.L22L2在第一象限中的部分，可表示为qpx = 2 cos ,.2+d2L03pp.+=2220【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.d2yc cx2+ 4x + 2y = 0(x 0)的通解为 y = +dx.2= etd2y2y dt = x dt x dt dx x dt2+，2222代入原方程，整理得 d2ydy，dt2dt解此方程，得通解为y= c e + c e = + .-t12= et ，则欧拉方程d2y2，22可化为t2完全类似的例题见数学复习指南P171 例 6
5、.19, 数学题型集粹与练习题集P342 第六题.，考研数学大串讲P75 例 12.= 1 2 0+E ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，（5）设矩阵 A，矩 阵 B 满足 ABA*1=则 B.9【分析】 可先用公式 A*AABA*A = 2BA A + A， 而 A = 3，于是有*3AB = 6B + A， 即 (3A - 6E)B = A，再两边取行列式，有3A- 6E B = A = 3，1B = .而9A* ，一般均应先利用公式A*A = AA*1=.e1=【详解】 由题设，知 DX，于是 PX DX = PX =+ll1l1=1el【评注】 本题应记住常见指数分布等
6、的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。完全类似例题见数学一临考演习P35 第 5 题.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）+a=cost2dt, b=xx2tanx（7）把 x时的无穷小量t3dt ，使排在后面的是前一个000的高阶无穷小，则正确的排列次序是a,b,ga,g,bb,a,gb,g,a.(A).(B). (C).(D) B x2 tant dt= lim= 0【详解】，可排除(C),(D)选项，0xx0+x0+2x0+013xg32 x2 tan= lim又0bxx
7、x0+x0+tdt0x= ，可见g 是比 b 低阶的无穷小量，故应选(B).=x2分别与 x 进行比较，再确定相互的高低次序.n则存在d 0，使得（B）f(x)在(-d,0)（8）设函数 f(x)连续，且 f(A) f(x)在（0，d ) 内单调增加.(0, )x (- ,0)对 任 意 的 x【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导 0，fxx0时，有根据保号性，知存在d 0x (- ,0)x (0, )d 时，有 f(x)f(0). 故应选(C).【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。完全类似例题见
8、数学一临考演习P28 第 10 题.（9）设 a 为正项级数，下列结论中正确的是nn=1nnn=1llimnannn=1(C) 若级数 a 收敛，则2.nnnn=1llim(D) 若级数 a 发散, 则存在非零常数 ，使得nannnn=11a =，则=0，但发散，排除(A)，(D)；nnnn=1n=11=a又取 a收敛，但2nnnnn=11a 也发散，故应选(B).n，而级数nnnnnn=1n=1n tt，则1y(D) 0. B 即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变 F(t) = dy ftttxt=1y111(2) = (2)f ，故应选(B).，从而有 Fa(x) 否
9、则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上。完全类似例题见数学最后冲刺P184 例 12，先交换积分次序再求导.（1 1）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q 为0 1 01 0 00 1 1.(D).1 0 10 1 1【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，【详解】由题设，有0 1 0A 1 0 0 = B ， B 0 1 1 = C ，0 0 10 1 0 1 0 0于是，A【评
10、注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P196 例 2.2(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解 1】 设 A 为 m n矩阵，则由 AB=O 知，又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0. 可见 r(A)n, r(B)=（13）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的P X j( 2)所以j t 单调减少，从而 e ，即22=，xe2e24
11、故22e24【证法 2】 设j2e2j( ) 2x =，2,x2( ) e 时，j x 故j x 单调减少，从而当e x e2 时，= - = 0 ，2e2e2 x e2 时，j (x)单调增加.j( ) j( ) x a，44即故22e2e2422.e24(x) = ln x - ln a - (x - a),e a x e2 或【评注】 本题也可设辅助函数为j22e2 4(x) = ln b - ln x - (b - x),e x b 设有方程 x时，级数nn【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证】 记f(x) = x + nx -
12、1.由f (0) = -1 0， ，及连续函数的介值定理知，方程nnnnx + nx -1 = 0 存在正实数根 x ( 0,1).nn( ) =当 x0 时， f x nxnnn.+ nx -1 = 0 x 0与知n1- x10 x =，故当a .nnn 1而正项级数收敛，所以当a时，级数 xa 收敛.n【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P91 例 6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比较法很简单.- 6xy +10y - 2yz - z +18 = 022【分析】 可能极值点是两
13、个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后【详解】 因为 x222 2x - 6y - 2y - 2z = 0，xxzz.yyxz3y,x将上式代入 x 222，可得 =9,x或z222 - 2y2xxx2222xxyxy2220 - 2 - 2 - 2y2yyy221222=B =，C，x622(9,3,3)112，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.61222A = -B = -，x622(-9,-3,-3)11 0，又 A = - 0可知 AC26【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,
14、y,z 满足原方程。完全类似的例题见数学复习指南P277 例 10.31.（20）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组 12nL12nLLLLLL12n【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可。11LLLL2Lnn当 a=0 时， r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为12n由此得基础解系为hLLLTTT12h其中 k L k 为任意常数.1 11 0当 a1+ a 1 11LL-
15、 2 1 000L.- n 0 01L1L时， r(A) = n -1 L其中未知参数b12n的矩估计量；【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。b, x 1,x 1.xbb+x ，-1-1bX=b，所以参数 的矩估计量为令X -1-=X -1（II）似然函数为LnL( =b) ( ;b)f xii1 2ni=1( ) 0时， L b ，取对数得当 xLinln L(b) = nln b - (b +1) ln x，ii=1nn，dbbii=1 nb，=令dbninb.=nln Xi【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。完全类似的例题见数学复习指南P596 例 6.9, 数学题型集粹与练习题集P364 第十三题，数学一临考演习P26 第 23 题.