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1、,耿哲老师,-书山有路勤为径，学海无涯苦作舟,几何概型,1.正确理解几何概型定义及与古典概率的区别。2.掌握几何概型的概率计算公式，并能解决简单实际问题。3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计或计算概率.,一、高考目标,1.重点 熟练掌握几何概型的判断及几何概型的概率计算公式。2.难点几何概型应用中集合度量的确定及运算。,二、重点、难点,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心” 奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内
2、任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？,问题情境,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？,（1）试验中的基本事件是什么？,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.,（3）符合古典概型的特点吗？,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？,（1）试验中的基本事件是什么？,能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,（3
3、）符合古典概型的特点吗？,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.,问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.,（1）试验中的基本事件是什么？,能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？,（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？,（3）符合古典概型的特点吗？,微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的
4、发生都具有等可能性,上面三个随机试验有什么共同特点？,对于一个随机试验,将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型,古典概型的本质特征：,1.基本事件的个数有限的。2.每一个基本事件都是等可能发生的。,几何概型的本质特征：,3.事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中,1.有一个可度
5、量的几何图形S；,2.试验E看成在S中随机地投掷一点；,如何求几何概型的概率？,P(A)=,P(B)=,P(C)=,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求,注意：D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求),例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,解：设A=等待的时间不多于10分钟.事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得
6、答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为 ,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求),例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率,答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求),(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率. 阿,0.002,(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .,0.004,(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a， 则这个实数a7的概率为
7、.,0.3,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求,例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.,解:记“豆子落入圆内”为事件A,则,P(A)=,答:豆子落入圆内的概率为,撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在圆内，当n很大时，频率接近于概率,例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.,解:记“豆子落入圆内”为事件A,则,P(A)=,答:豆子落入圆内的概率为,撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在圆内，当n很大时，频率接近于概率,三、基础知识的深刻理解（高考的初
8、级层次要求),练习3：在正方形ABCD内随机取一点P，求APB 90的概率,APB 90？,概率为0的事件可能发生！,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求),回顾小结：,1.几何概型的特点：,事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中,有一个可度量的几何图形S；,试验E看成在S中随机地投掷一点；,2.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.,三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求),回顾小结：,3.几何概型的概率公式.,4.几何概型问题的概率的求解.,三、知识的综合应用（高考的高层次要求
9、),例1(1)(2016全国乙卷,理4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?,考点1.与长度、角度有关的问题,三、知识的综合应用（高考的高层次要求),对点训练(1)设P在0,5上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为(),(2)如图所示,在直角坐
10、标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.,考点2与面积、体积有关的几何概型例3(1)(2015南昌二模)若在圆C:x2+y2=4内任取一点P(x,y),则满足 y x 的概率是.,(2)(2015济南一模)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为.,三、知识的综合应用（高考的高层次要求),考点3：几何概型与古典概型结合例4：（1）x的取值是区间1,4中的整数，任取一个x的值，求 “取得值大于2”的概率。,古典概型 P = 2/4=1/2,（2）x的取值是区间1,4中的实数，任取一
11、个x的值，求 “取得值大于2”的概率。,1,2,3,几何概型 P = 2/3,4,三、知识的综合应用（高考的高层次要求),例5:（1）x和y取值都是区间1,4中的整数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x y 1 ”的概率。,1 2 3 4 x,1,2,3,4,古典概型,-1,P=3/8,例6:（2）x和y取值都是区间1,4中的实数，任取一个x的值和一个y的值，求 “ x y 1 ”的概率。,1 2 3 4 x,1,2,3,4,y,几何概型,-1,作直线 x - y=1,P=2/9,A,B,C,D,E,F,例 7. (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 17点之间在某地会面，先到者等一个
12、小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响求二人能会面的概率.,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部分所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的,考点4：与线性规划的结合,二人会面的条件是：,答：两人会面的概率等于,考点4：与线性规划的结合,三、知识的综合应用（高考的高层次要求),四、课堂总结,1.转化思想在几何概型中的应用:处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两
13、个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,2.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算几何概型的概率;当考察对象为线时,一般用角度比计算几何概型的概率.,四、课后作业,2. 在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币，问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ？,3.Bertrand 问题：已知半径为 1 的圆的内接等边三角形边长是 ，在圆内随机取一条弦，求弦长超过 的概率.,1.在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率.,4.一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在 8 小时内随机到达.顾客甲需要 1 小时服务时间，顾客乙需要 2 小时.计算有人需要等待的概率.,下课了，期待再见！,