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1、第五节第五节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy 四、四、可降阶二阶微分方程的应用举例可降阶二阶微分方程的应用举例一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 解法解法,d)(1Cxxfy .d)d)(21CxCxxxfy 特点特点 右端仅含有自变量右端仅含有自变量 x , 只要积分只要积分 二次即得通解二次即得通解 . .cos的通解的通解求方程求方程xxeyx 例例 1解解 xxxeyxd)cos(,sin1Cxexexx xCxexeyxx
2、d)sin(1.cos221CxCxexexx 逐次积分的解法可用于解高阶微分方程逐次积分的解法可用于解高阶微分方程. )()(xfyn ,d)(1)1(Cxxfyn xCxxfynd)d)(1)2(,d)d)(21CxCxxxf 积分积分 n 次即得含次即得含 n 个独立任意常数的通解个独立任意常数的通解 .2的通解的通解求方程求方程例例xxey 解解 xxeyxd,1Cexexx xCexeyxxd)(1,221CxCexexx xCxCexeyxxd)2(21.33221CxCxCexexx ,00 tx解解 据题意有据题意有)(dd22tFtxm tFoT0FF)1(0TtmF 0dd
3、0 ttx)1(0TtF对方程两边积分对方程两边积分, , 得得 例例3 3 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动 , 设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数: F = F (t) .在开始时在开始时刻刻t = 0 时时F(0) = F0 , 随着时间的增大随着时间的增大 , 此力此力 F 均匀均匀地减小地减小 , 直到直到 t = T 时时 F(T) = 0 .若开始时质点在原点若开始时质点在原点 , 且初速度为且初速度为0 , 求质点的运动规律求质点的运动规律. 120)2(ddCTttmFtx 120)2(ddCTttmFt
4、x 利用初始条件利用初始条件, 01 C得得于是于是)2(dd20TttmFtx 两边再积分得两边再积分得2320)62(CTttmFx 再利用再利用00 tx, 02 C得得故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为).3(2320TttmFx 0dd0 ttx二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 特点：特点：解法：解法：.y不显含未知函数不显含未知函数, )(xpy 令令.py 则则代入原方程代入原方程, 化为关于变量化为关于变量 x , P 的一阶微分方程的一阶微分方程).,(pxfp 关于关于 p(x) 的的一一阶方程阶方程设其通解为设其通解为),(1Cxp 即即, ),(1
5、Cxy 再次再次积分积分, 得得原方程的通解原方程的通解.d),(21CxCxy .0的通解的通解求方程求方程 yyx解解),(xpy 设设代入原方程代入原方程,得得, 0 ppx,1xCp 解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为, )(xpy 则则）（0 p,1xCy 即即,21221CxCy 例例 1.221CxCy 即即.12的通解的通解求方程求方程 yxyx解解),(xpy 设设代入原方程代入原方程, 得得,12 xppx),(ln11Cxxp 解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得原方程通解为得原方程通解为),(xpy 则则,lnln21
6、212CxCxy 例例2,112xpxp 即即),(ln11Cxxy 即即.1)0(,0)0(0)1(2的解的解求方程求方程 yyyxyx解解),(xpy 设设代入原方程代入原方程,得得,0)1(2 xppx211xCP 解线性方程解线性方程, 得得),(xpy 则则例例 3,012 pxxp即即211xCy 即即,1)0( y由由,11 C得得211xy 两端积分两端积分 , 得原方程通解为得原方程通解为,arcsin2Cxy ,0)0( y由由,02 C得得故所求原方程的解为故所求原方程的解为:.arcsin xy 三、 型的微分方程),(yyfy ),(ypy 设设xpydd 则则特点：
7、特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：xyypdddd ,ddypp 代入原方程代入原方程, 化为关于化为关于 p(y) 的一阶微分方程的一阶微分方程, ),(ddpyfypp 设其通解为设其通解为),(1Cyp 即即, ),(1Cyy 分离变量后分离变量后积分积分, 得得原方程的通解原方程的通解.),(d21CxCyy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 pyppy, 0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1yCp 可得可得.12xceCy 故原方程通解为故原方程通解为例例 1即即
8、,1yCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解2,12y两端同乘两端同乘, 0)(dd22 yyxyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 例例 1解解3原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 2解解,ddyppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 pyppy, 0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1Cyp 可得可得故原方程通解为故原方程通解为,1Cyy 即即.212CxCy ,dd1x
9、Cyy 即即.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解2将方程写成将方程写成, 0)(dd yyx,1Cyy 故有故有,dd1xCyy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 例例 2.,12)1 , 0(, )(232求该曲线求该曲线处的切线为处的切线为其在其在已知一曲线满足方程已知一曲线满足方程例例 xyyyyy解解 2)0(,1)0()(22yyyyyy即求初值问题即求初值问题),(ypy 设设,ddyppy 则则代入原方程得代入原方程得 ,)1(2ddypyp ,2d1d yypp,ln)1ln(2Cyp 得得代入代入将将,2,1 py,0 C,12 ypy,d1d2xyy ,a
10、rctanCxy 可得可得故曲线方程为故曲线方程为,d1d2 xyy得得代入代入将将,1,0 yx,4 C. )4tan( xy.02的通解的通解求方程求方程 yey例例解解令令),(ypy ,ddyppy 则则代入方程得代入方程得,dd2yeppy 积分得积分得,1221221Cepy 即即,122Cepy ,12Cepy 若若,12Ceyy 即即, y解得解得,12Cepy 若若,12Ceyy 即即, y解得解得解解例例4解初值问题解初值问题.1,00002 xxyyyey令令),(ypy ,ddyppy 则则代入方程得代入方程得,dd2yeppy 积分得积分得,1221221Cepy 即
11、即,122Cepy 利用初始条件利用初始条件, , 0100 xyyp, 01 C得得根据根据,ddyepxy 积分得积分得,2Cxey , 00 xy再由再由, 12 C得得故所求特解为故所求特解为.1xey 得得四、小结四、小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn 逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 则则),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 则则思考思考: :1. 方程方程)(yfy 如何代换如何代换求解求解 ?答答: : 令令)(xpy 或或)(ypy 一般说一般说, , 用前者方便些用前者方便些
12、. . 均可均可. . 有时用后者方便有时用后者方便 .例如：例如：2)( yey 2. 解解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题问题 ?答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便. .(2) 遇到遇到开平方时开平方时, , 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号. .一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4 4、xCxCy2111 . .二、二、1 1、22xxy ； 2 2、)1ln(1 axay； 3 3、4)121( xy. .三、三、121613 xxy. .