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1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态控制系统的状态 变量法建模变量法建模根据系统机理建立状态空间模型(1/5)2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是控制理论和工程的基础.上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电气元件的物理机理及电网络分析方法.这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模.机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动态关系.
2、根据系统机理建立状态空间模型(2/5)q在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量(或信息)的能力。例如,机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息.对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间模型.根据系统机理建立状态空间模型(3/5)q建立动态系统数学模型的主要机理/依据有:电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和
3、电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系.机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力与位移、速度间的关系.对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度.化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系.经济系统中的投入产出方程。根据系统机理建立状态空间模型(4/5)q建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）根据系统机理建立状态空间模型(5/5)q下面通过常见的刚体力学系统刚体力学系统、流体力学系
4、统流体力学系统、典型化工典型化工(热工热工)过程过程 机电能量转换系统机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型.刚体动力学系统(1/4)1.刚体动力学系统的状态空间描述刚体动力学系统的状态空间描述q图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型.试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间模型.刚体动力学系统(2/4)q解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响
5、.系统的受力情况如下图所示.2.选择状态变量选择状态变量.对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量.对本例,有刚体动力学系统(3/4)1.应根据系统的内部机理列出各物理量应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所满足的关系式所满足的关系式.由牛顿第二定律有刚体动力学系统(4/4)4.建立输出方程建立输出方程y=x15.经整理经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型3.将状态变量代入将状态变量代入运动方程流体动力学系统(1/5)2.流体力学系统的状态空间描述流体力学系统的状态空间描述q图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开度不变,在平衡工作点附近阀
6、门阻力系数分别可视为常量R1和R2.图中Qi,Q1和Qo为流量;h1和h2为水槽的水面高度.试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间模型.流体动力学系统(2/5)q下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压强)的关系.q解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡.下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.压力流量电路电压电流流体压力(液位差)液体流量气体气压差(压强)气流量(风量)压力/流量电阻阀门阻力系数风阻力系数流体动力学系统(3/5)1.机理分析机理分析.根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力(水面高度,液位差)的关系,有其中代表平衡
7、工作点附近的变化量.q将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有流体动力学系统(4/5)2.选择状态变量选择状态变量.由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和h2为状态变量,即x1(t)=h1(t),x2(t)=h2(t)3.将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状态方程流体动力学系统(5/5)4.建立输出方程建立输出方程y=x25.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型典型化工典型化工(热工热工)过程过程(1/5)3.典型化工典型化工(热工热工)过程的状态空间描述过程的状态空间描述q图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连
8、续流动单元,其中发生如下二级吸热反应图2-9 某化工(热工)过程2AB该化工反应生产过程为:温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常量)的料液以Q(t)的流量进入反应器;为保证单元内的液体体积不变,假定流出的流量亦为Q(t);典型化工典型化工(热工热工)过程过程(2/5)为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。典型化工典型化工(热工热工)过程过程(3/5)q解 1.机理分析机理分析.在化学反应中,一般应保持热量和物料的平衡关系。因此,对整个
9、反应器作热量和物料平衡,就有其中V,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数;H为反应热。典型化工典型化工(热工热工)过程过程(4/5)2.选择状态变量选择状态变量.显然,选择容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为状态变量是合理的。因此,令x1(t)=(t)x2(t)=CA(t)3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程典型化工典型化工(热工热工)过程过程(5/5)q上述状态空间模型表示的是一个双输入双输出的非线性定常系统。和输出方程机电能量转换系统(1/5)4.机电系统的状态空间描述机电系统的状态空间描述 q图2-10表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电
10、阻和总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦.试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模型.机电能量转换系统(2/5)q解解 1.设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照图2-10所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt,M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量).机电能量转换系统(3/5)因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2.选择状态变量选择状态变量.对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,
11、以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下机电能量转换系统(4/5)3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程4.建立输出方程y=x2机电能量转换系统(5/5)5.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(1/3)本节小结本节小结q由上述由上述4 4个例子个例子,可总结出由系统的物理机理建立状态空间模可总结出由系统的物理机理建立状态空间模型的基本步骤为型的基本步骤为:Step 1.根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程.如:回路电压和节点电流方程,牛顿第二定律,热量和物料平衡关系,
12、经济学中的投入产出方程等还记得自动控制原理课中怎么写模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(2/3)Step 2.选择状态变量选择状态变量.一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数,并将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量,如电网络中电容电压和电感电流,刚体力学系统中惯性体的位移和速度(或角位移和角速度),流体力学系统中流量和液面高度(容量、体积),化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度)等物理变量作为状态变量,是较方便的.写状态空间模型的关键喔根据系统机理建立状态空间模型-小结(3/3)Step 3.将选择好的状态变量代换将选择好的状态变量代换Step 1得到的各微分方程得到的各微分方程组组,整理得一阶微分方程组整理得一阶微分方程组.Step 4.根据系统状态变量与输出变量得关系根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方建立输出方程程.Step 5.整理规范的状态空间模型整理规范的状态空间模型.q基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数未知的系统可建立状态空间模型，但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。