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1、 第-1-页 共 6 页 -1-2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）设函数20()ln(2)xf xt dt则()fx的零点个数（）A0 B1 C2 D3（2）函数(,)arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于（）Ai B-i C j D j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xyC eCxCx（123,C C C为任意常数）为通解的是（）A440yyyy.B440yyyy.C440yyyy.D440yyyy.（4
2、）设函数()f x在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（）A若 nx收敛，则()nf x收敛.B若 nx单调，则()nf x收敛.C若()nf x收敛，则 nx收敛.D若()nf x单调，则 nx收敛.（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.（6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,)1xx y z A yz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（）A0.B1.C2.D3.（7）设随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为 F x，则max,Z
3、X Y分布函数为（）A 2Fx.B F x F y.C 211F x.D 11F xF y.（8）设随机变量0,1XN，1,4YN且相关系数1XY，则（）第-2-页 共 6 页 -2-A 211P YX.B211P YX.C211P YX.D211P YX.二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程0 xyy满足条件 11y的解是y.（10）曲线 sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.（11）已知幂级数02nnnax在0 x 处收敛，在4x 处发散，则幂级数03nnnax的收敛域为.（12）设曲面是224zxy的上侧，则2xydy
4、dzxdzdxx dxdy.（13）设A为 2 阶矩阵，12,为线性无关的2 维列向量，12120,2AA，则A的非零特征值为.（14）设随机变量X服从参数为1 的泊松分布，则2P XEX.三、解答题：15 23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10 分）求极限40sinsin sinsinlimxxxxx.(16)（本题满分10 分）计算曲线积分2sin221Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段.(17)（本题满分10 分）已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线C距离XOY面最远
5、的点和最近的点.(18)（本题满分10 分）设 f x是连续函数，（1）利用定义证明函数 0 xF xf t dt可导，且 Fxf x；（2）当 f x是以2 为周期的周期函数时，证明函数 2002()()xG xf t dtxf t dt也是以2 为周期的周期函数.(19)（本题满分10 分）21(0)f xxx，用余弦级数展开，并求 1211nnn的和.第-3-页 共 6 页 -3-(20)（本题满分11 分）TTA，T为的转置，T为的转置.（1）证()2r A；（2）若,线性相关，则()2r A.（21）（本题满分11 分）设矩阵2221212n naaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，
6、其中1,TnXxx，1,0,0B，（1）求证1nAna（2）a为何值，方程组有唯一解，求1x（3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11 分）设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立，X的 概 率 分 布 为11,0,13P Xii，Y的 概 率 密 度 为 1010Yyfy其它，记ZXY（1）求102P ZX（2）求Z的概率密度（23）（本题满分11 分）设12,nXXX是总体为2(,)N 的简单随机样本.记11niiXXn，2211()1niiSXXn，221TXSn （1）证 T是2的无偏估计量.（2）当0,1时 ，求DT.第-4-页 共 6 页 -4-2008 年全国硕
7、士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题(1)【答案】B【详解】2()ln(2)2fxxx，(0)0f，即0 x 是()fx的一个零点 又2224()2ln(2)02xfxxx，从而()fx单调增加（(,)x ）所以()fx只有一个零点.(2)【答案】A【详解】因为2211xyfxy，2221yx yfxy，所以(0,1)1xf，(0,1)0yf 所以 (0,1)10f gradiji(3)【答案】D 【详 解】由 微 分 方 程 的 通 解 中 含 有xe、cos2x、sin 2x知 齐 次 线 性 方 程 所 对 应 的 特 征 方 程 有 根1,2rri，所以特征方程为(1)(2)
8、(2)0rri ri，即32440rrr.故以已知函数为通解的微分方程是40yyy(4)【答案】B【详解】因为()f x在(,)内单调有界，且 nx单调.所以()nf x单调且有界.故()nf x一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE 故,EA EA均可逆(6)【答案】B【详 解】图 示 的 二 次 曲 面 为 双 叶 双 曲 面，其 方 程 为2222221xyzabc，即 二 次 型 的 标 准 型 为222222xyzfabc，而标准型的系数即为A的特征值.(7)【答案】A【详解】2max,ZZZZF zP ZzPX YzP X
9、z P YzF z F zFz(8)【答案】D 【详解】用排除法.设YaXb，由1XY，知道,X Y正相关，得0a，排除 A、C 第-5-页 共 6 页 -5-由(0,1),(1,4)XNYN，得0,1,EXEY 所以 ()()E YE aXbaEXb01,ab 所以1b.排除 B.故选择 D 二、填空题(9)【答案】1 x【详解】由dyydxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1)1y，所以1yx.(10)【答案】1yx【详解】设(,)sin()ln()F x yxyyxx，则1cos()11cos()xyyxyFdyyxdxFxxyyx ，将(0)1y代入得01xdydx，所
10、以切线方程为10yx，即1yx(11)【答案】(1,5【详解】幂级数0(2)nnnax的收敛区间以2x 为中心，因为该级数在0 x 处收敛，在4x 处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0，即222x 时级数收敛，亦即0nnna t的收敛半径为2，收敛域为(2,2.则0(3)nnnax的收敛半径为2，由23 2x 得15x，即幂级数0(3)nnnax的收敛域为(1,5(12)【答案】4【详解】加221:0(4)zxy的下侧，记与1所围空间区域为，则 2xydydzxdzdxx dxdy 1122xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 2222222441()0
11、()2xyxyydxdydzx dxdyxydxdy 第-6-页 共 6 页 -6-22300142dr dr(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA 记12(,)P，0201B，则APPB 因为12,线性无关，所以P可逆.从而1BP AP，即A与B相似.由2|(1)001EB，得0及1为B的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A的非零特征值为1.(14)【答案】12e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为1 的泊松分布，所以1DXEX，所以21 12EX ，所以 21111222P Xee！222111222(1)(1)(1)nnnnn n