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1、17.4一元二次方程的根与系数的一元二次方程的根与系数的关系关系1.1.填表填表 问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1,x2则有2,132-1,32-31,4541-22、填表、填表说一说，你又有什么发现？说一说，你又有什么发现？2、新课讲解、新课讲解如果方程如果方程x2+px+q=0有两个根是有两个根是x1,x2那么有那么有x1+x2=-p,x1x2=q猜想：猜想：2x2x2 2-5x+3=0,-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？系数之间有什么关系？问题问题2
2、 2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？x2=1解得：解得：x1=所以得到所以得到,x1+x2=x1x2=猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0 ）的两根为x1、x2，则 x1.x2与系数a，b，c 的关系。设设x1、x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，的两个根，X2=X2=x1+x2=+=x1x2=则则x1=任意的一元二次方程任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c 的关系是：x1+x2=一元二次方程根与
3、系数的关系是法国数学家一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达韦达”发现的发现的,所以我们又称之为韦达定理所以我们又称之为韦达定理.=x1x2=3、巩固练习：口答下列方程的两根只和与两根之积。口答下列方程的两根只和与两根之积。1）x2-3x+1=02)x2-2x=23)2x2-3x=04)3x2=1判断对错，如果错了，说明理由。判断对错，如果错了，说明理由。1)2x2-11x+4=0两根之和两根之和11,两根之积两根之积4。3）x2+2=0两根之和两根之和0，两根之积，两根之积2。4）x2+x+1=0两根之和两根之和-1，两根之积，两根之积1。2)4x2+3x=5两根之和两根之和两根之积两
4、根之积例例1已知方程已知方程2x x2 2+kx-4=0+kx-4=0的一个根是的一个根是-4-4，求它的另，求它的另一个根及一个根及k k的值。的值。答：方程的另一个根是 k的值是7。解解:设方程的另一根为了设方程的另一根为了,则则（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）另外几种常见的求值另外几种常见的求值解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k，X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+X X2 22=4=4 即即(X X1
5、1+X X2 2)2-2-2X X1 1X X2 2=4=4 K K2 2-2(k+2-2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4或或k=2题题8 8 已知方程的两个实数根是已知方程的两个实数根是且且 求求k k的值的值。引申引申:1、若、若ax2 bx c 0(a 00)（1）若两根互为相反数）若两根互为相反数,则则b 0;（2）若两根互为倒数）若两根互为倒数,则则a c;（3）若一根为）若一根为0,则则c 0;（4）若一根为）若一根
6、为1,则则a b c 0;（5）若一根为）若一根为 1,则则a b c 0;（6）若）若a、c异号异号,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根.2、设设x1.x2是方程方程2x x2 2+4x-3=0+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。列各式的值。（1 1）（x x1 1+1+1）（）（x x2 2+1+1）（）（2 2）+x1x2x1x2一元二次方程根与系数的关系？例题例题2：（1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值。的值。（2）若关于x的方程x2kx60的一个
7、根是2，求它的另一个根及k的值。二、典型例题二、典型例题例题例题1：已知方程：已知方程x22x1的两根为的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。不解方程，求下列各式的值。（1）（）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）例题例题3：设设x1，x2是方程是方程2x23xm0的两个根，的两个根，且且8x12x27，求，求m的值。的值。例题例题4：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2（2k1）xk20有两个不相等的实数根，且方有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积程的两根之和比两根之积7，求，求k的值。的值。解解:由已知由已知,=即即m0m-100m1题题9 9
8、方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围。的取值范围。一正根，一正根，一负根一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根00X X1 1X X2 20 0X X1 1+X+X2 20 01、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 。ax2bxc=0(a0)（1）a0（2）02、若、若一元二次方程一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根分别）的两根分别为为x1、x2，则则x1x2 ，x1x2 。3、用根与系数关系解题的条件是、用根与系数关系解题的条件是 。一、一、知识要点：知识要点：例题例题6：已知二次函数：已知二次函数yx2mx4（1）求证：该函数的图象一定与）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点。轴有两个不同的交点。（2）设该函数的图象与）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（x1，0），（），（x2，0）且有且有求求m的值，并求出该函数图象的顶点的值，并求出该函数图象的顶点坐标。坐标。三、延伸与拓展三、延伸与拓展