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1、1.2 独立性检验的基本思想及其独立性检验的基本思想及其初步应用初步应用定定量量变变量量的的取取值值确确定定是是实实数数，它它们们的的取取值值大大小小有有特特定定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.如身高、体重、考试成果、温度等等如身高、体重、考试成果、温度等等.变量变量定量变量定量变量分类变量分类变量两个定量变量的相关关系分析：回来分析（画散点图、两个定量变量的相关关系分析：回来分析（画散点图、相关指数相关指数R2、残差分析）、残差分析）（定性变量）（定性变量）对对于于性性别别变变量量，其其取取值值为为男男和和女女两两种种，这这种种变变量量的的不
2、不同同“值值”表表示示个个体体所所属属的的不不同同类类别别，像像这这样样的的变变量量称称为为分类变量分类变量.在日常生活中，主要考虑在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系：如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于宠爱数学课程有影响？等等性别是否对于宠爱数学课程有影响？等等.分分类类变变量量也也称称为为属属性性变变量量或或定定性性变变量量，它它们们的的取取值值确确定定是是离离散散的的，而而且且不不同同的的取取值值仅仅表表示示个个体体所所属属的的类类别别
3、，如性别变量，只取男、女两个值如性别变量，只取男、女两个值两个分类变量的相关关系的分析：两个分类变量的相关关系的分析：通过图形直观推断两个分类变量是否相关；通过图形直观推断两个分类变量是否相关；独立性检验独立性检验.由由列列联联表表可可以以粗粗略略估估计计出出，在在不不吸吸烟烟者者中中，有有0.54%0.54%患患有有肺肺癌癌；在在吸吸烟烟者者中中，有有2.28%2.28%患患有有肺肺癌癌。因因此此，直直观观上上可可以以得得到到结结论论：吸吸烟烟者者和和不不吸吸烟烟者者患患肺肺癌癌的的可可能能性性存存在差异在差异.与与表表格格相相比比，三三维维柱柱形形图图和和二二维维条条形形图图能能更更直直观
4、观地地反反映映出相关数据的总体状况出相关数据的总体状况.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤探讨所随机为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤探讨所随机地调查了地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：人，得到如下结果（单位：人）：吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌列联表列联表（列出两个分类变量的频数表）：（列出两个分类变量的频数表）：1 1、列联表、列联表2 2、三维柱形图、三维柱形图3 3、二维条形图、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从从三三维维柱柱形形图图能能清清晰晰看看出出各各个频数的相对大小个频数的相对
5、大小.从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4 4、等高条形图、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种状况下患肺癌的比例等高条形图更清晰地表达了两种状况下患肺癌的比例.上上面面我我们们通通过过分分析析数数据据和和图图形形，得得到到的的直直观观印印象象是是吸吸烟烟和和患患肺肺癌癌有有关关，那那么么事事实实是是否否真真的的如如此此呢呢？这这须须要要用统计观点来考察这个问题用统计观点来考察这个问题.现现在在想想要要知知道道能能够够以以多多大大的的把把握握认认为为“吸吸烟烟与与患患
6、肺肺癌癌有关有关”，为此先假设：，为此先假设：H H0 0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：假假如如“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌没没有有关关系系”，则则在在吸吸烟烟者者中中不不患患肺肺癌癌的的比比例例应应当当与与不不吸吸烟烟者者中中相相应应的的比比例例应应差差不不多多，即即|ad-bc|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强越大，说明吸烟与患肺癌之
7、间关系越强.为为了了使使不不同同样样本本容容量量的的数数据据有有统统一一的的评评判判标标准准，基基于于上上述分析，我们构造一个随机变量述分析，我们构造一个随机变量 若若H H0 0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K K2 2应很小应很小.由列联表中数据，利用公式（由列联表中数据，利用公式（1 1）计算得）计算得K K2 2的观测值为：的观测值为：（1 1）其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量.在在H0成立的状况下，统计学家估算出如下的概率：成立的状况下，统计学家估算出如下的概率：也也就就是是说说，在在H H0 0成成立立的的情情况况下下，对对随随机
8、机变变量量K K2 2进进行行多多次次观观测测，观观测测值值超超过过6.6356.635的的频频率率约约为为0.010.01，是是一一个个小小概概率率事事件件.现现在在K K2 2的的观观测测值值为为56.63256.632，远远远远大大于于6.6356.635，所所以以有有理理由由断断定定H H0 0不不成成立立，即即认认为为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有有关关系系”但这种推断会犯错误，犯错误的概率不会超过但这种推断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即，即我们有我们有99的把握认为的把握认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”.利利用用随随机机变变量量K K2 2来来确确定定在在多多
9、大大程程度度上上可可以以认认为为“两两个个分分类类变变量量有有关关系系”的的方方法法称称为为两两个个分分类类变变量量的的独独立立性性检验检验.独立性检验：独立性检验：如果如果 ，就判断，就判断H0不成立；否则就判断不成立；否则就判断H0成立成立.独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想：类似于数学上的反证法，对类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的推断：这一结论成立的可信程度的推断：（1 1）假设该结论不成立，即假设结论）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量两个分类变量没有关系没有关系”成立成立.（2 2）在在假假设设条条件件下下，计计
10、算算构构造造的的随随机机变变量量K2K2，假假如如由由观观测测数数据据计计算算得得到到的的K2K2很很大大，则则在在确确定定程程度度上上说说明明假假设不合理设不合理.（3 3）依依据据随随机机变变量量K2K2的的含含义义，可可以以通通过过（2 2）式式评评价价假假设设不不合合理理的的程程度度，由由实实际际计计算算出出的的k6.635k6.635，说说明明假假设设不不合合理理的的程程度度约约为为99%99%，即即“两两个个分分类类有有关关系系”这这一一结结论成立的可信程度约为论成立的可信程度约为99%.99%.一一般般地地，假假设设有有两两个个分分类类变变量量X X和和Y Y，它它们们的的可可能
11、能取取值值分分别别为为xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2,其其样样本本频频数数列列联联表表（称称为为2x22x2列联表）为：列联表）为：利利用用独独立立性性检检验验来来考考察察两两个个分分类类变变量量是是否否有有关关系系，能能较精确地给出这种推断的牢靠程度较精确地给出这种推断的牢靠程度.具体作法是：具体作法是：（1 1）依据实际问题须要的可信程度确定临界值）依据实际问题须要的可信程度确定临界值k0k0；（2）由观测数据计算得到随机变量）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值的观测值k；（3）假如）假如k6.635，就以，就以 1-P(K26.635)100%的把的把握认为握
12、认为“X与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没有；否则就说样本观测数据没有供应供应“X与与Y有关系有关系”的充分证据的充分证据.10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50（1 1）假如）假如k10.828k10.828，就有，就有99.9%99.9%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（2 2）假如）假如k7.879k7.879，就有，就有99.5%99.5%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（3 3）
13、假如）假如k6.635k6.635，就有，就有99%99%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（4 4）假如）假如k5.024k5.024，就有，就有97.5%97.5%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（5 5）假如）假如k3.841k3.841，就有，就有95%95%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（6 6）假如）假如k2.706k2.706，就有，就有90%90%的把握认为的把握认为“X“X与与Y Y有关系有关系”；（7 7）假如）假如k=2.706k=2.706，就认为没有充分的证据显示，就认为没有充分的证据显示 “X “X与
14、与Y Y有关系有关系”.”.临界值临界值例例1 在在某某医医院院，因因为为患患心心脏脏病病而而住住院院的的665名名男男性性病病人人中中，有有214人人秃秃顶顶；而而另另外外772名名不不是是因因为为患患心心脏脏病病而而住住院院的的男男性性病病人人中中有有175人人秃秃顶顶。分分别别利利用用图图形形和和独独立立性性检检验验方方法法推推断断秃秃顶顶与与患患心心脏脏病病是是否否有有关关系系？你你所所得得的的结结论论在在什什么么范范围围内有效？内有效？秃头秃头不秃头不秃头解：依据题目所给数据得到如下列联表1-13：依据联表依据联表1-13中的数据，得到中的数据，得到所所以以有有99%的的把把握握认认
15、为为“秃秃顶顶患患心心脏脏病病有有关关”。因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体例例2 为为考考察察中中学学生生的的性性别别与与是是否否宠宠爱爱数数学学课课程程之之间间的的关关系系，在在某某城城市市的的某某校校中中学学生生中中随随机机抽抽取取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表：由由表表中中数数据据计计算算K2的的观观测测值值k4.513。在在多多大大程程度度上上可可以以认认为为中中学学生生的的性性别别与与是是否否宠宠爱爱数学课程之间有关系？为什么？数学课程之间有关系？为什么？而而我我们们所所得得到到的的K2的的观观测测值值k4.513超超过过3.841，这这就就意意味味着着“性性别别与与是是否否宠宠爱爱数数学学课课程程之之间间的的关关系系”这这一一结结论论错错误误的的可可能能性性约约为为0.05（或或小小于于0.05），即即有有95%（或或大大于于 95%）的的把把握握认认为为“性性别别与与是是否否宠宠爱爱数学课程之间有关系数学课程之间有关系”。解解：在在假假设设“性性别别与与是是否否宠宠爱爱数数学学课课程程之之间间的关系的关系”的前提下的前提下K2应当很小，并且应当很小，并且