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1、第五节函数的极值与最值1第1页，本讲稿共23页定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极使函数取得极值的点称为值的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.2第2页，本讲稿共23页定理定理1 1(极值的必要条件极值的必要条件)由费马引理可知，由费马引理可知，所以对可导函数来讲所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。极值点必为驻点。但反之不然，驻点不一定是极值点但反之不然，驻点不一定是极值点.x yO3第3页，本讲稿共23页此外此外,不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点,x yO函数
2、的不可导点也不一定是极值点，函数的不可导点也不一定是极值点，x yO4第4页，本讲稿共23页 这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可导点不可导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点极值可疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点用来判别这些极值可疑点是否为极值点是否为极值点.5第5页，本讲稿共23页定理定理2(2(极值的第一充分条件极值的第一充分条件)一阶导数一阶导数变号法变号法6第6页，本讲稿共23页定理定理3(3(极值的第二充分判别法极值的第二充分判别法)称为称为“二
3、阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆:几何直观；几何直观；说明：说明：(2)(2)此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点；7第7页，本讲稿共23页(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；求极值的步骤求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值可疑点求定义域内部的极值可疑点(即驻点或即驻点或 一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点)；(4)考虑这些点的左右邻域内的符号，从而判定这些点是否是极值点，(5)求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值值.或则利用第二充分条件（只能判别驻点）或则利用第二充分条件（只能判别
4、驻点）.8第8页，本讲稿共23页例例1 1解法一解法一列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值9第9页，本讲稿共23页例1解法二解法二10第10页，本讲稿共23页例例2 2解解求函数的极值函数的定义域为时函数的导数不存在.11第11页，本讲稿共23页因此，函数的极小值为因此，函数的极小值为f(-1)=0,f(1)=0;极大值为极大值为f(0)=1.12第12页，本讲稿共23页例例3 3解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值13第13页，本讲稿共23页例例4 4解解注意定义域！注意定义域！导数左负右正，导数左负右正，14第14页，本讲稿共23页二、函数的最值二、函数的最值极值是局部性的极值
5、是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的.15第15页，本讲稿共23页具体求法：具体求法：16第16页，本讲稿共23页例例5 5解解当时，导数不存在.17第17页，本讲稿共23页 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：方法：18第18页，本讲稿共23页例例6 6解解得到在区间内唯一驻点:从而又19第19页，本讲稿共23页例例7 7解解利用最值证明不等式利用最值证明不等式20第20页，本讲稿共23页经济应用举例经济应用举例1.1.平均成本平均成本(AC)AC)最低问题最低问题 例例8 8设成本函数为设成本函数为 则平均成本为则平均成本为得驻点得驻点 最小平均成本为21第21页，本讲稿共23页2.2.最大利润问题最大利润问题 例例9 9利润函数为利润函数为 解解得驻点得驻点 22第22页，本讲稿共23页一般一般,利润函数为利润函数为 其中其中Q为产量为产量,时时,利润最大利润最大,其中其中MR和和MC分别表示分别表示边际收益边际收益和和边际成本边际成本(Marginal revenue,Marginal cost),“生产商为获得最大利润生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一这是微观经济学的一个重要结论个重要结论.23第23页，本讲稿共23页