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1、第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解一、自由振动的解自由振动自由振动-由初位移、初速由初位移、初速度引起的度引起的,在振动中无动荷载在振动中无动荷载作用的振动。作用的振动。分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的-确确确确定体系的动力特性：频率、定体系的动力特性：频率、定体系的动力特性：频率、定体系的动力特性：频率、周期。周期。周期。周期。lEI一一.运动方程及其解运动方程及其解m mEIl令令令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程
2、二阶线性齐次常微分方程其通解为其通解为由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能势能，有初始速度即转入了动能二、单自由度系统的动力特性二、单自由度系统的动力特性周期：周期：园频率：园频率：工程频率：工程频率：与外界无关与外界无关,体系本身固有的特性
3、体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系A A、v v不是系统的固有属性的数不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关处的状态有关 例例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度刚度 ，梁的质量，梁的质量m m=5000kg=5000kg，不计柱，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲
4、度。求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率（a a）弹簧串联情况；）弹簧串联情况；（b b）弹簧并联情况。）弹簧并联情况。(a)(a)串联情况串联情况串联情况串联情况思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？(b)(b)并联情况并联情况思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？例：简支梁例：简支梁ABAB，重量不计。在梁的中点位置放一重为重量不计。在梁的中点位置放一重为W W的物体的物体M M时，其静挠度为时，其静挠度为y ystst。现将物体现将物体M M从高度从高度h h处自由处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。当物体
5、落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。2.2.算例算例例一例一.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.m mEIlEIl=1=1ll/2l解解:例二例二.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.=1解解:m mEIllm/2EIEIll例三例三.质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期.解解:EIkl1k第二节第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、一、有阻尼自由振动的解有阻尼自由振动的解特征方程的根：特征方程的根：1 1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼、临界阻尼情况：
6、不产生振动的最小阻尼2 2、超阻尼情况、超阻尼情况 体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。3 3、负阻尼情况、负阻尼情况 00或或c0c0 阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。不稳定的，其振幅将会愈来
7、愈大，直至系统破坏。4 4、低阻尼或小阻尼情况、低阻尼或小阻尼情况 11或或c2mc2m 考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比比 在在0.050.05左右，拱坝在左右，拱坝在0.03-0.050.03-0.05，重力坝包括大头坝在，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,0.05-0.10,土坝、堆石坝在土坝、堆石坝在0.10-0.200.10-0.20之间。强震时，之间。强震时，还会还会增加一些，但其值也是不大的。即使取增加一些，但其
8、值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的频率与代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。计阻尼的影响。不同阻尼比对自由振动幅值的影响不同阻尼比对自由振动幅值的影响二、阻尼的量测二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写成小阻尼解答经过三角转换可写成可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在在t ti i时刻，时刻，y yi i=AeAe-t ti i;在在t ti i+T+Td d时刻，时刻，y yi+1i+1=AeAe-(t(ti
9、 i+T+Td d),),定义自定义自然对数递减率然对数递减率 y y自由振动衰减曲线自由振动衰减曲线 例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M M产生侧移产生侧移25mm25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5 5周周后测得的侧移为后测得的侧移为7.12mm7.12mm。试求。试求 ：（：（1 1）考虑阻尼时）考虑阻尼时的自振频率；（的自振频率；（2 2）阻尼比和阻尼系数；（）阻尼比和阻尼系数；（3 3）振动）振动1010周后的振幅。周后的振幅。解：由解：由y y0 0=25mm,y=25mm,y0+5TD0+5TD
10、=7.12mm,=7.12mm,有：有：例例例例:对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验.用钢用钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm,用用用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN,降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动.经经经经4 4 4 4周期周期周期周期,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒,振幅振幅振幅振幅降为降为降为降为1 1 1 1cmcm.求求求求 1.1
11、.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800800800800kgkgkgkg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解:1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量
12、重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800800800800kg,kg,kg,kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多少为多少为多少第三节第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动受迫振动一、无阻尼受迫振动一、无阻尼受迫振动 1 1、无阻尼受迫振动方程解、无阻尼受迫振动方程解运动方程的解运动方程的解上式中，前三项都是频率为上式中，前三项都是频率为 的自由振动。但第一、二项是的自由振动。但第一、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件
13、无关，是由伴初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。2 2、动力系数、动力系数 动力系数变化曲线动力系数变化曲线例例:图示无重简支梁，在跨中图示无重简支梁，在跨中W W20kN20kN的电机，电机偏心所产生的电机，电机偏心所产生的离心力的离心力F(tF(t)，若机器每分钟的转数，若机器每分钟的转数n=500rad/minn=500rad/min，梁的，梁的EI=1.008X10000kN.
14、mEI=1.008X10000kN.m2 2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。位移和弯矩。解：（解：（1 1）梁的自振频率）梁的自振频率（2 2）系统的动力系数）系统的动力系数想想看还有没有其他方法求自振频率？想想看还有没有其他方法求自振频率？（3 3）梁跨中截面的最大位移和弯矩）梁跨中截面的最大位移和弯矩例例:图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。动力位移。解：按叠加原理解：按叠加原理（1 1）惯性力
15、前为何加负号？）惯性力前为何加负号？（2 2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3 3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？化？例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤:1.1.1.1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；位移、内力；位移、内力；位移、内力；2.2.2.2.计算
16、动力系数；计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数；3.3.3.3.将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。m mEIEIl lPl/4解解.Pl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知:解解.Ql l/2l l/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩重力引起的位移重力引起的位移l l/4振幅振幅动弯矩幅值动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最
17、大弯矩跨中最大位移跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 m m=1=1令令P仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 解解:例例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知已知同频同步变化同频同步变化m mEIl/2l/2F FF F=1F动弯矩幅值图动弯矩幅值图解解:例例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知已知m mEIl/2l/2F FF F=1解解:例例:求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅F动弯
18、矩幅值图动弯矩幅值图m mlm mkllAFo二、有阻尼受迫振动二、有阻尼受迫振动1 1、解的形式、解的形式式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。只存下稳态受迫振动。2 2、幅频曲线和相频曲线、幅频曲线和相频曲线3 3、系统上各个力的平衡、系统上各个力的平衡由已知的荷载 ,以及求得的位移有，当荷载频率远小于系统自振频
19、率时，当荷载频率远小于系统自振频率时，0,0,惯性力惯性力F Fi i(t(t)和阻尼力和阻尼力F Fd d(t(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；都很小，荷载主要由弹簧力平衡；想想：此时相当于什么情况?n当荷载频率远大于系统自振频率时，当荷载频率远大于系统自振频率时，,荷载主要荷载主要由惯性力平衡；由惯性力平衡；当荷载频率接近系统自振频率时，1,此时阻尼力此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（共振区内（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼力不可以忽略。稳态响应中四个力的平衡4 4、半功率法确定阻尼比、半功率
20、法确定阻尼比简谐荷载受迫振动的幅频曲简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼线可以用来确定系统的阻尼比比。取曲线上取曲线上a a、b b两点，令纵两点，令纵坐标坐标代入幅频曲线公式，经处理后有代入幅频曲线公式，经处理后有例例.图示为块式基础图示为块式基础.机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为F F=30kN.求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。解：解：质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端，另一端B沿铅直按 作
21、简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。解：取0时物体的平衡位置o为坐标原点，物体的运动微分方程为右端等价于一个干扰力参照标准形式，可得物体运动规律：由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂点A振动的频率 很高，导致很大，物体的振幅A0,物体静止。在精密仪器与其支座之间装以弹簧系数很低的柔软弹簧，当支座振动强烈时，弹簧的一端将随同支座一起振动。若支座的频率比仪器弹簧系统的固有频率高得多，仪器将近乎静止而不致损坏。思考题：试解释一下地震仪工作原理。第四节第四节 减振与隔振简述减振与隔振简述一、减振与隔振的常用方法一、减振与隔振的常用方法1 1、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减
22、弱、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱2 2、远离振源、远离振源3 3、避免共振、避免共振4 4、采用动力消振器、采用动力消振器主动隔振（隔离振源）主动隔振（隔离振源）消极隔振（隔振材料）消极隔振（隔振材料）二、隔振的基本原理二、隔振的基本原理隔振示意图隔振示意图机器的受迫振动方程为计算简图隔振系数随变化曲线第五节第五节 一般荷载作用下的响应一般荷载作用下的响应一、杜哈姆积分和脉冲响应函数一、杜哈姆积分和脉冲响应函数任意一般荷载实际上只受初速度的自由振动，以实际上只受初速度的自由振动，以v v作为初速度，初位作为初速度，初位移为零。有解答移为零。有解答上式称为杜哈姆积分杜哈姆积分，也可写成卷积积分：上式称为单位脉冲响应函数，简称脉冲响应函数脉冲响应函数。如果初条件不为零，还需叠加上初始条件产生的自由振动。例例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解：解：动力系数为动力系数为 2 2二、响应的数值计算第六节第六节 非线性系统的动力响应非线性系统的动力响应一、增量型的运动方程式二、逐步积分法将时间划成许多微小的时段，在各个时段内加速度呈线性变化从上面两式，可得：三、逐步积分法计算步骤请同学总结。