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1、第八章第八章汽车保险奖惩系统汽车保险奖惩系统第八章 汽车保险奖惩系统v8.1 汽汽车车保保险奖惩险奖惩系系统简统简介介v8.2 奖惩奖惩系系统统原理原理v8.3 奖惩奖惩系系统统的的评评价因素价因素v8.4 最最优奖惩优奖惩系系统统8.1 汽车保险奖惩系统简介v汽汽车车保保险险的的奖惩奖惩系系统统（Bonus-Malus System，简简称称BMS），），是是依据依据风险风险在上一保在上一保险险期的索期的索赔记录赔记录来确来确定定续续保年度保年度时应缴时应缴的保的保费费。n如果被保如果被保险险人在保人在保险险期限内有索期限内有索赔赔，则则在在续续保保保保费费上上给给予予一定的一定的惩罚惩罚；
2、n如果被保如果被保险险人在保人在保险险期限内没有索期限内没有索赔记录赔记录，则则在在续续保保时时可可以享受保以享受保费费的折扣，的折扣，给给予一定的予一定的优优待。待。v奖惩奖惩系系统统是是经验费经验费率率计计算保算保费费的的应应用，保用，保费费与与实际损实际损失直接挂失直接挂钩钩，在一定程度上减少了，在一定程度上减少了风险风险的不均匀性。的不均匀性。v奖惩奖惩系系统统，最早始于，最早始于20世世纪纪50年代中期到年代中期到60年代早期年代早期的欧洲。的欧洲。n其形成与成熟主要源于其形成与成熟主要源于Dalaporte(1965)、Bichsel(1964)和和Bhlmann(1964)的研究
3、成果。的研究成果。n1959年精算年精算师们师们在法国召开了研在法国召开了研讨讨会，会，发发表了大量关于表了大量关于奖惩奖惩系系统统的文章，的文章，形成形成了了较为较为完整的完整的奖惩奖惩系系统统理理论论。v随着随着BMS理理论论研究研究发发展成熟及其展成熟及其优优点的体点的体现现，BMS为为世界上大多数国家所接受。世界上大多数国家所接受。n国外无国外无赔赔款款优优待系待系统统不不仅应仅应用于机用于机动车辆动车辆保保险险，还应还应用于个用于个人人风险风险及与个人及与个人风险风险状况相关的短期状况相关的短期险险种。种。奖惩系统历史v在我国在我国BMS被称被称为为无无赔赔款款优优待系待系统统，我国
4、最早我国最早实实施施BMS是在是在20世世纪纪80年代，最初的年代，最初的BMS折扣系数是由国折扣系数是由国家家统统一一规规定定实实施的。施的。v1980年年12月中国人民保月中国人民保险险公司的汽公司的汽车车保保险险条款中，第条款中，第5章是章是“无无赔赔款安全款安全奖奖励励”。n第第11条：条：“保保险车辆险车辆在保在保险险期限内没有期限内没有发发生生赔赔款，款，续续保保时时退退还还其原其原缴缴保保险费险费的的10%作作为为安全安全奖奖励，不励，不续续保者不保者不给给。如果。如果被保被保险险人投保的人投保的车辆车辆不止一不止一辆辆，无，无赔赔款安全款安全奖奖励分励分别别按按辆计辆计算，但在
5、算，但在续续保保时赔时赔款款总总数如已超数如已超过过所所缴缴全部保全部保险费险费的的80%，则则不再不再给给予安全予安全奖奖励励”。奖惩系统在我国的运用v我国相我国相对对完善的完善的奖惩奖惩系系统统形成于形成于1995年。年。n1995年修年修订订的的机机动车辆动车辆保保险险条款条款规规定：一年无定：一年无赔赔款，款，折扣率折扣率10%；连续连续两年无两年无赔赔款款时时，折扣率，折扣率15%；三年以上；三年以上无无赔赔款款时时，折扣率，折扣率20%。奖惩系统在我国的运用等级费率水平(%)一年后等级（按索赔次数划分）01次及以上110021290 323854348044 表8.1 我国1995
6、年的机动车辆保险BMS奖惩系统在我国的运用（续）v1999年，保年，保监监会将会将BMS规则规则改改变为变为：无：无论连续论连续无索无索赔赔时间时间多多长长，无索，无索赔赔折扣折扣优优待一律待一律为为10%。v2003年，年，我国我国汽汽车车保保险费险费率全面市率全面市场场化化，保，保险险公司公司纷纷纷纷制制订订了各自有特色的了各自有特色的车险车险条款条款、费费率及率及BMS。等级费率水平(%)一年后等级（按索赔次数划分）01次及以上110021290 22表8.2 我国1999年的机动车辆保险BMS奖惩系统在我国的运用（续）v2006年年7月月1日，中国保日，中国保险险行行业协业协会推出了包
7、括会推出了包括车辆损车辆损失失险险和商和商业业三者三者险险的的A、B、C三款商三款商业车险产业车险产品，保品，保险险公司可以公司可以选择选择三款中任一款。三款中任一款。v2007年年4月月1日，中国保日，中国保险险行行业协业协会制定推出机会制定推出机动车动车商商业业保保险险行行业业基本条款，分基本条款，分为为A、B、C三款，在三款，在奖惩奖惩系系统统上，上，实实施施统统一一标标准的准的奖惩奖惩制度。制度。v2007年年7月月1日起，在全国范日起，在全国范围围内内统统一一实实行机行机动车动车交通交通事故事故责责任任强强制保制保险险（简简称交称交强强险险）费费率浮率浮动动与道路交与道路交通事故相通
8、事故相联联系。系。表8.3 机动车商业保险条款B款BMS（2006）保费等级 内容 保费系数 1上上3年无赔款记录年无赔款记录 0.72上上2年无赔款记录年无赔款记录 0.83上年无赔款记录上年无赔款记录0.94初次投保初次投保1.05上年发生上年发生1次赔款次赔款 1.06上年发生上年发生2次赔款次赔款 1.057上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.18上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.29上年发生上年发生5次赔款次赔款 1.310上年发生上年发生5次以上赔款次以上赔款 1.5表8.4 机动车商业保险行业基本条款（2007）保费等级 内容 保费系数 1连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款
9、 0.72连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款0.83上年没有发生赔款上年没有发生赔款0.94新保或上年赔款次数在新保或上年赔款次数在3次以下次以下1.05上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.16上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.27上年发生上年发生5次及以上赔款次及以上赔款 1.3 奖惩系统在我国的运用（续）v2009年年9月出台的北京地区机月出台的北京地区机动车动车商商业业保保险费险费率浮率浮动动方案方案，规规定自定自2010年年1月月1日起，日起，在北在北京京经营经营机机动动车车商商业业保保险险的公司自主的公司自主选择选择使用使用车险车险浮浮动费动费率。率。n2011年1月1日实施的
10、2011年度北京地区机动车商业保险费率浮动档次升降方案，修改了按照连续没有发生赔款的年数等来确定浮动系数值的规定。n如果2009年没有理赔记录、2010年发生1至2次保险理赔的车辆，2011年投保商业车险时，保费优惠幅度不升不降。从而使费率浮动方案更加科学化和人性化。表8.5 北京地区机动车商业保险费率浮动系数（2010.1.1起实施）项目 内容 保费系数 A1连续连续5年没有发生赔款年没有发生赔款 0.4 A2连续连续4年没有发生赔款年没有发生赔款 0.5 A3连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款 0.6 A4连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款 0.7 A5上年没有发生赔款上年没有发生
11、赔款 0.85 A6上年发生上年发生1-2次赔款次赔款 1.0A7上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.1 A8上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.2 A9上年发生上年发生5次赔款次赔款 1.5 A10上年发生上年发生6次赔款次赔款 2.0 A11上年发生上年发生7次赔款次赔款 2.5 A12上年发生上年发生8次及次及8次以上赔款次以上赔款 3.0A13本年承保新购置车辆本年承保新购置车辆 1.0 A14本年首次投保本年首次投保 1.0 实行BMS的优越性v减少各减少各费费率率级别级别中的中的风险风险非均匀性。非均匀性。n公平保费负担，使被保险人缴纳的保费反映其真实的风险水平。v避免小避免小额赔
12、额赔款款发发生。生。n降低索赔成本和管理费用，同时也降低了保费，增强了保险人的竞争力。v减少被保减少被保险险人的心理人的心理风险风险因素。因素。n鼓励被保险人安全行车，驾车人会自觉提高安全驾驶意识，主动控制风险。v优优化化风险风险。n通过提供保费折扣将优良风险留在保险公司，使风险更加优化。对BMS的反对意见v破坏了被保破坏了被保险险人的人的经济稳经济稳定性。定性。n被保险人购买保险的初衷是通过缴纳固定的保费而转移不确定的随机风险，但在BMS下，被保险人还得承担续期保费的变异性。v被保被保险险人之人之间间的互助合作被削弱了。的互助合作被削弱了。n没有发生保险事故的幸运被保险人，对发生事故的不幸被
13、保险人在保费缴付上的帮助被减弱。v违违背了大数定律。背了大数定律。n保险公司在计算保险费率时所依据的是大量保单的索赔经验，而不是个体保单的索赔经验。而BMS通过个体保单的索赔经验调整被保险人的续期保费，显然是违背了大数定律，故BMS被认为是“有组织地摈弃了保险原则”。v尽管精算界尽管精算界对对BMS颇颇有争有争议议，但在，但在实务实务界几乎达成界几乎达成了共了共识识，对对于一个想在于一个想在竞竞争的市争的市场场上上获获得一定份得一定份额额的保的保险险公司而言，不公司而言，不实实行行BMS是行不通的。是行不通的。vBMS受到保受到保险险人和被保人和被保险险人的广泛人的广泛欢欢迎，几乎所有迎，几乎
14、所有的的发发达国家都在汽达国家都在汽车车保保险险中中实实施了施了BMS。总结8.2 奖惩系统原理v一个完整的一个完整的BMS必必须须包括三个要素，包括三个要素，设设BMS共共设设了了n个保个保费费等等级级：n各个各个级别级别ci的保的保费费水平水平i(i=1,2,n)；n初始初始级别级别；n转转移移规则规则，即依据，即依据历历史史赔赔案案记录记录决定下一年所在决定下一年所在折扣折扣级别级别的的规则规则。vBMS体系可描述体系可描述为为一个一个马马尔尔可夫可夫链链，转转移移规则规则可用可用转转移概率来描述。移概率来描述。v基本基本BMS模型模型：只考：只考虑虑上一年索上一年索赔赔次数的次数的BM
15、S。n被保被保险险人的人的续续期保期保费费取决于他在上一年的保取决于他在上一年的保费费等等级级和和上一年的索上一年的索赔赔次数，而与上一年以前的次数，而与上一年以前的历历史无关。史无关。v假假设设被保被保险险人的索人的索赔记录为赔记录为一个一个马马尔尔可夫可夫链链，若被保，若被保险险人的索人的索赔频赔频率是率是稳稳定的（即被保定的（即被保险险人的人的驾驶驾驶能力在能力在一段一段时间时间内没有内没有变变化），化），则这则这个个马马尔尔可夫可夫链链是是齐齐次的。次的。1.基本BMS模型vTk：转转移移规则规则nTk(i)=j：当索：当索赔赔次数次数为为k时时，投保人将从保，投保人将从保费级别费级别
16、ci转转移到保移到保费级别费级别cj。vM：转转移矩移矩阵阵(pij)nnnpij：从保：从保费级别费级别ci转转移到保移到保费级别费级别cj的一步的一步转转移概率。移概率。1.基本BMS模型v(t)：时时刻刻t各各级别级别保保单单持有人的分布状况。持有人的分布状况。v马马尔尔夫夫夫夫链链关系：关系：1.基本BMS模型v路径依路径依赖赖的的BMS：BMS不不仅仅依依赖赖于上一年的保于上一年的保费费等等级级以及索以及索赔记录赔记录，还还依依赖赖于上一年以前的于上一年以前的历历史索史索赔赔。n保保费费等等级级的的变变化是非化是非齐齐次次马马尔尔可夫可夫链链。如平安保。如平安保险险2003年汽年汽车
17、车保保险险的的BMS。v考考虑费虑费率因子的率因子的BMS：Taylor(1997)将将费费率因子引入率因子引入BMS，从而使，从而使对对投保人的投保人的奖惩奖惩更更趋趋于合理。于合理。2.其他形式的BMS模型类别 保费系数 上年未出险上年未出险0.9过去过去3年内年内2年未出险年未出险 0.8连续连续3年及年及3年以上未出险年以上未出险 0.7 表8.6 平安保险公司2003年机动车辆保险BMSv当当时间时间t时时，由，由马马氏氏链链性性质质，各保，各保费级别费级别的保的保单单分分布比例将布比例将趋趋于于稳稳定。定。v存在存在 ：稳稳定状定状态态下的保下的保单单持有人的持有人的分布状况，分布
18、状况，满满足：足：v且有：且有：3.BMS的稳态分布v假假设设不考不考虑虑BMS对对被保被保险险人索人索赔频赔频率的影响，率的影响，稳态稳态分分布的布的计计算方法有：算方法有：(1)求求转转移概率矩移概率矩阵阵的特征向量。的特征向量。n由由稳稳定状定状态态下下，保，保单单持有人分布状况的性持有人分布状况的性质质 及及 得到得到稳态稳态分布。分布。(2)求求转转移概率矩移概率矩阵阵的极限的极限值值。n计计算算转转移概率矩移概率矩阵阵的的n次方得到次方得到n步步转转移概率，移概率，这这些概些概率收率收敛敛到到稳态稳态分布。分布。n一般当一般当n30时时，就可以得到，就可以得到稳态稳态分布的良好近似
19、。分布的良好近似。BMS稳态分布的计算v设设BMS有三个保有三个保费费折扣折扣级别级别，分，分别为别为0%、30%、50%，第，第1年分布状况年分布状况(1)=(1 0 0)。v转转移移规则为规则为：一年内无：一年内无赔赔案案发发生，保生，保费费折扣上升一折扣上升一级级或停留在或停留在50%的折扣；如果一年内有的折扣；如果一年内有赔赔案案发发生，生，则则保保费费折扣退回至折扣退回至0%的折扣。的折扣。v假假设设投保人每年索投保人每年索赔赔次数服从参数次数服从参数=0.1的泊松分布。的泊松分布。求求稳稳定状定状态态下各下各级级折扣的保折扣的保单单数比例。数比例。例8.1例8.1答案v索索赔赔次数
20、服从泊松分布次数服从泊松分布v故一年内不故一年内不发发生索生索赔赔的概率的概率为为：vBMS的的转转移概率矩移概率矩阵为阵为：v方法方法1：由于由于 ，则有，则有 解方程，得到稳定状态分布为：解方程，得到稳定状态分布为：例8.1答案例8.1答案v方法方法2：利用：利用Mathematica等数学等数学软软件求件求转转移矩移矩阵阵P的的n次次幂幂：可以看出转移矩阵可以看出转移矩阵M收敛，从而得到稳定分布为：收敛，从而得到稳定分布为：v设设BMS系系统统有三个保有三个保费费等等级级，保，保费费折扣分折扣分别为别为0%、25%和和40%。假。假设设被保被保险险人每年索人每年索赔赔概率概率为为0.2，
21、第，第1年年(1)=(1 0 0)。v转转移移规则规则：如果没有索：如果没有索赔记录赔记录，保，保费费折扣可以上升折扣可以上升一一级级或停留在或停留在40%的折扣，如果有索的折扣，如果有索赔记录赔记录，则则当当年保年保费费折扣下降一折扣下降一级级或停留在或停留在0%的折扣。的折扣。(1)求第求第2年和第年和第3年，各年，各级级折扣的被保折扣的被保险险人比例。人比例。(2)求求稳态时稳态时，各，各级级折扣的被保折扣的被保险险人比例人比例。例8.2例8.2答案(1)转移概率矩阵为：转移概率矩阵为：(2)例8.2答案v假假设设个体保个体保单单的索的索赔频赔频率服从参数率服从参数的泊松分布，在参的泊松
22、分布，在参数数（索（索赔频赔频率的均率的均值值）取不同的）取不同的值时值时，根据我国，根据我国2007年机年机动车动车商商业业保保险险行行业业基本条款基本条款BMS（表（表8.4），），计计算达到算达到稳稳定状定状态时态时各折扣各折扣级别级别的保的保单单数比例以及个数比例以及个体保体保单单平均保平均保费费收入（表收入（表8.7）。）。v可以看出，可以看出，对对于个体保于个体保单单来来说说，当索，当索赔频赔频率增加率增加时时，平均保平均保费费增加的比例小于索增加的比例小于索赔频赔频率均率均值值增加的比例，增加的比例，当当从从0.1变为变为1增加至增加至10倍，平均保倍，平均保费仅费仅增加至增加至
23、1.26倍。倍。索赔频率对BMS稳态分布的影响稳态平均保费随索赔频率变化曲线图图8.1 稳态时的平均保费随索赔频率变化曲线稳态时的平均保费随索赔频率变化曲线v一个好的一个好的奖惩奖惩系系统应该统应该具具备备以下条件：以下条件：n对对投保人的逆向投保人的逆向选择选择起到起到预测预测和抵制的作用；和抵制的作用；n客客观观真真实实地地评评价每个被保价每个被保险险人的人的风险风险，并将，并将风险风险大小通大小通过过保保费费水平体水平体现现出来。出来。v评评价价BMS优优劣的常用劣的常用标标准：准：n1.稳稳定状定状态态下的平均保下的平均保费费水平；水平；n2.相相对稳对稳定平均水平；定平均水平；n3.
24、对对新投保人的新投保人的隐隐性性惩罚惩罚；n4.变变异系数；异系数；n5.弹弹性；性；n6.最最优优期望自留期望自留额额；n7.风险风险区分率。区分率。8.3 奖惩系统的评价因素1.稳定状态下的平均保费水平v假假设设无折扣无折扣级别级别的保的保费为费为100，则则稳稳定状定状态时态时平均保平均保费费水平水平为为：nci：第：第i个折扣等个折扣等级级ni：稳稳定状定状态态下第下第i个折扣等个折扣等级级的被保的被保险险人比例人比例vBMS稳稳定后，定后，处处于系于系统统各个折扣各个折扣级别级别的保的保单单分布状分布状况也固定下来，保况也固定下来，保险险人收取的保人收取的保费趋费趋于于稳稳定。定。v
25、如果新投保人必如果新投保人必须缴纳须缴纳超超过过平均水平的保平均水平的保费费，才能，才能进进入系入系统统，此，此时时BMS将保将保险责险责任更多的加于新投保人任更多的加于新投保人身上，人身上，人为为造成了造成了风险风险不均衡，不均衡，2.相对稳定平均水平v相相对稳对稳定平均水平定平均水平（RSAL）：表示当）：表示当BMS达到达到稳稳定定时时，一个普通投保人在所有保，一个普通投保人在所有保单单中的相中的相对对位置，位置，可可评评估估BMS最低等最低等级级保保单单的聚焦程度。的聚焦程度。nRSAL越小平均水平越靠近最低水平，即越小平均水平越靠近最低水平，即处处于高折扣的保于高折扣的保单单数比重大
26、，若数比重大，若RSAL较较大大说说明保明保单级别单级别分布相分布相对对均匀。均匀。n根据根据Lemaire(1993)研究，理想研究，理想RSAL的的值应为值应为50%。但。但实实际际上即使非常上即使非常严厉严厉的的BMS（肯尼（肯尼亚亚）也只能接近）也只能接近29%。v对对于于优优良被保良被保险险人人RSAL值值越小越好，而越小越好，而对对于不良被于不良被保保险险人人RSAL越大越好。越大越好。3.对新投保人的隐性惩罚v当当BMS稳稳定定时时的平均保的平均保费费水平低于新投保人水平低于新投保人进进入入时时的保的保费费水平水平时时，就存在了，就存在了对对新投保人的新投保人的隐隐性性惩罚惩罚。
27、v新投保人的新投保人的隐隐性性惩罚惩罚，评评价指价指标为标为：4.变异系数v变变异系数异系数，是，是对对BMS严厉严厉性的一种衡量指性的一种衡量指标标，是保，是保费费支付的支付的标标准差与平均准差与平均值值的比的比值值。v实实行行BMS后，被保后，被保险险人的保人的保费费支出因保支出因保险险人的人的“利利诱诱”而而变变得不得不稳稳定，某种程度上，定，某种程度上，BMS增加了被保增加了被保险险人支出的人支出的变变异性。异性。n若BMS变异系数很高，说明保费支出的变异性大，系统非常不稳定，即被保险人的优惠极易被新的索赔破坏，被保险人承担的风险较大。评估变异系数的方法v若无保若无保险险，投保人自己承
28、担全部，投保人自己承担全部损损失，考失，考虑拟虑拟合合损损失失分布的数据，分布的数据，计计算得到投保人支出的算得到投保人支出的变变异系数异系数1；v若有保若有保险险，且没有后，且没有后验评验评估，估，则则各年保各年保费费完全相同，完全相同，投保人支出的投保人支出的变变异系数异系数为为0。v若采用若采用BMS，投保人保，投保人保费费支出的支出的变变异系数异系数2在在0与与1之之间间。n用用BMS下的下的变变异系数异系数2占未投保占未投保时时的的变变异系数异系数1的百分的百分比，衡量投保人采用比，衡量投保人采用BMS后保留的后保留的变变异性。异性。5.BMS的弹性v当被保当被保险险人的索人的索赔频
29、赔频率提高率提高时时，好的，好的BMS应应使被保使被保险险人人缴纳缴纳的保的保费费也相也相应应提高，反映提高，反映这这种灵敏程度的就是种灵敏程度的就是BMS的的弹弹性。性。vBMS的的弹弹性性，公式，公式为为：其中其中P()表示表示稳稳定状定状态时态时投保人投保人应缴纳应缴纳的平均保的平均保费费。6.最优期望自留额v一个一个处处在在BMS中的投保人，决定是否中的投保人，决定是否报报告索告索赔时赔时面面临临两个两个选择选择：n报报告索告索赔赔，会，会丧丧失一部失一部优优惠；惠；n不不报报告索告索赔赔，会享受更高的折扣，但要自，会享受更高的折扣，但要自负损负损失。失。v设设最最优优自留自留额额 D
30、，折扣期望，折扣期望为为V，应缴应缴保保费为费为P，由，由期望效用原理，最期望效用原理，最优优自留自留额满额满足：足：n若若XD时时，应应当向保当向保险险公司提出索公司提出索赔赔。7.风险区分度vBMS可使保可使保费缴纳费缴纳与与风险风险水平相水平相对应对应，但，但BMS稳稳定定时时，不同保，不同保费费等等级级中的保中的保单单仍有可能非同仍有可能非同质质，索，索赔频赔频率仍然存在差异，只是差异程度有所减小。率仍然存在差异，只是差异程度有所减小。v风险风险区分度区分度：当：当BMS进进入入稳稳定状定状态时态时，不同保，不同保费费等等级级的保的保单单在索在索赔赔次数上的差异程度。次数上的差异程度。
31、v结结构函数构函数：非同：非同质质保保单组单组合的索合的索赔赔次数模型中，不同次数模型中，不同保保单单的索的索赔频赔频率用分布函数率用分布函数u()表示。表示。n结结构函数通常构函数通常选选取取伽伽玛玛函数函数（负负二二项项模型）和模型）和逆高斯逆高斯函数函数（泊松（泊松-逆高斯模型）。逆高斯模型）。7.风险区分度v对对于不同折扣等于不同折扣等级级的各的各组组保保单单，其索，其索赔频赔频率的率的均均值值：v其索其索赔频赔频率的方差：率的方差：7.风险区分度v伽伽玛结玛结构函数构函数：各个折扣等：各个折扣等级级保保单单中，不同保中，不同保单单的索的索赔频赔频率服从伽率服从伽玛玛分布分布Gamma
32、(,)，密度函数：，密度函数：，则则：v逆高斯逆高斯结结构函数构函数：在各个折扣等：在各个折扣等级级保保单单中，不同保中，不同保单单索索赔频赔频率服从逆高斯分布率服从逆高斯分布Inverse Gaussian(,)，密，密度函数：度函数：，则则：v根据我国根据我国2007年机年机动车动车商商业业保保险险行行业业基本条款基本条款BMS（表（表8.4），），利用各利用各评评价指价指标标对对其其进进行行评评价。价。例8.3保费等级 内容 保费系数 1连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款 0.72连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款0.83上年没有发生赔款上年没有发生赔款0.94新保或上年赔款次数
33、在新保或上年赔款次数在3次以下次以下1.05上年发生上年发生3次赔款次赔款 1.16上年发生上年发生4次赔款次赔款 1.27上年发生上年发生5次及以上赔款次及以上赔款 1.3 表8.4 机动车商业保险行业基本条款（2007）v1.写出写出转转移概率矩移概率矩阵阵n写出写出发发生生0、1、2、3、4、5及及5次以上索次以上索赔时赔时的的转转移移规规则则（见见表表8.7），），进进而得到而得到转转移概率矩移概率矩阵阵M。v2.计计算算稳态稳态分布分布n由由 得到得到稳态稳态下各保下各保费费等等级级分布：分布：例8.3答案表8.7 转移规则保费保费等级等级 保费系数保费系数 一年后的保费等级（按索赔
34、次数分）一年后的保费等级（按索赔次数分）01或或234510.71456720.81456730.92456741.03456751.13456761.23456771.3 34567转移概率矩阵v3.根据索根据索赔赔次数数据求出具体次数数据求出具体转转移概率矩移概率矩阵阵n根据我国某保根据我国某保险险公司公司1996年年35072辆辆投保投保车辆车辆的第三的第三者者责责任任险险的索的索赔赔次数的次数的观观察数据（察数据（表表8.9）进进行行拟拟合。合。n考考虑虑索索赔赔次数服从泊松次数服从泊松-逆高斯分布，其最大似然估逆高斯分布，其最大似然估计计值为值为：n由此由此计计算出恰好算出恰好发发生
35、生k次索次索赔赔的概率如表的概率如表8.8。例8.3答案p0p1p2p3p40.773160390.167156920.040494060.012166930.004238280.00278342表8.8 恰好发生k次索赔的概率pk表8.9 索赔次数的观察值索赔次数索赔次数k保单数保单数nk027141157892144334574155556627728291100合合 计计35072n写出写出稳态时稳态时的的转转移概率矩移概率矩阵阵，并，并计计算算稳态稳态下各保下各保费费等等级级的概率分布如表的概率分布如表8.10。例8.3答案表8.10 稳态下各保费等级的概率分布12345670.462
36、177480.13559950.17538340.207650980.012166930.004238280.00278342例8.3答案v4.计计算算BMS的的评评价指价指标标(1)稳稳定状定状态态下平均保下平均保费费水平水平n假假设设初始初始级别级别（折扣系数（折扣系数为为1.0）的保）的保费为费为100，则稳则稳定状定状态态下平均保下平均保费费水平水平为为：(2)相相对稳对稳定状定状态态平均水平（平均水平（RSAL）nRSAL反映了反映了稳态时稳态时投保人在高折扣投保人在高折扣级别级别的集中程度，的集中程度，其其值值越小，越小，说说明投保人在高折扣明投保人在高折扣级别级别越集中。越集中。
37、例8.3答案(3)对对新投保人的新投保人的隐隐性性惩罚惩罚nECL反映了反映了对对新投保人的超新投保人的超额额收收费费。(4)变变异系数异系数n通通过过将第将第i年各折扣等年各折扣等级级的概率分布与的概率分布与转转移概率矩移概率矩阵阵M相乘，得到第相乘，得到第i+1年各折扣等年各折扣等级级的概率分布，从而的概率分布，从而计计算算各年平均保各年平均保费费及及变变异系数（表异系数（表8.11、图图8.1、图图8.2）。）。表8.11 各年平均保费及变异系数年份年份1234567平均保费平均保费 变异系数变异系数1000100010002000.77316 0.20765 0.01217 0.004
38、238 0.002783 92.5583 0.0565 300.5978 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 86.5806 0.1046 40.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 50.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 60.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588
39、0.1580 70.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 80.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 90.46220.1356 0.17538 0.20765 0.01217 0.004238 0.002783 81.9588 0.1580 图8.1 平均保费的逐年变化曲线图8.2 变异系数的逐年变化曲线例8.3答案(4)变变异系数异系数n从第从第4年起各折扣等年起各折扣等级级的概率分布就达到了的概
40、率分布就达到了稳稳定状定状态态，平均保平均保费费由由100元降到元降到稳态时稳态时81.9588，变变异系数从异系数从0增增加到加到稳态时稳态时的的0.1580。从世界范。从世界范围围来看，我国的来看，我国的变变异异系数系数处处于一个于一个较较低水平，即低水平，即变变异系数相异系数相对较对较小小。n若无保若无保险险，投保人自己承担全部，投保人自己承担全部损损失，泊松失，泊松-逆高斯分逆高斯分布的均布的均值值、方差分、方差分别为别为：，投保人，投保人自己承担自己承担损损失的失的变变异系数异系数为为：。nBMS的的变变异系数占未保异系数占未保险险前前变变异系数的百分比异系数的百分比为为0.1580
41、/0.352335.2296%，表示，表示实实施施BMS后，投保人后，投保人仍保留的仍保留的变变异性。异性。例8.3答案(5)风险风险区分度区分度n不同折扣等不同折扣等级级各各组组保保单单，索，索赔频赔频率的均率的均值值和方差和方差为为：n利用利用Mathematica软软件，件，计计算算 ，根据逆高斯分，根据逆高斯分布均布均值值和方差，估和方差，估计计其参数（表其参数（表8.12）。）。n可可见见：7个保个保单级别单级别的索的索赔频赔频率有明率有明显显差异，且被保差异，且被保险险人的危人的危险险程度是逐程度是逐渐渐增加的。增加的。表8.12 结构函数 的参数i10.1501520.01943
42、20.1501520.12941420.3129300.0708410.3129300.22638030.4124210.1406840.4124210.34111840.5658000.2763570.5658000.48843551.3933760.7221841.3933760.51829861.9116741.0084321.9116740.52751372.8378191.9127582.8378190.674024v最最优奖惩优奖惩系系统统：指从：指从长长期看，每个被保期看，每个被保险险人人缴纳缴纳的的保保费费与其潜在的与其潜在的风险风险水平成比例，且保水平成比例，且保险险公司能公
43、司能够够维维持其持其财务财务平衡，即平衡，即对对于一于一组组固定的保固定的保单单持有人，持有人，保保险险公司不会因公司不会因实实施施奖惩奖惩系系统统而减少其保而减少其保费费收入。收入。v以伽以伽玛结玛结构函数构函数为为例，分析最例，分析最优奖惩优奖惩系系统统。8.4 最优奖惩系统v假假设给设给定个体保定个体保单单（索（索赔频赔频率率）的索）的索赔赔次数次数N服从服从参数参数为为的泊松分布，保的泊松分布，保单组单组合关于合关于的的结结构函数服构函数服从从Gamma(,)，即，即v对对于一份随机个体保于一份随机个体保单单，如果没有，如果没有该该保保单单的任何信的任何信息，息，则对则对其索其索赔频赔
44、频率的估率的估计为计为伽伽玛玛分布的均分布的均值值/。8.4 最优奖惩系统v若随机个体保若随机个体保单单在在t年内索年内索赔赔次数次数为为k1,k2,kt，由，由贝贝叶斯公式：叶斯公式：故故的后的后验验分布分布为为Gamma(+k,+t)，其中，其中v设设t+1为为t+1年索年索赔频赔频率的后率的后验验估估计计，选选用平方用平方损损失函失函数，令数，令，可得，可得8.4 最优奖惩系统v即即t+1年的年的最最优优估估计为计为其后其后验验分布的均分布的均值值，故，故v进进一步假一步假设对设对个体保个体保单单平均每次平均每次赔赔付付额为额为1个个货币单货币单位，位，设设r为为安全附加系数，安全附加系
45、数，则则第第t+1年年续续期保期保费为费为：v当当t时时，估，估计频计频率率趋趋于真于真实实索索赔频赔频率率k/t，估，估计计方方差差(+k)/(+t)2趋趋于零，因此于零，因此对对个体保个体保单单的的观观察察时间时间越越长长，对对索索赔频赔频率的估率的估计计越准确。此系越准确。此系统统即即为为最最优优奖惩奖惩系系统统。8.4 最优奖惩系统v长长期来看，最期来看，最优奖惩优奖惩系系统统是公平的，个体保是公平的，个体保单单的的续续期期保保费费与索与索赔频赔频率估率估计值计值成比例。成比例。v保保险险公司公司财务财务具有具有稳稳定性，保定性，保险险公司每年的平均保公司每年的平均保费费收入均收入均为
46、为：。v个体保个体保单单只与以前年度的只与以前年度的总总索索赔赔次数有关，而不管次数有关，而不管这这些索些索赔赔次数在次数在过过去的分布如何。去的分布如何。v最最优奖惩优奖惩系系统统是信度模型的特例。若信度是信度模型的特例。若信度 ，则则后后验验保保费费可表示可表示为为先先验验保保费费/与与经验经验估估计值计值k/t的的加加权组权组合：合：。最优奖惩系统特点谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH