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1、第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法第5章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.1引言引言时时域域离离散散系系统统或或网网络络的的描描述述方方法法有有：差差分分方方程程，单位脉冲响应，系统函数。例如用差分方程表示系单位脉冲响应，系统函数。例如用差分方程表示系统：统：则其系统函数则
2、其系统函数H(z)为为第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法为了用计算机或芯片完成对输入信号的处理，必为了用计算机或芯片完成对输入信号的处理，必须把这些描述公式转变成为一种算法，让计算机按照须把这些描述公式转变成为一种算法，让计算机按照这种算法对输入信号进行运算。差分方程是对输入信这种算法对输入信号进行运算。差分方程是对输入信号的一种直接算法号的一种直接算法递推法，系统函数是对输入信递推法，系统函数是对输入信号的一种间接算法号的一种间接算法频域法。频域法。例如，给出一个差分方程，它的系统函数有很多例如，给出一个差分方程，它的系统函数有很多种：种：
3、第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法以上的系统函数是一样的，但是有不同的算法实现它以上的系统函数是一样的，但是有不同的算法实现它们。们。根据根据有（有（1）优点？缺点？优点？缺点？（2）优点？缺点？优点？缺点？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（3）或或优点？缺点？优点？缺点？从以上例子可以看到：算法不同，运算误差、运算速从以上例子可以看到：算法不同，运算误差、运算速度、复杂程度、成本等都不同。可见，信号处理的算度、复杂程度、成本等都不同。可见，信号处理的算法是很重要的。法是很重要的。第第5章
4、章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.2用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构信号流图可以描述系统，这种描述表示的网络结信号流图可以描述系统，这种描述表示的网络结构能直观地描述系统的算法。构能直观地描述系统的算法。观察差分方程可知，数字信号处理中有三种基本观察差分方程可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流本运算用流图表示如图图表示如图5.2.1所示。所示。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法图图5.2.1三种基本运算的流图
5、三种基本运算的流图对于前面的系统函数表示的系统，可以用信号流图表示。对于前面的系统函数表示的系统，可以用信号流图表示。箭头和节点分别表示一次运算！箭头和节点分别表示一次运算！第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法对于下面信号流图表示的系统，可以求出其系统函数。对于下面信号流图表示的系统，可以求出其系统函数。可以直接求解，可以直接求解，或利用梅逊方程求解。或利用梅逊方程求解。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法从网络的回路来看，网络分为两种：从网络的回路来看，网络分为两种：有限长脉冲响应（有限长脉冲
6、响应（FIR）网络）网络它没有反馈回路，它没有反馈回路，无限长脉冲响应（无限长脉冲响应（IIR）网络）网络它有反馈回路。它有反馈回路。例如，系统的差分方程是：例如，系统的差分方程是：它的单位脉冲响应是：它的单位脉冲响应是：其它其它n请问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？请问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法又例如，系统的差分方程是：又例如，系统的差分方程是：y(n)=ay(n-1)+x(n)它的单位脉冲响应是：它的单位脉冲响应是：h(n)=anu(n)请问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？请
7、问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.3无限长脉冲响应的网络结构无限长脉冲响应的网络结构1.直接型直接型对对N阶差分方程：阶差分方程：设设M=N=2，很容易直接画出两种网络结构，它对应这种，很容易直接画出两种网络结构，它对应这种系统的两种运算结构。系统的两种运算结构。这种寻找运算结构的方法，用系统函数或差分方程，是这种寻找运算结构的方法，用系统函数或差分方程，是很难得到的。很难得到的。这两种直接型的优缺点是什么？这两种直接型的优缺点是什么？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的
8、网络结构与状态变量分析法图图5.3.1IIR网络直接型结构网络直接型结构第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为请画出该滤波器的直接型结构。请画出该滤波器的直接型结构。解解由由H(z)写出差分方程如下：写出差分方程如下：按照差分方程可以立刻得到该系统的直接型网络结构。按照差分方程可以立刻得到该系统的直接型网络结构。注意系统函数和差分方程关系，也可以直接从系统函数注意系统函数和差分方程关系，也可以直接从系统函数画出直接型网络结构。画出直接型网络结构。第第5章章时域离散系统的网络结
9、构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法图图5.3.2例例5.3.1图图第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法2.级联型级联型系统函数系统函数H(z)的公子分母可以为多项式，也可以是因的公子分母可以为多项式，也可以是因子相乘，例如：子相乘，例如：如果多项式的系数是实数的话，如果多项式的系数是实数的话，Cr和和Dr就是实数或共轭成就是实数或共轭成对的复数。将共轭成对的零极点放在一起，对的复数。将共轭成对的零极点放在一起，形成一个系数形成一个系数是实数的二阶网络，是实数的二阶网络，第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离
10、散系统的网络结构与状态变量分析法这这 样样 H(z)就就 分分 解解 成成 一一 些些 一一 阶阶 或或 二二 阶阶 数数 字字 网网 络络 的的 级级 联联，H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z)式式中中Hi(z)表表示示一一个个一一阶阶或或二二阶阶的的数数字字网网络络的的系系统统函函数数，每每个个Hi(z)的的网网络络结结构构均均采采用用前前面面介介绍绍的的直直接接型型网网络络结结构，如图构，如图5.3.3所示。所示。图图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构直接型二阶网络结构第第5章章时域离散系统
11、的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.3.2试画出如下系统函数试画出如下系统函数H(z)的级联型网络结构。的级联型网络结构。解：解：将将H(z)分子分母进行因式分解，得到分子分母进行因式分解，得到其网络结构有几种？怎么选择比较好？其网络结构有几种？怎么选择比较好？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法3.并联型并联型如如果果将将级级联联形形式式的的H(z)，展展开开部部分分分分式式形形式式，得得到到IIR并联型结构。并联型结构。式式中中，Hi(z)通通常常为为一一阶阶网网络络和和二二阶阶网网络络，网网络络系系统统
12、均均为实数。二阶网络的系统函数一般为为实数。二阶网络的系统函数一般为式中，式中，0i、1i、1i和和2i都是实数。由都是实数。由(5.3.4)式，其式，其输出输出Y(z)表示为表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.3.3画出例题画出例题5.3.2中的中的H(z)的并联型结构。的并联型结构。解解将例将例5.3.2中中H(z)展成部分分式形式：展成部分分式形式：每一部分用直接型结构实现，得并联型网络结构。每一部分用直接型结构实现，得并联型网络结构。为什么不让它们的分子分
13、母阶数相同？为什么不让它们的分子分母阶数相同？与级联型比的优与级联型比的优缺点？缺点？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.4有限长脉冲响应网络结构有限长脉冲响应网络结构FIR网络结构系统函数网络结构系统函数H(z)和差分方程为和差分方程为第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法1.直接型直接型按按照照H(z)或或者者差差分分方方程程直直接接画画出出的的系系统统结结构构图图称称为直接型网络结构或者卷积型结构。为直接型网络结构或者卷积型结构。图5.4.1 FIR直接型网络结构 第第5章章时域离散系统
14、的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法2.级联型级联型将将H(z)进进行行因因式式分分解解，并并将将共共轭轭成成对对的的零零点点放放在在一一起起，形形成成一一个个系系数数为为实实数数的的二二阶阶形形式式，这这样样级级联联型型网网络络结结构构就就是是由由一一阶阶或或二二阶阶因因子子构构成成的的级级联联结结构构，其其中中每一个因式都用直接型实现。每一个因式都用直接型实现。例例5.4.1设设FIR网络系统函数网络系统函数H(z)如下式：如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出画出H(z)的直接型结构和级联型结构。的直接型结构和级联型结构。第第
15、5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 解解将将H(z)进行因式分解，得到：进行因式分解，得到：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。所示。图图5.4.2例例5.4.1图图它们各有什么优缺点？它们各有什么优缺点？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法3.频率采样结构频率采样结构频频率率域域等等间间隔隔采采样样，相相应应的的时时域域信信号号会会以以频频率率域
16、域的的采采样样点点数数为为周周期期进进行行周周期期性性延延拓拓。如如果果在在频频率率域域采采样样点点数数N大大于于等等于于原原序序列列的的长长度度M，则则不不会会引引起起信信号号失失真真。此此时原序列时原序列的的z变换变换H(z)与频域采样值与频域采样值H(k)满足下面关系式：满足下面关系式：设设FIR滤滤波波器器单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)长长度度为为M，系系统统函函数数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中式中H(k)用下式表示：用下式表示：(5.4.1)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法要要求求频频率率域域采采样样点点数数NM。
17、(5.4.1)式式提提供供了了一一种种称称为频率采样的为频率采样的FIR网络结构。网络结构。请问请问IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构？滤波网络，为什么不采用频率采样结构？将将(5.4.1)式写成下式：式写成下式：式中式中 这这样样，H(z)可可由由一一个个梳梳状状滤滤波波器器Hc(z)和和N个个并并联联的一阶网络的一阶网络Hk(z)级联而成。级联而成。(5.4.2)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法为什么称为什么称Hc(z)=1-z-N为梳状滤波器？为梳状滤波器？图图5.4.3FIR滤波器频率采样结构滤波器频率采样结构上图属于什么网络
18、结构？上图属于什么网络结构？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法梳状滤波器的零点有梳状滤波器的零点有N个，个，一阶网络的极点有一阶网络的极点有N个，个，它们理论上可以抵消，使频率域采样结构还是它们理论上可以抵消，使频率域采样结构还是FIR网络。网络。频率域采样结构的优点：频率域采样结构的优点：(1)在在频频率率采采样样点点k，H(ejk)=H(k)，调调整整H(k)就就可可以以调调整整系统的频率特性。调整方便。系统的频率特性。调整方便。(2)只只要要相相同同长长度度的的h(n)，对对于于任任何何频频率率形形状状，其其梳梳状状滤滤波波器器和和N个
19、个一一阶阶网网络络的的结结构构完完全全相相同同，只只是是各各支支路路增增益益H(k)不同。相同部分便于模块化。不同。相同部分便于模块化。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法频率域采样结构的缺点：频率域采样结构的缺点：(1)有限字长效应可能不能使有限字长效应可能不能使N个零极点对消。个零极点对消。(2)H(k)和和W-kN一般为复数，乘法器要作复数乘法运算。一般为复数，乘法器要作复数乘法运算。克服上述缺点的方法：克服上述缺点的方法：(1)将将单单位位圆圆上上的的零零极极点点向向单单位位圆圆内内收收缩缩一一点点，收收缩缩到到半径为半径为r的圆上，取
20、的圆上，取r1且且r1。(2)利利用用DFT的的共共轭轭对对称称性性，将将Hk(z)和和HN-k(z)合合并并为为一个实系数的二阶网络。一个实系数的二阶网络。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 式中 第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法显显然然，二二阶阶网网络络Hk(z)的的系系数数都都为为实实数数，其其结结构构如如图图5.4.4所所示示。图图(a)为为Hk(z)的的结结构构图图，图图(b)为为H(z)的的结构图。结构图。图图5.4.4频率采样修正结构频率采样修正结构第第5章章时域离散系统的网
21、络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.5状态变量分析法状态变量分析法1.状态方程和输出方程状态方程和输出方程系系统统的的成成分分可可划划分分为为有有记记忆忆的的和和无无记记忆忆的的，即即非非线性的和线性的。状态指线性的和线性的。状态指有记忆有记忆成分的输出量。成分的输出量。状状态态变变量量分分析析法法有有两两个个基基本本方方程程：状状态态方方程程和和输输出方程。出方程。状状态态方方程程反反映映系系统统内内部部一一些些称称为为状状态态变变量量的的节节点点变量和输入的联系。变量和输入的联系。输输出出方方程程反反映映输输出出信信号号和和状状态态变变量量的的联联系系。与与输输
22、入输出描述法？相比，这么做的好处和坏处？入输出描述法？相比，这么做的好处和坏处？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法相位电位相位电位变换器变换器1比较器比较器放大器放大器相位电位相位电位变换器变换器2A1A2受控电机受控电机目标方位目标方位A10A10(t)电机电压电机电压0炮口方位炮口方位(t)A1(t)0(t)电机不是线性成分。电机不是线性成分。用状态分析法列系统的方程容易。用状态分析法列系统的方程容易。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法图图5.5.1是是一一个个二二阶阶网网络络的的信信号
23、号流流图图。它它有有两两个个延延时时支支路（有记忆部份），因此有两个状态变量路（有记忆部份），因此有两个状态变量w1(n)和和w2(n)。下面建立该流图的状态方程和输出方程。下面建立该流图的状态方程和输出方程。w1=z-1w2，z-1表示延时，表示延时，z+1表示超前。表示超前。w2=z-1(x-a1w2-a2w1)y=b0(x-a1w2-a2w1)+b1w2+b2w1哪个是状态方程？哪个是输出方程？哪个是状态方程？哪个是输出方程？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法将上式的将上式的w1(n+1)、w2(n+1)和和y(n)写成矩阵形式：写成矩
24、阵形式：y(n)=b2-a2b0,b1-a1b0w1(n),w2(n)T+b0 x(n)状态方程可以用递推法求解吗？状态方程可以用递推法求解吗？可以用计算机求解系统的状态和输出吗？可以用计算机求解系统的状态和输出吗？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法如如果果系系统统中中有有N个个单单位位延延时时支支路路，M个个输输入入信信号号x1(n),x2(n),xM(n)，L个个输输出出信信号号y1(n),y2(n),yL(n)，则状态方程和输出方程分别为，则状态方程和输出方程分别为式中式中A是是状状态态增增益益NN矩矩阵阵？B是是输输入入状状态态增增益
25、益NM矩矩阵阵？C是是状状态态输输出出增增益益LN矩矩阵阵？D是是输输入入输输出出增增益益LM矩矩阵？阵？第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法状态变量分析法的流图表示：状态变量分析法的流图表示：根据该图：根据该图：（1）设）设z-1支路的输出为状态变量支路的输出为状态变量w(n)，输入为，输入为w(n+1)；（2）列出状态变量方程；）列出状态变量方程；（3）列出输出方程。）列出输出方程。Y(n)X(n)z-1W(n+1)W(n)DABC第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.5.1建立例建立
26、例5.5.1流图的状态方程和输出方程。流图的状态方程和输出方程。解解：因因信信号号流流图图中中有有两两个个延延时时支支路路，状状态态变变量量为为w1(n)和和w2(n)。列出状态方程和输出方程：。列出状态方程和输出方程：y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 将上式写成矩阵方程：将上式写成矩阵方程：第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.5.2直直接接写写出出例例5.5.1信信号号流流图图的的A、B、C和和D参参数数矩矩阵。阵。解解：
27、a11=a1,a12=a2,a21=1,a22=0.b1=1,b2=0.c1=b1+a1b0,c2=b2+a2b0.d=b0.第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例例5.5.3已知系统函数已知系统函数H(z)为为(1)画出画出H(z)的级联型网络结构；的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。解解：（：（1）改写）改写H(z)，然后根据然后根据Masson公式直接画出级联型结构公式直接画出级联型结构-0.81第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与
28、状态变量分析法（2）设设延延时时支支路路的的输输出出为为状状态态变变量量w1(n)、w2(n)和和w3(n)；写出状态方程；写出状态方程w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：将以上三个方程写成矩阵方程：第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法写出输出方程写出输出方程y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的
29、将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例例5.5.4已知已知FIR滤波网络系统函数滤波网络系统函数H(z)为为 画出其直接型结构，写出其状态方程和输出方程。画出其直接型结构，写出其状态方程和输出方程。解：（解：（1）根据）根据画出直接型结
30、构图。画出直接型结构图。第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（2）以以延延时时支支路路的的输输出出端端为为状状态态变变量量w1(n)、w2(n)和和w3(n)。根根据据参参数数矩矩阵阵中中各各元元素素的的意意义义，直直接接写写出出状状态态方方程和输出方程如下：程和输出方程如下：y(n)=a1a2a3w1(n)w2(n)w3(n)T+a0 x(n)第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法2.由状态变量分析法转换到输入输出分析法由状态变量分析法转换到输入输出分析法（1）为了求系统函数，对状态方程和输出方
31、程）为了求系统函数，对状态方程和输出方程W(n+1)=AW(n)+Bx(n)y(n)=CW(n)+dx(n)求求Z变换可以得到变换可以得到第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例例5.5.5已知二阶网络的四个参数矩阵如下：已知二阶网络的四个参数矩阵如下：求该网络的系统函数。求该网络的系统函数。解：解：第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（2）为了求单位脉冲响应，对状态方程）为了求单位脉冲响应，对状态方程W(n+1)=AW(n)+Bx(n)运用递推法可以得到运用递推法可以得到W(n)的时域解：的时域解：对输出方程对输出方程y(n)=CW(n)+dx(n)带入零状态响应和单位脉冲信号带入零状态响应和单位脉冲信号(n)得到得到第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 第第5章章时域离散系统的网络结构与状态变量分析法时域离散系统的网络结构与状态变量分析法3.模型转换模型转换状态空间型状态空间型xn+1=Axn+Bunyn=Cxn+Dun传递函数型传递函数型零极增益型零极增益型极点留数型极点留数型