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1、第二章第二章单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧质量系统的固有振动和自由振动弹簧质量系统的固有振动和自由振动弹簧质量系统的固有振动和自由振动弹簧质量系统的固有振动和自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度有粘性阻尼的自由振动有粘性阻尼的自由振动有粘性阻尼的自由振动有粘性阻尼的自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动1振动力学振动力学瑞利法瑞利法目的：考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能目的：考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能方法：利用动能计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量方法：利用动能
2、计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量加在原来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系加在原来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系统处理。统处理。单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法mkx0概念：为考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能，利用概念：为考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能，利用动动能计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量加在原能计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量加在原来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系统处理，来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系统处理，从而得到更精确的固有频率的近似值。从而得到更精确的固有频率的近似值。2振动力学振动力学例如：弹簧质量系统例如：
3、弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略，则，则增大增大弹簧等效质量弹簧等效质量mtmkx0单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.3振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法 mklsxds4振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法5振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法 mklsxds6振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系
4、统自由振动瑞利法7振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法例：例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑计算考虑梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。ml/2l/2xyxdx8振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法9振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法10振动力学振动力学单自由度系统自由振动瑞利法单自由度系统自由振动瑞利法瑞利法的概念瑞利法的概念:在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简在单自由度质量弹簧
5、系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即分布质量，计算其动能，即小结：小结：从而计算系统固有频率。因此，从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。11振动力学振动力学教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼
6、自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动12振动力学振动力学等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：能量法：能量法选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：当当、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度；：简化系统的等效刚度；Me：简化系统的等效质量。：简化系统的等效质量。等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。单自由度系统自由振动等效质量
7、和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度13振动力学振动力学动能动能势能势能零势能位置零势能位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度14振动力学振动力学k1Rk2M m x动能动能势能势能单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度15振动力学振动力学方法方法2：定义法：定义法等等效效刚刚度度：使使系系统统在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位位位移移而而需需要要在在此此坐坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统统在在这这个个坐坐标标上上的的等效刚度。等效刚度。等等效效质质量量：
8、使使系系统统在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位加加速速度度而而需需要要在在此此坐坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统统在在这这个个坐坐标标上上的等效质量的等效质量。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度16振动力学振动力学例：串联系统例：串联系统总变形：总变形：在质量块在质量块m上重力与外力的合力为上重力与外力的合力为P弹簧弹簧1变形：变形：弹簧弹簧2变形：变形：根据定义：根据定义：或或P mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效
9、刚度。方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度17振动力学振动力学例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：根据定义：根据定义：并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。P mk1k2 mk1k2单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做
10、系统在这个坐标上的等效刚度。方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。18振动力学振动力学例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：求：求：系统对于坐标系统对于坐标x的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度19振动力学振动力学解法解法1：能量法：能量法动能：动能：势能：势能：等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自
11、由振动等效质量和等效刚度20振动力学振动力学解法解法2：定义法：定义法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：上产生惯性力，对支座取矩：则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩：PPk1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度21振动力学振动力学单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度22振动力学
12、振动力学单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度23振动力学振动力学小结小结单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：1）能量法）能量法等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。2 2）定义法）定义法等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。度。等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量质量。24振动力学振动力学