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1、一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值二、最值问题二、最值问题二、最值问题二、最值问题第五节第五节第五节第五节 函数的极值和最值函数的极值和最值函数的极值和最值函数的极值和最值第四章第四章第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用应用应用一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值定义定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意一点 ()恒有 或 ，则称点 为 的极大值点（或极小值点），而 为函数 的极大值（或极小值）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点极大值和极小值统称为极值，
2、极大值点和极小值点统称为极值点。统称为极值点。显然，极值是局部性概念，它只是在局部范围内（即在该点的邻域内）达到最大或最小，未必是区间上的最大（或最小）值。从图象中还可看到，函数取得极值处，曲线的切线是水平的，但曲线上有水平切线处却未必取得极值。注意：是 为极值点的必要条件而非充分条件。我们称使 的点为函数 的驻点。即对可导函数而言，极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点。定理定理1 （必要条件）（必要条件）设函数 在点 处可导，且在 处取得极值，则 。另外，函数在不可导的点处也可能取得极值，例如 在 处不可导，但函数在该点取极小值。定义定义2 如果函数 在定义域的某一点处满足 或该点处一阶导数
3、不存在，则我们称该点为函数 的临界点。由此，我们可以得到如下结论：函数的极值点必定是函数的临界点；但临界点却不一定是函数的极值点。（2）当 时，而当 时，则函数 在点 处取得极小值 ；（3）当 ，或 时 不变号，则 在 点 处无极值。（1）当 时，而当 时，则函数 在点 处取得极大值 ；定理定理2（一阶充分性条件）（一阶充分性条件）设函数 在点 的某去心邻域内连续并可导，（1）如果 在 处从负变到正，则 为 的极小值点，为 的极小值。（2）如果 在 处从正变到负，则 为 的极大值点，为 的极大值。当 为函数 的临界点时，有（3）如果 在 处两边正负号相同，则 在 处没有极值。例例1 求函数 的
4、单调增减区间和极值。解：解：函数的定义域为 ，其一阶导数为令 ，得 ，不存在的点 ，临界点为：，。其把定义域划分成若干个区间，其结果列表定理定理3 （二阶充分性条件）（二阶充分性条件）设函数 在点 处 ，则（1）当 时，函数 在点 处取得极大值 ；（2）当 时，函数 在点 处取得极小值 。例例2 求 的极值。解：解：由于令 得驻点为 ，而得故 是极大值，是极小值。例例3 求函数 的极值。由于解：解：令 ,得驻点为 ，而得所以 在 处取得极小值。当 时，当 时，由定理2得出 在 处无极值。同理，在 处也无极值。此外，由于，综上所述，我们可以把求函数极值的步骤归纳如下：（1）由导数 求出 在定义域
5、内的临界点；（2）通过应用极值存在的一阶充分条件或二阶充分条件，确定上述点是否为极值点。若是的话，确定是极大还是极小值点；(3)求出各极值点处的函数值，从而求得 的全部极值。二、最值问题二、最值问题二、最值问题二、最值问题 在工农业生产，工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，如何使“投入最少，产出最多，成本最低，收益最高，利润最大”等等。这些问题反映在数学上就是求某一函数（目标函数）的最大值或最小值问题（这里简称为求最值问题）。最值是个全局性的概念，它有别于极值，最值是函数在所考虑的区间上全部函数值中的最大值或最小值。而极值是函数某点邻域内的最值。一般说来，闭区间 上的连
6、续函数的最值，可以由以下两个方面取得：它们可以在闭区间内部取得，此时这个最大值或最小值同时是极大值或极小值，也就是 在 内的驻点或不可导点；另外它们有可能在区间的端点处取得。由此，我们把求函数 在闭区间 上的最值的方法归纳如下：(1)求出 在闭区间 上的所有驻点和导数不存在的点；(3)对上述函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。(2)求出上述诸点及端点的函数值；(2)如果连续函数在区间 内有且仅有一个极大值，则此极大值就是 在 上的最大值。同样，如 在 内有且仅有一个极小值，则该极小值就是 在 上的最小值。特殊地，(1)如果函数 在 上单调增加（或单调减少）则 是 在 上的最小值（或最大值），是 在 上的最大值（或最小值）。(3)实际问题的应用中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数 确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得，这时如果 在定义区间内部只有惟一驻点 ，则立即可断定 就是最大或最小值。解：解：令 ，解得 ，比较三个函数值，得出 在 上的最大值为 ，最小值为 。例例4 求函数 在 上的最大值与最小值。计算出 ，。