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1、第八章第八章汽车保险奖惩系统汽车保险奖惩系统第八章 汽车保险奖惩系统v8.1 汽车保险奖惩系统简介汽车保险奖惩系统简介v8.2 奖惩系统原理奖惩系统原理v8.3 奖惩系统的评价因素奖惩系统的评价因素v8.4 最优奖惩系统最优奖惩系统8.1 汽车保险奖惩系统简介v汽车汽车保险保险的的奖惩系统奖惩系统（Bonus-Malus System，简称，简称BMS），），是是依据风险在上一保险期的索赔记录来确依据风险在上一保险期的索赔记录来确定续保年度时应缴的保费定续保年度时应缴的保费。n如果被保险人在保险期限内有索赔，则在续保保费上给予如果被保险人在保险期限内有索赔，则在续保保费上给予一定的惩罚一定的惩
2、罚；n如果被保险人在保险期限内没有索赔记录，则在续保时可如果被保险人在保险期限内没有索赔记录，则在续保时可以享受保费的折扣，给予一定的优待。以享受保费的折扣，给予一定的优待。v奖惩系统是经验费率计算保费的应用，保费与实际损奖惩系统是经验费率计算保费的应用，保费与实际损失直接挂钩，在一定程度上减少了风险的不均匀性。失直接挂钩，在一定程度上减少了风险的不均匀性。v奖惩系统，最早始于奖惩系统，最早始于20世纪世纪50年代中期到年代中期到60年代早期年代早期的欧洲。的欧洲。n其形成与成熟主要源于其形成与成熟主要源于Dalaporte(1965)、Bichsel(1964)和和Bhlmann(1964)
3、的研究成果。的研究成果。n1959年精算师们在法国召开了研讨会，发表了大量关于奖惩年精算师们在法国召开了研讨会，发表了大量关于奖惩系统的文章，系统的文章，形成形成了较为了较为完整的奖惩系统完整的奖惩系统理论。理论。v随着随着BMS理论研究发展成熟及其优点的体现，理论研究发展成熟及其优点的体现，BMS为为世界上大多数国家所接受。世界上大多数国家所接受。n国外无赔款优待系统不仅应用于机动车辆保险，还应用于个国外无赔款优待系统不仅应用于机动车辆保险，还应用于个人风险及与个人风险状况相关的短期险种。人风险及与个人风险状况相关的短期险种。奖惩系统历史v在我国在我国BMS被称为被称为无赔款优待系统，无赔款
4、优待系统，我国最早实施我国最早实施BMS是在是在20世纪世纪80年代，最初的年代，最初的BMS折扣系数是由国折扣系数是由国家统一规定实施的。家统一规定实施的。v1980年年12月中国人民保险公司的汽车保险条款中，第月中国人民保险公司的汽车保险条款中，第5章是章是“无赔款安全奖励无赔款安全奖励”。n第第11条：条：“保险车辆在保险期限内没有发生赔款，续保时退保险车辆在保险期限内没有发生赔款，续保时退还其原缴保险费的还其原缴保险费的10%作为安全奖励，不续保者不给。如果作为安全奖励，不续保者不给。如果被保险人投保的车辆不止一辆，无赔款安全奖励分别按辆计被保险人投保的车辆不止一辆，无赔款安全奖励分别
5、按辆计算，但在续保时赔款总数如已超过所缴全部保险费的算，但在续保时赔款总数如已超过所缴全部保险费的80%，则不再给予安全奖励则不再给予安全奖励”。奖惩系统在我国的运用v我国相对完善的奖惩系统形成于我国相对完善的奖惩系统形成于1995年。年。n1995年修订的年修订的机动车辆保险条款机动车辆保险条款规定：一年无赔款，规定：一年无赔款，折扣率折扣率10%；连续两年无赔款时，折扣率；连续两年无赔款时，折扣率15%；三年以上；三年以上无赔款时，折扣率无赔款时，折扣率20%。奖惩系统在我国的运用等级费率水平(%)一年后等级（按索赔次数划分）01次及以上110021290 323854348044 表8.
6、1 我国1995年的机动车辆保险BMS奖惩系统在我国的运用（续）v1999年，保监会将年，保监会将BMS规则改变为：无论连续无索赔规则改变为：无论连续无索赔时间多长，无索赔折扣优待一律为时间多长，无索赔折扣优待一律为10%。v2003年，年，我国我国汽车保险费率全面市场化汽车保险费率全面市场化，保险公司纷，保险公司纷纷制订了各自有特色的车险条款纷制订了各自有特色的车险条款、费率及、费率及BMS。等级费率水平(%)一年后等级（按索赔次数划分）01次及以上110021290 22表8.2 我国1999年的机动车辆保险BMS奖惩系统在我国的运用（续）v2006年年7月月1日，中国保险行业协会推出了包
7、括车辆损日，中国保险行业协会推出了包括车辆损失险和商业三者险的失险和商业三者险的A、B、C三款商业车险产品，保三款商业车险产品，保险公司可以选择三款中任一款。险公司可以选择三款中任一款。v2007年年4月月1日，中国保险行业协会制定推出机动车商日，中国保险行业协会制定推出机动车商业保险行业基本条款，分为业保险行业基本条款，分为A、B、C三款，在奖惩系三款，在奖惩系统上，实施统一标准的奖惩制度。统上，实施统一标准的奖惩制度。v2007年年7月月1日起，在全国范围内统一实行机动车交通日起，在全国范围内统一实行机动车交通事故责任强制保险（简称交强险）费率浮动与道路交事故责任强制保险（简称交强险）费率
8、浮动与道路交通事故相联系。通事故相联系。表8.3 机动车商业保险条款B款BMS（2006）保费等级 内容 保费系数 1上上3年无赔款记录年无赔款记录 0.72上上2年无赔款记录年无赔款记录 0.83上年无赔款记录上年无赔款记录0.94初次投保初次投保1.05上年发生上年发生1次赔款次赔款 1.06上年发生上年发生2次赔款次赔款 1.057上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.18上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.29上年发生上年发生5次赔款次赔款 1.310上年发生上年发生5次以上赔款次以上赔款 1.5表8.4 机动车商业保险行业基本条款（2007）保费等级 内容 保费系数 1连续连续3年没有
9、发生赔款年没有发生赔款 0.72连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款0.83上年没有发生赔款上年没有发生赔款0.94新保或上年赔款次数在新保或上年赔款次数在3次以下次以下1.05上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.16上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.27上年发生上年发生5次及以上赔款次及以上赔款 1.3 奖惩系统在我国的运用（续）v2009年年9月出台的北京地区机动车商业保险费率浮月出台的北京地区机动车商业保险费率浮动方案动方案，规定自，规定自2010年年1月月1日起，日起，在北在北京经营机动京经营机动车商业保险的公司自主选择使用车险浮动费率。车商业保险的公司自主选择使用车险浮动费率。n
10、2011年1月1日实施的2011年度北京地区机动车商业保险费率浮动档次升降方案，修改了按照连续没有发生赔款的年数等来确定浮动系数值的规定。n如果2009年没有理赔记录、2010年发生1至2次保险理赔的车辆，2011年投保商业车险时，保费优惠幅度不升不降。从而使费率浮动方案更加科学化和人性化。表8.5 北京地区机动车商业保险费率浮动系数（2010.1.1起实施）项目 内容 保费系数 A1连续连续5年没有发生赔款年没有发生赔款 0.4 A2连续连续4年没有发生赔款年没有发生赔款 0.5 A3连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款 0.6 A4连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款 0.7 A5上年
11、没有发生赔款上年没有发生赔款 0.85 A6上年发生上年发生1-2次赔款次赔款 1.0A7上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.1 A8上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.2 A9上年发生上年发生5次赔款次赔款 1.5 A10上年发生上年发生6次赔款次赔款 2.0 A11上年发生上年发生7次赔款次赔款 2.5 A12上年发生上年发生8次及次及8次以上赔款次以上赔款 3.0A13本年承保新购置车辆本年承保新购置车辆 1.0 A14本年首次投保本年首次投保 1.0 实行BMS的优越性v减少各费率级别中的风险非均匀性。减少各费率级别中的风险非均匀性。n公平保费负担，使被保险人缴纳的保费反映其真实的风险
12、水平。v避免小额赔款发生。避免小额赔款发生。n降低索赔成本和管理费用，同时也降低了保费，增强了保险人的竞争力。v减少被保险人的心理风险因素。减少被保险人的心理风险因素。n鼓励被保险人安全行车，驾车人会自觉提高安全驾驶意识，主动控制风险。v优化风险。优化风险。n通过提供保费折扣将优良风险留在保险公司，使风险更加优化。对BMS的反对意见v破坏了被保险人的经济稳定性。破坏了被保险人的经济稳定性。n被保险人购买保险的初衷是通过缴纳固定的保费而转移不确定的随机风险，但在BMS下，被保险人还得承担续期保费的变异性。v被保险人之间的互助合作被削弱了。被保险人之间的互助合作被削弱了。n没有发生保险事故的幸运被
13、保险人，对发生事故的不幸被保险人在保费缴付上的帮助被减弱。v违背了大数定律。违背了大数定律。n保险公司在计算保险费率时所依据的是大量保单的索赔经验，而不是个体保单的索赔经验。而BMS通过个体保单的索赔经验调整被保险人的续期保费，显然是违背了大数定律，故BMS被认为是“有组织地摈弃了保险原则”。v尽管精算界对尽管精算界对BMS颇有争议，但在实务界几乎达成颇有争议，但在实务界几乎达成了共识，对于一个想在竞争的市场上获得一定份额了共识，对于一个想在竞争的市场上获得一定份额的保险公司而言，不实行的保险公司而言，不实行BMS是行不通的。是行不通的。vBMS受到保险人和被保险人的广泛欢迎，几乎所有受到保险
14、人和被保险人的广泛欢迎，几乎所有的发达国家都在汽车保险中实施了的发达国家都在汽车保险中实施了BMS。总结8.2 奖惩系统原理v一个完整的一个完整的BMS必须包括三个要素，设必须包括三个要素，设BMS共共设了设了n个保费等级：个保费等级：n各个级别各个级别ci的保费水平的保费水平i(i=1,2,n)；n初始级别；初始级别；n转移规则，即依据历史赔案记录决定下一年所在转移规则，即依据历史赔案记录决定下一年所在折扣级别的规则。折扣级别的规则。vBMS体系可描述为一个马尔可夫链，转移规则体系可描述为一个马尔可夫链，转移规则可用转移概率来描述。可用转移概率来描述。v基本基本BMS模型模型：只考虑上一年索
15、赔次数的：只考虑上一年索赔次数的BMS。n被保险人的续期保费取决于他在上一年的保费等级和被保险人的续期保费取决于他在上一年的保费等级和上一年的索赔次数，而与上一年以前的历史无关。上一年的索赔次数，而与上一年以前的历史无关。v假设被保险人的索赔记录为一个马尔可夫链，若被保假设被保险人的索赔记录为一个马尔可夫链，若被保险人的索赔频率是稳定的（即被保险人的驾驶能力在险人的索赔频率是稳定的（即被保险人的驾驶能力在一段时间内没有变化），则这个马尔可夫链是齐次的。一段时间内没有变化），则这个马尔可夫链是齐次的。1.基本BMS模型vTk：转移规则：转移规则nTk(i)=j：当索赔次数为：当索赔次数为k时，投
16、保人将从保费级别时，投保人将从保费级别ci转移转移到保费级别到保费级别cj。vM：转移矩阵：转移矩阵(pij)nnnpij：从保费级别：从保费级别ci转移到保费级别转移到保费级别cj的一步转移概率。的一步转移概率。1.基本BMS模型v(t)：时刻：时刻t各级别保单持有人的分布状况。各级别保单持有人的分布状况。v马尔夫夫链关系：马尔夫夫链关系：1.基本BMS模型v路径依赖的路径依赖的BMS：BMS不仅依赖于上一年的保费等级不仅依赖于上一年的保费等级以及索赔记录，还依赖于上一年以前的历史索赔。以及索赔记录，还依赖于上一年以前的历史索赔。n保费等级的变化是非齐次马尔可夫链。如平安保险保费等级的变化是
17、非齐次马尔可夫链。如平安保险2003年汽年汽车保险的车保险的BMS。v考虑费率因子的考虑费率因子的BMS：Taylor(1997)将费率因子引入将费率因子引入BMS，从而使对投保人的奖惩更趋于合理。，从而使对投保人的奖惩更趋于合理。2.其他形式的BMS模型类别 保费系数 上年未出险上年未出险0.9过去过去3年内年内2年未出险年未出险 0.8连续连续3年及年及3年以上未出险年以上未出险 0.7 表8.6 平安保险公司2003年机动车辆保险BMSv当时间当时间t时，由马氏链性质，各保费级别的保单分时，由马氏链性质，各保费级别的保单分布比例将趋于稳定。布比例将趋于稳定。v存在存在 ：稳定状态下的保单
18、持有人的：稳定状态下的保单持有人的分布状况，满足：分布状况，满足：v且有：且有：3.BMS的稳态分布v假设不考虑假设不考虑BMS对被保险人索赔频率的影响，稳态分对被保险人索赔频率的影响，稳态分布的计算方法有：布的计算方法有：(1)求转移概率矩阵的特征向量。求转移概率矩阵的特征向量。n由稳定状态下由稳定状态下，保单持有人分布状况的性质，保单持有人分布状况的性质 及及 得到稳态分布。得到稳态分布。(2)求转移概率矩阵的极限值。求转移概率矩阵的极限值。n计算转移概率矩阵的计算转移概率矩阵的n次方得到次方得到n步转移概率，这些概步转移概率，这些概率收敛到稳态分布。率收敛到稳态分布。n一般当一般当n30
19、时，就可以得到稳态分布的良好近似。时，就可以得到稳态分布的良好近似。BMS稳态分布的计算v设设BMS有三个保费折扣级别，分别为有三个保费折扣级别，分别为0%、30%、50%，第，第1年分布状况年分布状况(1)=(1 0 0)。v转移规则为：一年内无赔案发生，保费折扣上升一级转移规则为：一年内无赔案发生，保费折扣上升一级或停留在或停留在50%的折扣；如果一年内有赔案发生，则保的折扣；如果一年内有赔案发生，则保费折扣退回至费折扣退回至0%的折扣。的折扣。v假设投保人每年索赔次数服从参数假设投保人每年索赔次数服从参数=0.1的泊松分布。的泊松分布。求稳定状态下各级折扣的保单数比例。求稳定状态下各级折
20、扣的保单数比例。例8.1例8.1答案v索赔次数服从泊松分布索赔次数服从泊松分布v故一年内不发生索赔的概率为：故一年内不发生索赔的概率为：vBMS的转移概率矩阵为：的转移概率矩阵为：v方法方法1：由于由于 ，则有，则有 解方程，得到稳定状态分布为：解方程，得到稳定状态分布为：例8.1答案例8.1答案v方法方法2：利用：利用Mathematica等数学软件求转移矩阵等数学软件求转移矩阵P的的n次幂：次幂：可以看出转移矩阵可以看出转移矩阵M收敛，从而得到稳定分布为：收敛，从而得到稳定分布为：v设设BMS系统有三个保费等级，保费折扣分别为系统有三个保费等级，保费折扣分别为0%、25%和和40%。假设被
21、保险人每年索赔概率为。假设被保险人每年索赔概率为0.2，第，第1年年(1)=(1 0 0)。v转移规则：如果没有索赔记录，保费折扣可以上升转移规则：如果没有索赔记录，保费折扣可以上升一级或停留在一级或停留在40%的折扣，如果有索赔记录，则当的折扣，如果有索赔记录，则当年保费折扣下降一级或停留在年保费折扣下降一级或停留在0%的折扣。的折扣。(1)求第求第2年和第年和第3年，各级折扣的被保险人比例。年，各级折扣的被保险人比例。(2)求稳态时，各级折扣的被保险人比例求稳态时，各级折扣的被保险人比例。例8.2例8.2答案(1)转移概率矩阵为：转移概率矩阵为：(2)例8.2答案v假设个体保单的索赔频率服
22、从参数假设个体保单的索赔频率服从参数的泊松分布，在参的泊松分布，在参数数（索赔频率的均值）取不同的值时，根据我国（索赔频率的均值）取不同的值时，根据我国2007年机动车商业保险行业基本条款年机动车商业保险行业基本条款BMS（表（表8.4），），计算达到稳定状态时各折扣级别的保单数比例以及个计算达到稳定状态时各折扣级别的保单数比例以及个体保单平均保费收入（表体保单平均保费收入（表8.7）。）。v可以看出，对于个体保单来说，当索赔频率增加时，可以看出，对于个体保单来说，当索赔频率增加时，平均保费增加的比例小于索赔频率均值增加的比例，平均保费增加的比例小于索赔频率均值增加的比例，当当从从0.1变为变
23、为1增加至增加至10倍，平均保费仅增加至倍，平均保费仅增加至1.26倍。倍。索赔频率对BMS稳态分布的影响稳态平均保费随索赔频率变化曲线图图8.1 稳态时的平均保费随索赔频率变化曲线稳态时的平均保费随索赔频率变化曲线v一个好的奖惩系统应该具备以下条件：一个好的奖惩系统应该具备以下条件：n对投保人的逆向选择起到预测和抵制的作用；对投保人的逆向选择起到预测和抵制的作用；n客观真实地评价每个被保险人的风险，并将风险大小通过客观真实地评价每个被保险人的风险，并将风险大小通过保费水平体现出来。保费水平体现出来。v评价评价BMS优劣的常用标准：优劣的常用标准：n1.稳定状态下的平均保费水平；稳定状态下的平
24、均保费水平；n2.相对稳定平均水平；相对稳定平均水平；n3.对新投保人的隐性惩罚；对新投保人的隐性惩罚；n4.变异系数；变异系数；n5.弹性；弹性；n6.最优期望自留额；最优期望自留额；n7.风险区分率。风险区分率。8.3 奖惩系统的评价因素1.稳定状态下的平均保费水平v假设无折扣级别的保费为假设无折扣级别的保费为100，则，则稳定状态时平均保稳定状态时平均保费水平费水平为：为：nci：第：第i个折扣等级个折扣等级ni：稳定状态下第稳定状态下第i个折扣等级的被保险人比例个折扣等级的被保险人比例vBMS稳定后，处于系统各个折扣级别的保单分布状稳定后，处于系统各个折扣级别的保单分布状况也固定下来，
25、保险人收取的保费趋于稳定。况也固定下来，保险人收取的保费趋于稳定。v如果新投保人必须缴纳超过平均水平的保费，才能进如果新投保人必须缴纳超过平均水平的保费，才能进入系统，此时入系统，此时BMS将保险责任更多的加于新投保人将保险责任更多的加于新投保人身上，人为造成了风险不均衡，身上，人为造成了风险不均衡，2.相对稳定平均水平v相对稳定平均水平相对稳定平均水平（RSAL）：表示当）：表示当BMS达到稳达到稳定时，一个普通投保人在所有保单中的相对位置，定时，一个普通投保人在所有保单中的相对位置，可评估可评估BMS最低等级保单的聚焦程度。最低等级保单的聚焦程度。nRSAL越小平均水平越靠近最低水平，即处
26、于高折扣的保越小平均水平越靠近最低水平，即处于高折扣的保单数比重大，若单数比重大，若RSAL较大说明保单级别分布相对均匀。较大说明保单级别分布相对均匀。n根据根据Lemaire(1993)研究，理想研究，理想RSAL的值应为的值应为50%。但实。但实际上即使非常严厉的际上即使非常严厉的BMS（肯尼亚）也只能接近（肯尼亚）也只能接近29%。v对于优良被保险人对于优良被保险人RSAL值越小越好，而对于不良被值越小越好，而对于不良被保险人保险人RSAL越大越好。越大越好。3.对新投保人的隐性惩罚v当当BMS稳定时的平均保费水平低于新投保人进入时稳定时的平均保费水平低于新投保人进入时的保费水平时，就存
27、在了对新投保人的隐性惩罚。的保费水平时，就存在了对新投保人的隐性惩罚。v新投保人的隐性惩罚新投保人的隐性惩罚，评价指标为：，评价指标为：4.变异系数v变异系数变异系数，是对，是对BMS严厉性的一种衡量指标，是保严厉性的一种衡量指标，是保费支付的标准差与平均值的比值。费支付的标准差与平均值的比值。v实行实行BMS后，被保险人的保费支出因保险人的后，被保险人的保费支出因保险人的“利利诱诱”而变得不稳定，某种程度上，而变得不稳定，某种程度上，BMS增加了被保增加了被保险人支出的变异性。险人支出的变异性。n若BMS变异系数很高，说明保费支出的变异性大，系统非常不稳定，即被保险人的优惠极易被新的索赔破坏
28、，被保险人承担的风险较大。评估变异系数的方法v若无保险，投保人自己承担全部损失，考虑拟合损失若无保险，投保人自己承担全部损失，考虑拟合损失分布的数据，计算得到投保人支出的变异系数分布的数据，计算得到投保人支出的变异系数1；v若有保险，且没有后验评估，则各年保费完全相同，若有保险，且没有后验评估，则各年保费完全相同，投保人支出的变异系数为投保人支出的变异系数为0。v若采用若采用BMS，投保人保费支出的变异系数，投保人保费支出的变异系数2在在0与与1之之间。间。n用用BMS下的变异系数下的变异系数2占未投保时的变异系数占未投保时的变异系数1的百分的百分比，衡量投保人采用比，衡量投保人采用BMS后保
29、留的变异性。后保留的变异性。5.BMS的弹性v当被保险人的索赔频率提高时，好的当被保险人的索赔频率提高时，好的BMS应使被保险应使被保险人缴纳的保费也相应提高，反映这种灵敏程度的就是人缴纳的保费也相应提高，反映这种灵敏程度的就是BMS的弹性。的弹性。vBMS的弹性的弹性，公式为：，公式为：其中其中P()表示稳定状态时投保人应缴纳的平均保费。表示稳定状态时投保人应缴纳的平均保费。6.最优期望自留额v一个处在一个处在BMS中的投保人，决定是否报告索赔时面中的投保人，决定是否报告索赔时面临临两个选择两个选择：n报告索赔，会丧失一部优惠；报告索赔，会丧失一部优惠；n不报告索赔，会享受更高的折扣，但要自
30、负损失。不报告索赔，会享受更高的折扣，但要自负损失。v设设最优自留额最优自留额 D，折扣期望为，折扣期望为V，应缴保费为，应缴保费为P，由，由期望效用原理，最优自留额满足：期望效用原理，最优自留额满足：n若若XD时，时，应当向保险公司提出索赔。应当向保险公司提出索赔。7.风险区分度vBMS可使保费缴纳与风险水平相对应，但可使保费缴纳与风险水平相对应，但BMS稳定稳定时，不同保费等级中的保单仍有可能非同质，索赔频时，不同保费等级中的保单仍有可能非同质，索赔频率仍然存在差异，只是差异程度有所减小。率仍然存在差异，只是差异程度有所减小。v风险区分度风险区分度：当：当BMS进入稳定状态时，不同保费等进
31、入稳定状态时，不同保费等级的保单在索赔次数上的差异程度。级的保单在索赔次数上的差异程度。v结构函数结构函数：非同质保单组合的索赔次数模型中，不同：非同质保单组合的索赔次数模型中，不同保单的索赔频率用分布函数保单的索赔频率用分布函数u()表示。表示。n结构函数通常选取结构函数通常选取伽玛函数伽玛函数（负二项模型）和（负二项模型）和逆高斯逆高斯函数函数（泊松（泊松-逆高斯模型）。逆高斯模型）。7.风险区分度v对于不同折扣等级的各组保单，其索赔频率的对于不同折扣等级的各组保单，其索赔频率的均值：均值：v其索赔频率的方差：其索赔频率的方差：7.风险区分度v伽玛结构函数伽玛结构函数：各个折扣等级保单中，
32、不同保单的索：各个折扣等级保单中，不同保单的索赔频率服从伽玛分布赔频率服从伽玛分布Gamma(,)，密度函数：，密度函数：，则：，则：v逆高斯结构函数逆高斯结构函数：在各个折扣等级保单中，不同保单：在各个折扣等级保单中，不同保单索赔频率服从逆高斯分布索赔频率服从逆高斯分布Inverse Gaussian(,)，密，密度函数：度函数：，则：，则：v根据我国根据我国2007年机动车商业保险行业基本条款年机动车商业保险行业基本条款BMS（表（表8.4），），利用各评价指标利用各评价指标对其进行评价。对其进行评价。例8.3保费等级 内容 保费系数 1连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款 0.72连续
33、连续2年没有发生赔款年没有发生赔款0.83上年没有发生赔款上年没有发生赔款0.94新保或上年赔款次数在新保或上年赔款次数在3次以下次以下1.05上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.16上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.27上年发生上年发生5次及以上赔款次及以上赔款 1.3 表8.4 机动车商业保险行业基本条款（2007）v1.写出转移概率矩阵写出转移概率矩阵n写出发生写出发生0、1、2、3、4、5及及5次以上索赔时的转移规次以上索赔时的转移规则（见表则（见表8.7），进而得到转移概率矩阵），进而得到转移概率矩阵M。v2.计算稳态分布计算稳态分布n由由 得到稳态下各保费等级分布：得到稳态下各保
34、费等级分布：例8.3答案表8.7 转移规则保费保费等级等级 保费系数保费系数 一年后的保费等级（按索赔次数分）一年后的保费等级（按索赔次数分）01或或234510.71456720.81456730.92456741.03456751.13456761.23456771.3 34567转移概率矩阵v3.根据索赔次数数据求出具体转移概率矩阵根据索赔次数数据求出具体转移概率矩阵n根据我国某保险公司根据我国某保险公司1996年年35072辆投保车辆的第三辆投保车辆的第三者责任险的索赔次数的观察数据（者责任险的索赔次数的观察数据（表表8.9）进行拟合。）进行拟合。n考虑索赔次数服从泊松考虑索赔次数服从
35、泊松-逆高斯分布，其最大似然估计逆高斯分布，其最大似然估计值为：值为：n由此计算出恰好发生由此计算出恰好发生k次索赔的概率如表次索赔的概率如表8.8。例8.3答案p0p1p2p3p40.773160390.167156920.040494060.012166930.004238280.00278342表8.8 恰好发生k次索赔的概率pk表8.9 索赔次数的观察值索赔次数索赔次数k保单数保单数nk027141157892144334574155556627728291100合合 计计35072n写出稳态时的转移概率矩阵，并计算稳态下各保费等写出稳态时的转移概率矩阵，并计算稳态下各保费等级的概率分
36、布如表级的概率分布如表8.10。例8.3答案表8.10 稳态下各保费等级的概率分布12345670.462177480.13559950.17538340.207650980.012166930.004238280.00278342例8.3答案v4.计算计算BMS的评价指标的评价指标(1)稳定状态下平均保费水平稳定状态下平均保费水平n假设初始级别（折扣系数为假设初始级别（折扣系数为1.0）的保费为）的保费为100，则稳，则稳定状态下平均保费水平为：定状态下平均保费水平为：(2)相对稳定状态平均水平（相对稳定状态平均水平（RSAL）nRSAL反映了稳态时投保人在高折扣级别的集中程度，反映了稳态时
37、投保人在高折扣级别的集中程度，其值越小，说明投保人在高折扣级别越集中。其值越小，说明投保人在高折扣级别越集中。例8.3答案(3)对新投保人的隐性惩罚对新投保人的隐性惩罚nECL反映了对新投保人的超额收费。反映了对新投保人的超额收费。(4)变异系数变异系数n通过将第通过将第i年各折扣等级的概率分布与转移概率矩阵年各折扣等级的概率分布与转移概率矩阵M相乘，得到第相乘，得到第i+1年各折扣等级的概率分布，从而计算年各折扣等级的概率分布，从而计算各年平均保费及变异系数（表各年平均保费及变异系数（表8.11、图、图8.1、图、图8.2）。）。表8.11 各年平均保费及变异系数年份年份1234567平均保
38、费平均保费 变异系数变异系数1000100010002000.77316 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 92.5583 0.0565 300.5978 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 86.5806 0.1046 40.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 50.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 60.462
39、20.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 70.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 80.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 90.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 图8.1 平均保费的逐年变化曲线图8.2 变
40、异系数的逐年变化曲线例8.3答案(4)变异系数变异系数n从第从第4年起各折扣等级的概率分布就达到了稳定状态，年起各折扣等级的概率分布就达到了稳定状态，平均保费由平均保费由100元降到稳态时元降到稳态时81.9588，变异系数从，变异系数从0增增加到稳态时的加到稳态时的0.1580。从世界范围来看，我国的变异。从世界范围来看，我国的变异系数处于一个较低水平，即系数处于一个较低水平，即变异系数相对较小变异系数相对较小。n若无保险，投保人自己承担全部损失，泊松若无保险，投保人自己承担全部损失，泊松-逆高斯分逆高斯分布的均值、方差分别为：布的均值、方差分别为：，投保人，投保人自己承担损失的变异系数为：
41、自己承担损失的变异系数为：。nBMS的变异系数占未保险前变异系数的百分比为的变异系数占未保险前变异系数的百分比为0.1580/0.352335.2296%，表示实施，表示实施BMS后，投保人后，投保人仍保留的变异性。仍保留的变异性。例8.3答案(5)风险区分度风险区分度n不同折扣等级各组保单，索赔频率的均值和方差为：不同折扣等级各组保单，索赔频率的均值和方差为：n利用利用Mathematica软件，计算软件，计算 ，根据逆高斯分，根据逆高斯分布均值和方差，估计其参数（表布均值和方差，估计其参数（表8.12）。）。n可见：可见：7个保单级别的索赔频率有明显差异，且被保险个保单级别的索赔频率有明显
42、差异，且被保险人的危险程度是逐渐增加的。人的危险程度是逐渐增加的。表8.12 结构函数 的参数i10.1501520.0194320.1501520.12941420.3129300.0708410.3129300.22638030.4124210.1406840.4124210.34111840.5658000.2763570.5658000.48843551.3933760.7221841.3933760.51829861.9116741.0084321.9116740.52751372.8378191.9127582.8378190.674024v最优奖惩系统：指从长期看，每个被保险人缴
43、纳的最优奖惩系统：指从长期看，每个被保险人缴纳的保费与其潜在的风险水平成比例，且保险公司能够保费与其潜在的风险水平成比例，且保险公司能够维持其财务平衡，即对于一组固定的保单持有人，维持其财务平衡，即对于一组固定的保单持有人，保险公司不会因实施奖惩系统而减少其保费收入。保险公司不会因实施奖惩系统而减少其保费收入。v以伽玛结构函数为例，分析最优奖惩系统。以伽玛结构函数为例，分析最优奖惩系统。8.4 最优奖惩系统v假设给定个体保单（索赔频率假设给定个体保单（索赔频率）的索赔次数）的索赔次数N服从服从参数为参数为的泊松分布，保单组合关于的泊松分布，保单组合关于的结构函数服的结构函数服从从Gamma(,
44、)，即，即v对于一份随机个体保单，如果没有该保单的任何信对于一份随机个体保单，如果没有该保单的任何信息，则对其索赔频率的估计为伽玛分布的均值息，则对其索赔频率的估计为伽玛分布的均值/。8.4 最优奖惩系统v若随机个体保单在若随机个体保单在t年内索赔次数为年内索赔次数为k1,k2,kt，由贝，由贝叶斯公式：叶斯公式：故故的后验分布为的后验分布为Gamma(+k,+t)，其中，其中v设设t+1为为t+1年索赔频率的后验估计，选用平方损失函年索赔频率的后验估计，选用平方损失函数，令数，令，可得，可得8.4 最优奖惩系统v即即t+1年的年的最优估计为其后验分布的均值，故最优估计为其后验分布的均值，故v
45、进一步假设对个体保单平均每次赔付额为进一步假设对个体保单平均每次赔付额为1个货币单个货币单位，设位，设r为安全附加系数，则第为安全附加系数，则第t+1年续期保费为：年续期保费为：v当当t时，估计频率趋于真实索赔频率时，估计频率趋于真实索赔频率k/t，估计方，估计方差差(+k)/(+t)2趋于零，因此对个体保单的观察时间趋于零，因此对个体保单的观察时间越长，对索赔频率的估计越准确。此系统即为最优越长，对索赔频率的估计越准确。此系统即为最优奖惩系统。奖惩系统。8.4 最优奖惩系统v长期来看，最优奖惩系统是公平的，个体保单的续期长期来看，最优奖惩系统是公平的，个体保单的续期保费与索赔频率估计值成比例。保费与索赔频率估计值成比例。v保险公司财务具有稳定性，保险公司每年的平均保费保险公司财务具有稳定性，保险公司每年的平均保费收入均为：收入均为：。v个体保单只与以前年度的总索赔次数有关，而不管这个体保单只与以前年度的总索赔次数有关，而不管这些索赔次数在过去的分布如何。些索赔次数在过去的分布如何。v最优奖惩系统是信度模型的特例。若信度最优奖惩系统是信度模型的特例。若信度 ，则后验保费可表示为先验保费则后验保费可表示为先验保费/与经验估计值与经验估计值k/t的的加权组合：加权组合：。最优奖惩系统特点