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1、无忧教育加油站120042004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) )(1)(1)曲线曲线lnyx上与直线上与直线1 yx垂直的切线方程为垂直的切线方程为_ . .(2)(2)已知已知(e )exxfx, ,且且(1)0f, ,则则( )f x=_=_ . .(3)(3)设设L为正向圆周为正向圆周222 yx在第一象限中的部分在第一象限中的部分, ,则曲线积分则曲线积分Lyd
2、xxdy2的值的值为为_._.(4)(4)欧拉方程欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为的通解为_ . .(5)(5)设矩阵设矩阵210120001A, ,矩阵矩阵B满足满足*2ABABAE, ,其中其中*A为为A的伴随矩阵的伴随矩阵, ,E是单位矩阵是单位矩阵, ,则则B=_=_ . .(6)(6)设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布, ,则则DXXP= = _ . .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 3232 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一
3、个符合题目要求只有一个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) )(7)(7)把把 0 x时的无穷小量时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2, ,使排在后面的使排在后面的是前一个的高阶无穷小是前一个的高阶无穷小, ,则正确的排列次序是则正确的排列次序是(A)(A), (B)(B),(C)(C), (D)(D),(8)(8)设函数设函数( )f x连续连续, ,且且, 0)0( f则存在则存在0, ,使得使得(A)(A)( )f x在在(0,(0,)内单调增加内单调增加 (B)(B)( )f x在在)0 ,(内单调减少内
4、单调减少(C)(C)对任意的对任意的), 0(x有有( )(0)f xf (D)(D)对任意的对任意的)0 ,(x有有( )(0)f xf 无忧教育加油站2(9)(9)设设1nna为正项级数为正项级数, ,下列结论中正确的是下列结论中正确的是(A)(A)若若nnnalim=0,=0,则级数则级数1nna收敛收敛(B)(B)若存在非零常数若存在非零常数, ,使得使得nnnalim, ,则级数则级数1nna发散发散(C)(C)若级数若级数1nna收敛收敛, ,则则0lim2nnan (D)(D)若级数若级数1nna发散发散, , 则存在非零常数则存在非零常数, ,使得使得nnnalim(10)(1
5、0)设设( )f x为连续函数为连续函数, ,ttydxxfdytF1)()(, ,则则)2(F等于等于(A)(A)2 (2)f(B)(B)(2)f(C)(C)(2)f (D)(D) 0 0(11)(11)设设A是是 3 3 阶方阵阶方阵, ,将将A的第的第 1 1 列与第列与第 2 2 列交换得列交换得B, ,再把再把B的第的第 2 2 列加到第列加到第3 3 列得列得C, ,则满足则满足AQC的可逆矩阵的可逆矩阵Q为为(A)(A)101001010 (B)(B)100101010 (C)(C)110001010 (D)(D)100001110(12)(12)设设,A B为满足为满足ABO的
6、任意两个非零矩阵的任意两个非零矩阵, ,则必有则必有(A)(A)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关的行向量组线性相关(B)(B)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)(C)A的行向量组线性相关的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)(D)A的行向量组线性相关的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关的列向量组线性相关(13)(13)设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布(0,1),N对给定的对给定的) 10(, ,数数u满足满足uXP, ,若若 xXP, ,则则x等于等于无忧教育加油站3(A
7、)(A)2u (B)(B)21u(C)(C)21u (D)(D) 1u (14)(14)设随机变量设随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布独立同分布, ,且其方差为且其方差为. 02 令令niiXnY11, ,则则(A)(A)21Cov(, )X Yn (B)(B)21Cov(, )X Y (C)(C)212)(nnYXD (D)(D)211)(nnYXD三、解答题三、解答题( (本题共本题共 9 9 小题小题, ,满分满分 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤) )(15)(15)(本题满分本题满分 1212 分分) )设设2e
8、eab, ,证明证明2224lnln()ebaba. .无忧教育加油站4(16)(16)(本题满分本题满分 1111 分分) )某种飞机在机场降落时某种飞机在机场降落时, ,为了减少滑行距离为了减少滑行距离, ,在触地的瞬间在触地的瞬间, ,飞机尾部张开减速飞机尾部张开减速伞伞, ,以增大阻力以增大阻力, ,使飞机迅速减速并停下使飞机迅速减速并停下. .现有一质量为现有一质量为 9000kg9000kg 的飞机的飞机, ,着陆时的水平速度为着陆时的水平速度为 700km/h700km/h 经测试经测试, ,减速伞打减速伞打开后开后, ,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比飞机所受的总阻力与飞机的
9、速度成正比( (比例系数为比例系数为).100 . 66k 问从着陆点问从着陆点算起算起, ,飞机滑行的最长距离是多少飞机滑行的最长距离是多少? ?( (注注:kg:kg 表示千克表示千克,km/h,km/h 表示千米表示千米/ /小时小时) )无忧教育加油站5(17)(17)(本题满分本题满分 1212 分分) )计算曲面积分计算曲面积分,) 1( 322233dxdyzdzdxydydzxI其中其中是曲面是曲面)0(122zyxz的上侧的上侧. .无忧教育加油站6(18)(18)(本题满分本题满分 1111 分分) )设有方程设有方程10nxnx , ,其中其中n为正整数为正整数. .证明
10、此方程存在惟一正实根证明此方程存在惟一正实根nx, ,并证明并证明当当1时时, ,级数级数1nnx收敛收敛. .无忧教育加油站7(19)(19)(本题满分本题满分 1212 分分) )设设( , )zz x y是由是由2226102180 xxyyyzz确定的函数确定的函数, ,求求( , )zz x y的极值点和的极值点和极值极值. .无忧教育加油站8(20)(20)(本题满分本题满分 9 9 分分) )设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x试问试问a取何值时取何值时, ,该方程组有非零解该方程组有
11、非零解, ,并求出其通解并求出其通解. .无忧教育加油站9(21)(21)(本题满分本题满分 9 9 分分) )设矩阵设矩阵12314315a A的特征方程有一个二重根的特征方程有一个二重根, ,求求a的值的值, ,并讨论并讨论A是否可相似是否可相似对角化对角化. .无忧教育加油站10无忧教育加油站11(22)(22)(本题满分本题满分 9 9 分分) )设设,A B为随机事件为随机事件, ,且且111( ),(|),(|)432P AP B AP A B, ,令令;, 0, 1不发生发生AAX ., 0, 1不发生发生BBY求求:(1):(1)二维随机变量二维随机变量(, )X Y的概率分布
12、的概率分布. . (2)(2)X和和Y的相关系数的相关系数.XY无忧教育加油站12(23)(23)(本题满分本题满分 9 9 分分) )设总体设总体X的分布函数为的分布函数为, 1, 1, 0,11),(xxxxF其中未知参数其中未知参数nXXX, 121为来自总体为来自总体X的简单随机样本的简单随机样本, ,求求:(1):(1)的矩估计量的矩估计量. . (2)(2)的最大似然估计量的最大似然估计量无忧教育加油站132004 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=ln
13、x 上与直线垂直的切线方程为 .1 yx1 xy【分析分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。【详解详解】 由，得 x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为11)(lnxxy)0 , 1 ( ， 即 .) 1(10 xy1 xy【评注评注】 本题也可先设切点为，曲线 y=lnx 过此切点的导数为，得，)ln,(00 xx1100 xyxx10 x由此可知所求切线方程为， 即 .) 1(10 xy1 xy本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知，且 f(1)=0, 则 f
14、(x)= .xxxeef)(2)(ln21x【分析分析】 先求出的表达式，再积分即可。)(xf 【详解详解】 令，则，于是有textxln ， 即 tttfln)(.ln)(xxxf 积分得 . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= .Cxdxxxxf2)(ln21ln)(2)(ln21x【评注评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P89 第第 8 题题, P90 第第 11 题题.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .L222 yxLydxxdy223【分析分析】 利
15、用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为222 yx .20:,sin2,cos2yx于是 dydxxdyLsin2sin22cos2cos2220 =.23sin2202d【评注评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.完全类似例题见完全类似例题见数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P143 例例 10.11， 考研数学大串讲考研数学大串讲P122 例例 5、例、例 7 . 无忧教育加油站14（4）欧拉方程的通解为 .)0(024222xydxdyxd
16、xydx221xcxcy【分析分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。tex 【详解详解】 令，则 ，tex dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt1 ，11122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd代入原方程，整理得，02322ydtdydtyd解此方程，得通解为 .221221xcxcececytt【评注评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程tex ，)(222xfcydxdybxdxydax可化为 ).(22tefcydtdybdtdydtyda 完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复
17、习指南P171 例例 6.19, 数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P342 第六题第六题.， 考研数考研数学大串讲学大串讲P75 例例 12. （5）设矩阵，矩阵 B 满足，其中为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩100021012AEBAABA*2*A阵，则 .B91【分析分析】 可先用公式进行化简EAAA*【详解详解】 已知等式两边同时右乘 A，得， 而，于是有AABAAABA*23A， 即 ，ABAB 63ABEA)63(再两边取行列式，有 ，363ABEA 而 ，故所求行列式为2763 EA.91B【评注评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利
18、用公式*A无忧教育加油站15进行化简。EAAAAA*完全类似例题见完全类似例题见数学最后冲刺数学最后冲刺P107 例例 2，P118 例例 9 （6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则= .DXXPe1【分析分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解详解】 由题设，知，于是21DX =DXXPdxeXPx11 =.11eex【评注评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。完全类似例题见完全类似例题见数学一临考演习数学一临考演习P35 第第 5 题题.二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4
19、分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一 0 xdttdttdttxxx03002sin,tan,cos2个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B ,【分析分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解详解】 ，可排除(C),(D)选项，0cos2tanlimcostanlimlim20020002xxxdttdttxxxxx又 xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002 =，可见是比低阶的无穷小
20、量，故应选(B).20lim41xxx【评注评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序.,nx完全类似例题见完全类似例题见数学一临考演习数学一临考演习P28 第第 9 题题.（8）设函数 f(x)连续，且则存在，使得, 0)0( f0 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.)0 ,(C) 对任意的有 f(x)f(0) . (D) 对任意的有 f(x)f(0) . C ), 0(x)0 ,(x【分析分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导无忧教育加油站16数的定义及极限
21、的保号性进行分析即可。【详解详解】 由导数的定义，知 ，0)0()(lim)0(0 xfxffx根据保号性，知存在，当时，有0), 0()0 ,(x 0)0()(xfxf即当时，f(x)f(0). 故应选(C).)0 ,(x), 0(x【评注评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。完全类似例题见完全类似例题见数学一临考演习数学一临考演习P28 第第 10 题题.（9）设为正项级数，下列结论中正确的是1nna (A) 若=0，则级数收敛.nnnalim1nna（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.nnnalim1nna(C) 若级数收敛，则. 1nna0lim2nnan
22、(D)若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 1nnannnalim【分析分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解详解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；nnanln1nnnalim11ln1nnnnna又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).nnan11nnannan2lim【评注评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).01limlimnanannnn11nn1nna完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P213 例例 8.13.（10）设 f(x)为连续函数，
23、则等于ttydxxfdytF1)()()2(F (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析分析】 先求导，再代入 t=2 求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有)2(F无忧教育加油站17变量 t.【详解详解】 交换积分次序，得 =ttydxxfdytF1)()( txtdxxxfdxdyxf111) 1)()(于是，从而有 ，故应选(B).) 1)()(ttftF)2()2(fF【评注评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: )()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf否则
24、，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上。完全类似例题见完全类似例题见数学最后冲刺数学最后冲刺P184 例例 12，先交换积分次序再求导，先交换积分次序再求导.（11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A) . (B) . (C) . (D) .101001010100101010110001010100001110 D 【分析分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q
25、即为此两个初等矩阵的乘积。【详解详解】由题设，有 ， ，BA100001010CB100110001于是， .100001110100110001100001010CAA可见，应选(D).【评注评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。完全类似例题见完全类似例题见数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P196 例例 2.2（12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性
26、相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. A 【分析分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解详解 1】 设 A 为矩阵，B 为矩阵，则由 AB=O 知，nmsn . nBrAr)()(又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0. 可见 r(A)n, r(B)e 时， 所以单调减少，从而，即, 0)( t)(t)()(2e ，2222lnlneee故 .)(4lnln222abeab【证法证法 2】 设，则xexx224ln)( ，24ln2)(exxx ,2ln12)(xx
27、x 所以当 xe 时， 故单调减少，从而当时，, 0)( x)(x2exe无忧教育加油站20 ，044)()(222eeex即当时，单调增加.2exe)(x因此当时，2exe)()(ab即 ，aeabeb22224ln4ln故 .)(4lnln222abeab【评注评注】 本题也可设辅助函数为或2222),(4lnln)(exaeaxeaxx，再用单调性进行证明即可。2222),(4lnln)(ebxexbexbx 完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P347 例例 13.31 及及 P344 的的解题提示解题提示, 考研数学大串讲考研数学大串讲P65 例例 13. （16
28、） （本题满分（本题满分 11 分）分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？).100 . 66k注注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解详解 1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度. 从飞机接触跑道开始hkmv/7000记时，设
29、 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得 .kvdtdvm又 ，dxdvvdtdxdxdvdtdv由以上两式得 ，dvkmdx积分得 由于，故得，从而.)(Cvkmtx0)0(,)0(0 xvv0vkmC ).()(0tvvkmtx当时， 0)(tv).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【详解详解 2】 根据牛顿第二定律，得 ,kvdtdvm所以 .dtmkvdv无忧教育加油站21两端积分得通解，代入初始条件解得，tmkCev00vvt0vC 故 .)(0tmkevtv飞机滑行的最长距离为
30、 ).(05. 1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk或由，知，故最长距离为当时，tmkevdtdx0) 1()(000tmkttmkemkvdtevtxt).(05. 1)(0kmmkvtx【详解详解 3】 根据牛顿第二定律，得 ,dtdxkdtxdm22 ，022dtdxmkdtxd其特征方程为 ，解之得，02mkmk21, 0故 .21tmkeCCx 由 ，002000, 0vemkCdtdxvxttmkttt得 于是 ,021kmvCC).1 ()(0tmkekmvtx 当时，t).(05. 1)(0kmkmvtx所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注评注】 本题求
31、飞机滑行的最长距离，可理解为或的极限值，这种条件应引起注意.t0)(tv完全类似的例题见完全类似的例题见数学最后冲刺数学最后冲刺P98-99 例例 10-11.（17） （本题满分（本题满分 12 分）分）计算曲面积分 ,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI其中是曲面的上侧.)0(122zyxz【分析分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.无忧教育加油站22【详解详解】 取为 xoy 平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，1122 yx1则dxdyzdzdxydydzxI1) 1(322233 .)
32、 1(3221233dxdyzdzdxydydzx由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(6) 1(322222331 =rdzrzdrdr)(620101022 =.2)1 ()1 (2112232210drrrrr而 ，123322133) 1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx故 .32I【评注评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧） ，再就是在上直接投影11积分时，应注意符号(取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).1完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P325 例例 12.21， 数学题型集粹与练习题
33、集数学题型集粹与练习题集P148 例例 10.17（2）, 数学一临考演习数学一临考演习P38 第第 19 题题.（18） （本题满分（本题满分 11 分）分）设有方程，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数01 nxxnnx1收敛.1nnx【分析分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证证】 记 由，及连续函数的介值定理知，方. 1)(nxxxfnn01)0(nf0) 1 ( nfn程存在正实数根01 nxxn).1 , 0(nx当 x0 时，可见在上单调增加, 故方程存在惟一正0)(1nnxxfnn)(xfn),
34、0 01 nxxn实数根.nx由与知01 nxxn0nx ，故当时，.nnxxnnn1101)1(0nxn无忧教育加油站23而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.11nn11nnx 【评注评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。完全类似例题见完全类似例题见数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P91 例例 6.15(有关根的存在性与惟一性证明有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用收敛性证明用比较法很简单比较法很简单.（19） （本题满分（本题满分 12 分）分）设 z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点
35、和极值.0182106222zyzyxyx),(yxzz 【分析分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解详解】 因为 ，所以0182106222zyzyxyx ，02262xzzxzyyx .0222206yzzyzyzyx令 得 0, 0yzxz, 0103, 03zyxyx故 .,3yzyx将上式代入，可得0182106222zyzyxyx 或 3, 3, 9zyx. 3, 3, 9zyx由于 ，02)(22222222xzzxzxzy , 02222622yxzzxzyzyxzyx
36、z ，02)(22222022222yzzyzyzyyzyz所以 ，61)3 , 3 , 9(22xzA21)3 , 3 , 9(2yxzB35)3 , 3 , 9(22yzC无忧教育加油站24故，又，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.03612 BAC061A类似地，由 ，61)3, 3, 9(22xzA21)3, 3, 9(2yxzB35)3, 3, 9(22yzC可知，又，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为03612 BAC061Az(-9, -3)= -3.【评注评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极
37、值点时应注意 x,y,z 满足原方程。完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P277 例例 10.31.（20） （本题满分（本题满分 9 分）分）设有齐次线性方程组)2(, 0)(, 02)2(2, 0)1 (212121nxannxnxxxaxxxxannn试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可。【详解详解 1】
38、对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 .00002111122221111BanaaaaannnnaaA 当 a=0 时， r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 , 021nxxx由此得基础解系为 ,)0 , 0 , 1 , 1(1T,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为 其中为任意常数.,1111nnkkx11,nkk 当时，对矩阵 B 作初等行变换，有0a .10000120002) 1(10000121111nnnanaB可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为2) 1( nnannAr1)(无忧教育加油站25
39、, 0, 03, 0213121nxnxxxxx由此得基础解系为 ，Tn), 2 , 1 (于是方程组的通解为 ，其中 k 为任意常数.kx 【详解详解 2】 方程组的系数行列式为 .1)2) 1(22221111nannaannnnaaA当，即 a=0 或时，方程组有非零解.0A2) 1( nna当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 ，000000000111122221111nnnnA故方程组的同解方程组为 , 021nxxx由此得基础解系为 ,)0 , 0 , 1 , 1(1T,)0 , 1 , 0 , 1(2T,) 1 , 0 , 0 , 1(,1Tn于是方程组的通解为 其
40、中为任意常数.,1111nnkkx11,nkk 当时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有2) 1( nna anaaaaannnnaaA00002111122221111 ，1000012000010000121111nna故方程组的同解方程组为无忧教育加油站26 , 0, 03, 0213121nxnxxxxx由此得基础解系为 ，Tn), 2 , 1 (于是方程组的通解为 ，其中 k 为任意常数.kx 【评注评注】 矩阵 A 的行列式也可这样计算：A=+，矩阵的特征annnnaaA22221111aEnnnn22221111nnnn22221111值为，从而 A 的特征值为 a,a, 故行列式
41、2) 1(, 0 , 0nn2) 1(,nna.)2) 1(1nannaA 类似例题见类似例题见数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P228 例例 4.4 和和 P234 例例 4.12.（21） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设矩阵的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.51341321aA【分析分析】 先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可.【详解详解】 A 的特征多项式为 513410)2(251341321aaAE =).3188)(2(51341011)2(2aa当是特征方程的二重根，
42、则有 解得 a= -2.2, 03181622a当 a= -2 时，A 的特征值为 2,2,6, 矩阵 2E-A=的秩为 1，故对应的线性无关的特征3213213212向量有两个，从而 A 可相似对角化。若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而 18+3a=16，解得 2a31882.32a无忧教育加油站27当时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4E-A=秩为 2，故对应的线性无关的32a13213013234特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化。【评注评注】 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意重特征根，恒有 iki.)(iikAErn而单根一定只有一个线性无关的
43、特征向量。原题见原题见考研数学大串讲考研数学大串讲P224 例例 20.，完全类似的例题还可参见，完全类似的例题还可参见数学复习指南数学复习指南P462 例例 5.12 及及解题解题提示提示.(22)（本题满分（本题满分 9 分）分）设 A,B 为随机事件，且，令21)(,31)(,41)(BAPABPAP ;, 0, 1不发生发生AAX., 0, 1不发生发生BBY求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X 和 Y 的相关系数.XY【分析分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利
44、用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。【详解详解】 （I） 由于，121)()()(ABPAPABP ,61)()()(BAPABPBP所以， ，121)(1, 1ABPYXP ，61)()()(0, 1ABPAPBAPYXP ,121)()()(1, 0ABPBPBAPYXP )(1)(0, 0BAPBAPYXP=32)()()(1ABPBPAP（或） ，321216112110, 0YXP故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1无忧教育加油站28 0 32121 1 61121(II) X, Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 43416561则，DY=
45、, E(XY)=,61,41EYEX163DX365121故 ，从而241)(),(EYEXXYEYXCov .1515),(DYDXYXCovXY【评注评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。原题见原题见考研数学大串讲考研数学大串讲P274 例例 3.（23） （本题满分（本题满分 9 分）分）设总体 X 的分布函数为 , 1, 1, 0,11),(xxxxF其中未知参数为来自总体 X 的简单随机样本，求：nXXX, 121（I） 的矩估计量；（II） 的最大似
46、然估计量.【分析分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。【详解详解】 X 的概率密度为 . 1, 1, 0,),(1xxxxf（I） 由于 ，1);(11dxxxdxxxfEX令，解得 ，所以参数的矩估计量为X11XX .1XX无忧教育加油站29（II）似然函数为 其他, 0), 2 , 1( 1,)();()(1211nixxxxxfLinnnii当时，取对数得), 2 , 1( 1nixi0)(L，niixnL1ln) 1(ln)(ln两边对求导，得，niixndLd1ln)(ln令，可得 ，0)(lndLdniixn1ln故的最大似然估计量为 .ln1niiXn【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。完全类似的例题见完全类似的例题见数学复习指南数学复习指南P596 例例 6.9, 数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P364 第十三题，第十三题， 数学一数学一临考演习临考演习P26 第第 23 题题.