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1、分离变量分离变量:7.2 可分离变量微分方程 解分离变量的方程解分离变量的方程 1.1.可分离变量方程的概念可分离变量方程的概念 第七章第七章(只需两边求不定积分只需两边求不定积分)若若=则称则称(1)为可分离变量的方程为可分离变量的方程(1)(2)7.1 微分方程基本概念(略略)形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再还原积分后再还原便得原方程的通解便得原方程的通解.2.解法解法:分离变量分离变量:7.3 7.3 齐次方程齐次方程 1.定义定义若若令令可化为可分离变量的可化为可分离变量的形如形如的方程的方程的方程的方程形如形如原
2、方程为上述类型原方程为上述类型当当时时,令(b0)1).1).2).2).当当 时时,有惟一解有惟一解(x,y)=(h,k)通过变量代换化非标准类型通过变量代换化非标准类型为已知类型为已知类型方程是常用的方法方程是常用的方法如如P315第第7题题令令令令形如形如令令均可化为可分离变量的均可化为可分离变量的.令令可分离可分离可分离可分离可分离可分离一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程的通解的通解伯努利方程伯努利方程 令令求出此方程通解后求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.(线性方程线性方程)原方程化为原方程化为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程的通解的通
3、解简单复习简单复习7.4 1.连续函数连续函数满足下列方程满足下列方程:解解:令令又又求求则则两边求导得两边求导得(一阶线性非齐次一阶线性非齐次)通解通解=0,所以所以C=1则则注注:判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则2.求解方法及步骤求解方法及步骤:方法有三种方法有三种(参见参见P149,二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积)求原函数求原函数 u(x,y)由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.则称则称为为全微分方程全微分方程(或或恰当方程恰当方程).1.定义定义:若存在若存在使使,简单复习简单复
4、习7.5 3.积分因子积分因子(恰当因子恰当因子)使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.常用微分倒推公式常用微分倒推公式:7.6 可降阶高阶微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 第七章第七章(不显含不显含y)(不显含不显含x)二阶微分方程二阶微分方程一、一、令令因此因此即即同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分,可得含可得含 n 个任意
5、常数的通解个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 连续连续 n 次不定积分次不定积分(且不要常数且不要常数)为为n-1次多项式次多项式.例例1.解解:积积分分不不要要常常数数所以通解为所以通解为:例例2.质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻随着时间的增大随着时间的增大,此力此力 F 均匀均匀地减地减直到直到 t=T 时时 F(T)=0.如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点,解解:据题意有据题意有t=0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数:F=F(t).小小,求质点的运动规律求质点的运动规律.初
6、初速度为初初速度为0,且且对方程两边积分对方程两边积分,得得 利用初始条件利用初始条件于是于是两边再积分得两边再积分得再利用再利用故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为型的微分方程型的微分方程 设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得则得再一次积分再一次积分,得原方程的通解得原方程的通解二、二、例例3.求解求解解解:代入方程得代入方程得分离变量分离变量积分得积分得利用利用于是有于是有两端再积分得两端再积分得利用利用因此所求特解为因此所求特解为例例4.绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解:取坐标系如图取坐标系如图.考察最低点考察最低点 A 到到(:密度密度
7、,s:弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件,有有故有故有设有一均匀设有一均匀,柔软的绳索柔软的绳索,两端固定两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点任意点M(x,y)弧段的受力情况弧段的受力情况:A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得则得定解问题则得定解问题:原方程化为原方程化为两端积分得两端积分得则有则有两端积分得两端积分得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为悬悬 链链 线线(好处在后面好处在后面)(好处好处)三、三、型的微分方程型的微分方程 令令故方程化为故方程化为设其通解为设其通解
8、为即得即得分离变量后积分分离变量后积分,得原方程的通解得原方程的通解例例5.求解求解代入方程得代入方程得两端积分得两端积分得(一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)故所求通解为故所求通解为解解:例例6.解初值问题解初值问题解解:令令代入方程得代入方程得积分得积分得利用初始条件利用初始条件,根据根据积分得积分得故所求特解为故所求特解为得得分离变量分离变量显化显化 例例7.求方程的通解求方程的通解解解:令令代入方程得代入方程得可求得其通解为可求得其通解为:还原得原方程的通解为还原得原方程的通解为:内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令令 P323
9、1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4 作业作业 两点说明：两点说明：1.方程方程的求解的求解?令令或或一般说一般说,用前者方便些用前者方便些.均可均可.有时用后者方便有时用后者方便.例如例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：(1)一般情况一般情况,边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时遇到开平方时,要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.1.解解:建坐标如图建坐标如图:xyB(-1,0)A(0,1)动点动点A的坐标为的坐标为(0,1+vt),此时此时 动点动点B运动到运动到P(x,y)P(x,y)据题意据题意:
10、(设法削去设法削去t)两边对两边对x求导求导:设物体设物体A从点（从点（0，1）出发，以速度大小为常数）出发，以速度大小为常数v沿沿y轴正向运动物体轴正向运动物体B从点（从点（-1，0）与）与A同时出发，同时出发，其速度大小为其速度大小为2v，方向始终指向，方向始终指向A，试建立物体，试建立物体B的运动的运动轨迹所满足的微分方程轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件，并写出初始条件.即即初始条件初始条件2.求方程求方程解解:令令代入方程得代入方程得的通解为的通解为:的通解为的通解为:的通解的通解是何类型是何类型?原方程两边求导得原方程两边求导得:化简得化简得(1)(2)代入原方程检验得代入原方程检验得,代入检验得代入检验得,a=0,是原方程的通解是原方程的通解.是原方程的是原方程的一类解一类解,但非但非通解通解.