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1、文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 12008 年研究生入学考试数学一试题及分析年研究生入学考试数学一试题及分析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()()20ln 2dxf xtt=+，则()fx的零点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析分析】本题考查变上限积分求导.【详解详解】令()()22 ln 20fxxx=+=，得0 x=，故选（B）.【评注评注】以下是变上限积分求导的推论：设函数()f x在,a b上连续，函数()
2、x可导，()()()dxaF xf tt=，则()()()F xfxx=.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P84【例【例 3.31】.（2）函数(),arctanxf x yy=在点()0,1处的梯度等于（A）i （B）i （C）j （D）j 【分析分析】本题考查梯度的计算.【详解详解】()()()0,10,1arctanarctangrad,xxyyf x yijxy=+()20,122111xyyijixxyy=+=+.故选（A）.【评注评注】函数(),uf x y=的梯度为graduuuijxy=+.完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复
3、习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P302【例【例 11.22】.（3）在下列微分方程中，以123ecos2sin2xyCCxCx=+（123,C C C是任意常数）为通解的是 文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 2（A）440yyyy+=（B）440yyyy+=（C）440yyyy+=（D）440yyyy+=【分析分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征值，然后从特征方程入手.【详解详解】因为123ecos2sin2xyCCxCx=+（123,C C C是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1,2i.于是特征方程为(
4、)()()1220ii+=，即32440+=.故微分方程为 440yyyy+=，故选（D）.【评注评注】本题考查微分方程解的结构.因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根.完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P144【例【例 5.17】，文登强化班讲义高等数学第】，文登强化班讲义高等数学第 7 讲【例讲【例 9】，【例】，【例 10】.（4）设函数()f x在(),+内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（A）若 nx收敛，则()nfx收敛 （B）若 nx单调，则()nfx收敛 （C）
5、若()nfx收敛，则 nx收敛 （D）若()nfx单调，则 nx收敛 【分析分析】利用单调有界数列必收敛.【详解详解】若 nx单调，而由题设可知函数()f x在(),+内单调有界，则()nfx单调有界，故收敛，故选（B）【评注评注】本题为基础题型.定理可见各教材和辅导讲义定理可见各教材和辅导讲义.（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若3AO=，则（A）EA不可逆，EA+不可逆 （B）EA不可逆，EA+可逆（C）EA可逆，EA+可逆 （D）EA可逆，EA+不可逆 【分析分析】从3AO=入手.【详解详解】()()332AOAEEAEAAEE=+=+=，所以AE+可逆，()()332AOAE
6、EEAAAEE=+=，所以EA可逆，文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 3 故选（C）.【评注评注】也可这么求解：A是幂零矩阵，只有零是其特征值，所以1不是其特征值，故EA和EA+都可逆.完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P367【例【例 2.27】，文登强化班讲义线性代数第】，文登强化班讲义线性代数第 2 讲【例讲【例 4】.（6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(),1xx y z A yz =在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析分
7、析】由图可看出此二次曲面为旋转双叶双曲面.【详解详解】旋转双叶双曲面的标准形式为2222221xyzabb=，所以A的正特征值的个数为 1，故选（B）.【评注评注】本题为一道线性代数与空间解析几何的综合题，关键要记住标准二次曲面的方程和图形.标准二次曲面的方程和图形见标准二次曲面的方程和图形见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P227.（7）随机变量,X Y独立同分布，且X的分布函数为()F x，则max,ZX Y=的分布函数为（A）()2Fz （B）()()F x F y （C）()211F x （D）()()11F xF y 【分析分析】本题考查二维随机变量函数的分布
8、，利用定义并结合,X Y独立性进行计算.【详解详解】max,P ZzPX Yz=()2,P Xz YzP Xz P YzFz=，故选（A）.文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 4【评注评注】本题为基础题型.结论见数学复习指南（理工类）结论见数学复习指南（理工类）P512 表表 7；几乎相同题目见数学复习指南（理工类）；几乎相同题目见数学复习指南（理工类）P528 第三篇第二章习题第三篇第二章习题 2（6）.（8）随机变量()0,1XN，()1,4YN，则相关系数1XY=（A）211P YX=（B）211P YX=（C）211P YX=+=（D）211P YX=+=【
9、分析分析】本题已知两个随机变量的相关系数和分布，考查两个变量的关系，应从1XY=入手.【详解详解】显然，1XYEXEYEXYDXDY=，可知,X Y正相关，排除（A）（C），将（B）（D）代入后，可知应选（D）.【评注评注】由()1,4YN 可知()10,12YN，也可推得（D）入选.类似习题见类似习题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P529 精选习题二精选习题二 2（10）.二、填空题二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（9）微分方程0 xyy+=满足条件()11y=的解y=_.【分析分析】本题为变量可分离方程.【详解详解】
10、10yxyyyx+=，两边积分得Cyx=，将()11y=代入得1C=，故1yx=.【评注评注】本题为基础题型.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P129【例【例 5.1】【例【例 5.3】，文登强化班讲义高等数学第文登强化班讲义高等数学第 7 讲【例讲【例 1】（10）曲线()()sinlnxyyxx+=在点()0,1处的切线方程是_.【分析分析】本题实质上为隐函数方程求导.【详解详解】()()sinlnxyyxx+=两边对x求导得()()1cos1yxyyxyyx+=，则()0,11y=，所以切线方程为 1yx=，即1yx=+.文登考研文登考研 高质
11、量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 5【评注评注】注意隐函数求导时记住y是x的函数.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南版数学复习指南P48（理工类）【例（理工类）【例 2.20】，精选习题二】，精选习题二 1（9）.（11）已知幂级数()02nnnax=+在0 x=处收敛，在4x=处发散，则幂级数()03nnnax=的收敛域为_.【分析分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理.由题中条件可知，该幂级数收敛区间的对称点为2x=，再结合已知条件进行推导.【详解详解】因为幂级数()02nnnax=+收敛区间的对称点为2x=，又由题设可知该级数在0 x=处收敛，在4x=处发散，即级
12、数02nnna=收敛，()02nnna=发散，从而幂级数0nnna x=的收敛域为(2,2，故幂级数()03nnnax=的收敛域为(23,23+，即(1,5.【评注评注】阿贝尔定理阿贝尔定理：设级数0nnna x=在0(0)xx=处收敛，则对于满足不等式0 xx的一切x，级数0nnna x=发散.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）精选习题七（版数学复习指南（理工类）精选习题七（7）（12）设曲面是224zxy=的上侧，则2d dd dd dxy y zx z xxx y+=【分析分析】利用高斯公式即可.【详解详解】添加曲面221:0,4zxy=+，下侧，则 2d dd dd
13、dxy y zx z xxx y+1122d dd dd dd dd dd dxy y zx z xxx yxy y zx z xxx y+=+?()112221d d dd d0d d2y x y zxx yxyx y=+=+文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 6222001dd42r rr=.【评注评注】d d d0y x y z=是因为被积函数关于y是奇函数，关于zOx面对称.完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P297【例【例 11.16】，文登强化班讲义高等数学】，文登强化班讲义高等数学12 讲【例讲【例 5
14、】（13）设A为 2 阶矩阵，12,为线性无关的 2 维列向量，12120,2AA=+，则A的非零特征值为 .【分析分析】本题考查矩阵特征值及相似矩阵的性质.【详解详解】12120,2AA=+，则()()121202,01A =.令()12,P=，所以10201P APB=，即,A B相似，有相同的特征值，易求出B的特征值为 0，1，所以A的非零特征值为 1.【评注评注】也可以这么做.显然 0 是A的特征值，对应的特征向量为1.由 12120,2AA=+可得()()211212221 2AAA+=+=+，因为12,线性无关，所以112,2+线性无关.故 1 是A的另一特征值.类似例题见类似例题
15、见 08 版数学复习指南（理工类）【例版数学复习指南（理工类）【例 5.26】，文登强化班讲义线性代数第，文登强化班讲义线性代数第 5 讲【例讲【例 15】.（14）设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则2P XEX=.【分析分析】先写出服从参数为 1 的泊松分布的概率分布，然后求解.【详解详解】服从参数为 1 的泊松分布的概率分布为：()1e!P Xii=而()221 12EXDXEX=+=+=，所以12e1222eP XEXP X=.【评注评注】本题考查泊松分布的概率分布和数字特征.请记住():()e,0,1,2,!kXPP Xkkk=?；EXDX=.文登考研文登考研 高质量高质量 高
16、水平 高信誉 高水平 高信誉 7相关结论见相关结论见 08 版数学复习指南（理工类）第三篇第二章和第三章中的知识点精讲版数学复习指南（理工类）第三篇第二章和第三章中的知识点精讲.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分 9 分)求极限()40sinsin sinsinlimxxxxx.【分析分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则即可.【详解详解】()()4300sinsin sinsinsinsin sinlimlimxxxxxxxxx=()20coscos sincoslim3xxxxx=()20cos1 cos sinl
17、im3xxxx=()222001sin1 cos sin12limlim336xxxxxx=.【评注评注】本题为基础题型.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P25【例【例 1.24】，文登强化班讲义高等数学第】，文登强化班讲义高等数学第 1 讲【例讲【例 17】.（16）(本题满分 9 分)计算曲线积分()2sin2 d21dLx xxy y+，其中L是曲线sinyx=上从点()0,0到点(),0的一段.【分析分析】本题考查曲线积分的计算.，利用将路径表达式可直接代入被积式中的特点简化运算.【详解详解】()2sin2 d21dLx xxy y+()20
18、sin2 d21 sincos dx xxxx x=+2000sin2 dsin2 dsin2 dx xxx xx x=+20sin2 dxx x=201dcos22xx=220011cos22 cos2 d222xxxx x=+=.【评注评注】本题为基础题型.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P288【例【例 11.3】，文登强化班讲义高等数学第，文登强化班讲义高等数学第 12 讲【例讲【例 5】，【例】，【例 6】.文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 8（17）(本题满分 11 分)已知曲线22220:35xyzCxyz
19、+=+=，求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点.【分析分析】设(),x y z为曲线C上的任意一点，则(),x y z到xOy面的距离为z.【详解详解】设曲线22220:35xyzCxyz+=+=上的任意一点为(),x y z，则(),x y z到xOy面的距离为z，等价于求函数2Hz=在条件22220 xyz+=与35xyz+=下的最大值点和最小值点.设()()()2222,235F x y zzxyzxyz=+.由 222202024302035xyzFxFyFzzxyzxyz=+=+=+=+=+=解之得111xyz=，555xyz=.根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近
20、的点，故所求点依次为()5,5,5和()1,1,1.【评注评注】本题实质为求多元函数的最值.因为(),x y z满足22220:35xyzCxyz+=+=，所以2222xyz+=，并可由2222035xyzxyz+=+=消去z得 2225203xyxy+=.令()()222225,23xyL x yxyxy=+，也可求得最值.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P256【例【例 9.40】，精选习题九】，精选习题九 12 题，完全类似例题见文登强化班讲义高等数学第题，完全类似例题见文登强化班讲义高等数学第 9 讲【例讲【例 17】.文登考研文登考研 高质
21、量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 9（18）（本题满分 10 分）设()f x是连续函数，（）利用定义证明函数()()0dxF xf tt=可导，且()()Fxf x=；（）当()f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数()()()2002ddxG xf ttxf tt=也是以 2 为周期的周期函数.【分析分析】（）利用积分中值定理可证；（）利用（）的结论.【详解详解】（）若()0,x+，设x获得增量x，使得(0,)xx+，则()F x在xx+出的函数值为()()0dxxF xxf tt+=，由此得函数的增量()()FF xxF x=+()()()00dddxxxxxxf ttf
22、ttf tt+=.应用积分中值定理，有等式()Ffx=，在x与xx+之间.在上式两端各除以x，得 ()Ffx=.由于假设函数()f x连续，而0 x 时，x，因此()()()00limlimxxFFxff xx =.所以函数()F x可导，且()()Fxf x=.（）证法证法 1 要证明()G x以 2 为周期，即要证明对任意的x，都有()()2G xG x+=，记()()()2H xG xG x=+，则()()()()()()()()22200002d2d2ddxxHxf ttxf ttf ttxf tt+=+()()()()220022d2d0f xf ttf xf tt=+=，又因为()
23、()()()()()22000202d2d00HGGf ttf tt=，所以()0H x=，即()()2G xG x+=.证法证法 2 由于()f x是以 2 为周期的周期函数，所以对任意的x，都有()()2f xf x+=，于是 文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 10()()()()()()()()()222000022d2d2ddxxG xG xf ttxf ttf ttxf tt+=+()()()()22202002ddddxxf ttf ttf ttf tt+=+()()0022 ddxxf uuf tt=+()()022d0 xf tf tt=+=.即(
24、)G x也是以 2 为周期的周期函数.【评注评注】本题（）为教材中一定理，具体证明可见教材.记住以下结论：设()f x是周期为T的连续函数，则对任意的实数t都有()()0ddt TTtf xxf xx+=.相关结论见相关结论见 08 版数学复习指南（理工类）第一篇第三章版数学复习指南（理工类）第一篇第三章.（19）(本题满分 11 分)()()210f xxx=，展开成余弦级数，并求级数()1211nnn=的和.【分析分析】本题考查傅立叶级数的展开，直接利用公式.【详解详解】因为()21f xx=是偶函数，所以0nb=.()220021d2 13axx=，()122024(1)1cosd,1,
25、2,nnaxnx xnn+=?，所以()21202114(1)1cos1cos23nnnnaf xxanxnxn+=+=+.令0 x=，代入上式，可求得()1221112nnn=.【评注评注】需记住傅立叶级数的展开公式 完全类似例题见完全类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P209【例【例 7.30】【例【例 7.31】.（20）(本题满分 10 分)设,是 3 维列向量，矩阵TTA=+，其中T，T分别为，的转置.证明：（）秩()2r A；（）若,线性相关，则秩()2r A.【分析分析】本题考查矩阵的秩，可利用矩阵秩的相关推论.文登考研文登考研 高质量高质量 高水
26、平 高信誉 高水平 高信誉 11【详解详解】（）()()()()()()TTTT2r Arrrrr=+.（）若,线性相关，不妨设k=，于是 ()TT2T1Ak=+=+，所以()()()()()2TTT112r Arkrr=+=.【评注评注】()()()r ABr Ar B+，()min(),()r ABr A r B.相关结论见相关结论见 08 版数学复习指南（理工类）第二篇第二章版数学复习指南（理工类）第二篇第二章.（21）(本题满分 12 分)设n元线性方程组Axb=，其中 矩阵2221002000021002n naaaAaaa=?，()T12,nxx xx=?，()1,0,0b=?，（
27、）证明行列式()1nAna=+；（）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求1x；（）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.【分析分析】（）为 n 阶行列式的求解，可利用递推法；（）（）利用通常的方法.【详解详解】（）22122210020020021002nnnaaaDAaDa Daaa=?.现用数学归纳法证明.2n=时，()22222132 12aDaaaa=+.假设nk时，()1kkDka=+，则1nk=+时，有.2112kkkDaDa D+=()()211212kkka kaa kaka+=+=+，综上可得，()1nAna=+.文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平
28、高信誉 12（）()10nAna=+，即0a 时，方程组有惟一解，设将A的第一列用b替换后所得矩阵为1A，根据克莱姆法则可得 ()1111(1)(1)1nnnnADnanxAnanana=+.（）当0a=时，方程组有无穷多解.此时 0100000000010000n nA=?，则0Ax=的同解方程组为23000nxxx=?.易求得0Ax=的基础解系为()T1,0,0?.因为0100001000011000010000000n nA =?，所以010?是Axb=的特解，从而Axb=的通解为 ()()TT1,0,00,1,0 xk=+?，其中k为任意常数.【评注评注】n 阶方阵的求解见阶方阵的求解
29、见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P346【例【例 1.18】，方程组求解类似例题见数学复习指南（理工类）】，方程组求解类似例题见数学复习指南（理工类）P411【例【例 4.9】，文登强化班讲义线性代数第】，文登强化班讲义线性代数第 4讲【例讲【例 4】.（22）(本题满分 11 分)设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为()11,0,13P Xii=，Y的概率密度为()1,010,Yyfy=其他，记ZXY=+，（）求1|02P ZX=.（）求Z的概率密度.【分析分析】（）求条件概率，可直接利用公式求解；（）可先求出分布函数，然后求导即为所求密度函数.【详解详解】（）
30、1,012|020P ZXP ZXP X=文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 131201012d02P YP XyP X=.（）设Z的分布函数为()F z，则其值域非零时z的区间为1,2.当1z 时，()1F z=；当12z 时，()F zP ZzP XYz=+|11|00P XYz XP XP XYz XP X=+=+=|11P XYz XP X+=；1113P YzP YzP Yz=+()()()1113YYYFzFzFz=+.所以Z的分布密度函数为()()()()()1,12111330,YYYzf zFzfzfzfz=+=其他.【评注评注】本题为基础题型.
31、类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P518【例【例 2.38】【例【例 2.39】，文登强化班讲义概率统计第文登强化班讲义概率统计第 3 讲【例讲【例 4】（23）(本题满分 11 分)设12,nXXX?是总体()2,N 的简单随机样本，记 11niiXXn=，()22111niiSXXn=，221TXSn=.（1）证T是2的无偏估计量.（2）当0,1=时，求DT.【分析分析】（1）要证2ET=；（2）求DT时，利用2X与2S独立性.文登考研文登考研 高质量高质量 高水平 高信誉 高水平 高信誉 14【详解详解】（1）()()222211ETE XSE
32、 XE Snn=()()()222222111D XE XE Snnn=+=+=.所以T是2的无偏估计量.（2）当0,1=时，()0,1XN，10,XNn，0ET=.221DTD XSn=（注意2X与2S独立）()()2221D XD Sn=+()()()2222211111DnXDnSnnn=+()()222211221(1)1nnnn nn=+=.【评注评注】若()2,XN，则()()22222222111,211nnEXDXESDSnSnn=.类似例题见类似例题见 08 版数学复习指南（理工类）版数学复习指南（理工类）P571【例【例 5.1】【例【例 5.2】，文登强化班讲义概率统计第】，文登强化班讲义概率统计第 6 讲【例讲【例 1】【例【例 2】.