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1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态控制系统的状态变量法建模变量法建模 本章简介本章简介(1/2)本本 章章 简简 介介q本章讨论动态系统的状态空间描述主要介绍状态空间分析中状态空间模型的建立、状态空间模型的线性变换、MIMO的传递函数阵、组合系统的状态空间模型,以及离散时间动态系统的状态空间模型。目录(1/1)目目 录录q概述概述q2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 q2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型状态空间模型的线性变换和
2、约旦规范型q2.5 传递函数阵传递函数阵q2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 q2.7 Matlab问题问题 q本章小结本章小结概述(1/12)概概 述述q控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。所谓动态系统(又称为动力学系统),抽象来说是指能储存输入信息(或能量)的系统。例如,含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统,含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统,存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。概述(2/12)这类系统与静态系统(静力学系统)的区别在于:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系统的输出取决于系统
3、当前及过去的输入信息的影响的叠加。如,电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比,而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。概述(3/12)q在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系统的数学模型,它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。在系统和控制科学领域内,数学模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式,它包含数值型的和逻辑型的,线性的和非线性的,时变的和定常的,连续时间型的和离散时间型的,集中参数的和分布参数的等等。这种描述系统动态特性的数学表达式亦称为系统的动态方程。概述(4/12)建立数学模型的主要方法有:机理分析建模机理分析建模。v按照
4、系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及v各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。实验建模实验建模(系统辨识系统辨识)。v通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。概述(5/12)q值得指出的是,不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式,以及对模型精度的不同要求,都会导致不同的数学模型。因此,一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。例如,严格说来,大多数实际系统的动力学模型都具有非线性特性,而且系统是以分布参数的形式存在。若在建立数学模型中考虑这些复杂因素,必然将
5、使所建立的模型中含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程,这样就给模型在系统分析、控制系统的设计和实现上带来相当大的困难性。在给定的容许误差范围内,如果将这些复杂因素用线性特性、集中参数的形式去近似描述系统,将大大简化系统模型的复杂程度,从而使所建立的模型能有效地运用到系统分析和控制系统设计等方面。概述(6/12)当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似,也必然影响数学模型的精度,以及模型在分析、综合和控制中的应用效果。因此,一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑,它是在忽略次要因素,在现实条件和可能下,在一定精度范围内的,尽可能抓住主要因素,并最终落脚于实际应用的目标、条件(工具
6、)与环境的结果。模型并不是越精确越好、越复杂越好模型并不是越精确越好、越复杂越好。概述(7/12)q传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模型,它适用于SISO线性定常系统,能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。但是,对于MIMO系统、时变系统和非线性系统,这种数学模型就无能为力。传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性,不能反映系统内部的动态变化特性。因而是一种对系统的外部动态特性的描述,这就使得它在实际应用中受到很大的限制。概述(8/12)q现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用由状
7、态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息,是对系统行为的一种完全描述。概述(9/12)q状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制,从而显示了它的极大优越性。概述(10/12)q本章主要介绍机理建模、各种数学模型间的变换和状态空间
8、(即状态空间模型)变换。概述(11/12)q本章需解决的问题与难点本章需解决的问题与难点:基本概念:状态、状态空间状态空间模型-状态空间模型及其意义如何建立状态空间模型由机理出发由微分方程出发由传递函数出发由系统结构图出发状态空间变换特征值、特征向量与特征空间状态空间变换本章重点与难点本章重点本章重点概述(12/12)传递函数阵组合系统的状态空间模型离散时间动态系统的状态空间描述状态和状态空间模型(1/2)2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。状态状态变量状态
9、空间状态空间模型状态和状态空间模型(2/2)q本节主要内容为:状态空间的基本概念状态空间的基本概念系统的状态空间模型系统的状态空间模型线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图状态空间的基本概念的基本概念(1/1)2.1.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念q下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为：系统的状态和状态变量系统的状态和状态变量系统的状态空间系统的状态空间系统的状态和状态变量(1/5)1.系统的状态和状态变量系统的状态和状态变量q动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握
10、状态空间分析方法十分重要。“状态”的定义如下。q定义定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述完全描述系统时间域动态时间域动态行为行为的一个最小变量组最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。系统的状态和状态变量(2/5)q“状态”定义的三要素完全描述完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为动态时域行为。最小变量组最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,
11、冗余的变量,毫无必要。要掌握喔!系统的状态和状态变量(3/5)q若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:图2-1 多输入多输出系统示意图系统的状态和状态变量(4/5)q状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。状态空间系统的状态和状态变量(5/5)q状态变量与输
12、出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。输出空间空间映射xy系统的状态空间(1/1)2.系统的状态空间q若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.q状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬
13、时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。状态轨线如图2-2所示。图2-2 二维空间的状态轨线系统的状态空间模型(1/11)2.1.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型q状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出输出方程方程所组成。下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。系统的状态空间模型(2/11)q例例 某电网络系统的模型如图2-3所示。
14、试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。q解 1.根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的方程图2-3 例2-3的RLC电网络系统系统的状态空间模型(3/11)2.选择状态变量。选择状态变量。状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。对本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组-状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方
15、程的右边。系统的状态空间模型(4/11)对本例,经整理可得如下状态方程写成向量与矩阵形式为：4.列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例系统的状态空间模型(5/11)其中5.将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型系统的状态空间模型(6/11)q由上述例子,可总结出状态空间模型的形式为其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。描述线性系统的主要状态空间模型,切记!系统的状态空间模型(7/11)q对前面引入的状态空
16、间模型的意义,有如下讨论:状态方程状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。系统的状态空间模型(8/11)q上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至非线性系统、时变系统。1.非线性时变系统非线性时变系统其中f(x,u,t)和g(x,
17、u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性向量函数f(x,u,t)=f1(x,u,t)f2(x,u,t)fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t)g2(x,u,t)gm(x,u,t)系统的状态空间模型(9/11)2.非线性系统非线性系统其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数。这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不随时间变化而变化。3.线性时变系统线性时变系统其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。系统的状态空间模型(10/11)4.线性定常系统线性定常系统q为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为
18、(A(t),B(t),C(t),D(t).类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D).几种简记符的意义:系统的状态空间模型(11/11)线性系统状态空间模型的结构图(1/5)2.1.3 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图q线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器积分器,加法器加法器和比例器比例器,其表示符如图2-4所示。线性系统状态空间模型的结构图(2/5)图2-4 系统结构图中的三种基本元件 线性系统状态空间模型的结构图(3/5)q例 线性时变系统的结构图如图2-5所示。图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图线性系统状态空间模型的结构图(4/5)q若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入-双输出线性定常系统的结构图。线性系统状态空间模型的结构图(5/5)图2-6 双输入双输出线性定常系统结构图