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1、第五章 试验设计 一、试验设计及其应用范围 二、方差分析三、正交设计 一、试验设计及其应用范围 试试验验设设计计发发源源于于英英国国，最最早早应应用用于于农农业业生生产产，在在考考察察各各种种肥肥料料及及施施肥肥量量对对农农作作物物产产量量的的影影响响时时，建建立立了了试试验验设设计计的的最最初初的的数数学学模模型型。随随着着生生产产的的发发展展，试试验验设设计计的的理理论论和和方方法法也也就就随随之之不不断断发发展展，各各种种有有效效的的试试验验方方法法越越来来越越广广泛泛地地被被各各个个部部门门所所接接受受。在在质质量量管管理理中中运运用用试试验验设设计计主主要要有有下下面面二二个目的：个
2、目的：1、通通过过试试验验，确确定定影影响响质质量量或或生生产产过过程程的的主主要缘由；要缘由；2、选择满足设计质量或产品质量的操作条件。、选择满足设计质量或产品质量的操作条件。2试验设计的有关概念n1、指指标标。用用以以衡衡量量试试验验效效果果的的特特性性值值被被称称为为试试验验指指标标。试试验验指指标标通通常常分分为为两两大大类类型型：一一类类是是定定量量指指标标，干干脆脆用用数数量量来来表表示示的的指指标标，如如收收率率、产产量量、硬硬度度等等；另另一一类类是是定定性性指指标标，不不能能干干脆脆用用数数量量来来表表示示，只只能能凭凭感感觉觉或或感感官官(触触、观观、尝尝、嗅嗅等等)来来评
3、评定定的的指指标标，如如棉棉花花的的手手感感与与 颜颜 色色、食食 品品 的的 酥酥、脆脆、香香 等等。3n2、因因素素。影影响响试试验验指指标标（结结果果）的的缘缘由由称称为为因因素素，如如反反应应温温度度、时时间间、催催化化剂剂种种类类等等。有有些些因因素素可可以以在在试试验验的的过过程程中中人人为为的的加加以以调调整整与与限限制制，称称之之为为可可控控因因素素。如如反反应应温温度度、反反应应时时间间、催催化化剂剂的的种种类类等等。另另一一类类因因素素是是由由于于自自然然、技技术术与与设设备备等等条条件件的的限限制制，短短暂暂还还不不能能人人为为调调控控，这这类类因因素素被被称称为为不不行
4、行控控因因素素(随随 机机 因因 素素)，例例如如地地面面的的略略微微振振动动等等。下下面面我我们们主主要要探探讨讨可可控控因因素素。4n3、水水平平因因素素在在试试验验中中所所处处的的各各种种状状态态称称为为因因素素的的水水平平，如如不不同同的的试试验验温温度度550C、600C、800C等等。依依据据试试验验的的须须要要，因因素素的的水水 平平 可可 以以 设设 为为 二二 水水 平平、三三 水水 同同 等等 等等。5 二、方差分析 n1 1、单因素试验、单因素试验 n2 2、双因素试验、双因素试验 61、单因素试验（1）单因素试验数据表7表中各符号定义如下：8(2)总变差STn我们定义我
5、们定义N=mn个数据个数据xij的的总变差总变差ST为：为：总变差总变差ST反应了试验数据相对于数据均值离散反应了试验数据相对于数据均值离散程度（即波动）的大小。程度（即波动）的大小。9(3)因素A引起的条件变差SAn在在因因素素A的的各各水水平平下下，数数据据均均值值 互互不不相相同同，它它们们之之间间的的差差异异主主要要是是由由于于因因素素A的的水水平平变变更更所所致致。这这些些均均值值之之间间的的离离差差平平方方和和 称称 之之 为为 条条 件件 变变 差差，记记 为为S A，计计 算算 公公 式式 如如 下下：10（4）试验误差Sev考察因素考察因素A的第的第i水平下的水平下的n个数据
6、：个数据：xi1,xi2,xin它们也互不相同，这些它们也互不相同，这些差异是由于除了因素差异是由于除了因素A以外的其它试验误差所引起的。我们称因素以外的其它试验误差所引起的。我们称因素A在同在同一水平下，一水平下，n个数据之间的个数据之间的离差平方和离差平方和为为试验误差试验误差，记为，记为Se，其计，其计算公式如下：算公式如下：11(5)分解公式n前前面面已已经经介介绍绍了了数数据据的的总总变变差差ST，因因素素A引引起起的的条条件件变变差差SA，以以及及试试验验误误差差Se。从从直直观观上上看看,引引起起数数据据总总变变差差ST的的缘缘由由，不不外外乎乎因因素素A及及除除因因素素A以以外
7、外的的 其其 它它 试试 验验 误误 差差。所所 以以 应应 当当 有有：nSTSASe。n事事实实上上，下下面面的的推推导导验验证证了了这这种种想想法法是是正正确确的的。12称之为波动平方和分解公式称之为波动平方和分解公式13（6）小结n1）试试验验误误差差：Se由由于于试试验验过过程程中中各各种种偶偶然然因因素素及及测测量量误误差差引引起起在在同同一一试试验验温温度度下试验结果有差异。下试验结果有差异。n2）条条件件变变差差：SA由由试试验验条条件件不不同同导导致致试试验验结结果果不不同同，在在本本例例中中各各种种温温度度下下的的试试验结果的差异即属这类变量。验结果的差异即属这类变量。n3
8、）总总变变差差：ST试试验验误误差差和和条条件件变变差差之之和和称为总变差，且：称为总变差，且：ST=Se+SA14n（7）用方差分析解决这类问题的思路是：）用方差分析解决这类问题的思路是：a、利利用用试试验验数数据据的的总总变变差差分分解解出出条条件件变变差和试验误差；差和试验误差；b、将将条条件件变变差差与与试试验验误误差差在在确确定定意意义义下下进进行行比比较较,如如两两者者之之比比值值不不显显著著,则则说说明明条条件件对对试试验验结结果果影影响响不不大大,反反之之,则则说说明明条件对试验结果有影响；条件对试验结果有影响；c、若若条条件件的的影影响响是是显显著著的的，可可据据此此选选择择
9、好的工艺条件或确定进一步试验的方向。好的工艺条件或确定进一步试验的方向。15（8 8）变差的数量表示）变差的数量表示设设有有数数据据：x1,x2,xn，它它们们的的变变差差平平方和以下式表示。方和以下式表示。其中其中:16（9 9）自由度的一般定义）自由度的一般定义 设有设有:x1,x2,x,xn n的自由度取决于的自由度取决于 x xi i之间的之间的m m个线性约束关系个线性约束关系。如如果果有有m个个(0mn)线线性性约约束束方方程程,即即:17n并且这并且这m个方程是相互独立的，则：个方程是相互独立的，则：的的自自由由度度f=n-m。求求自自由由度度的的目目的的主主要要是是为为了了消消
10、退退数数据据量量的的差差异异对对变变差差平平方方和和的影响。定义下式为均方：的影响。定义下式为均方：18单因素试验的方差分析计算表 1920引入下列记号21n为了利用上表进行各项平方和的计算，为了利用上表进行各项平方和的计算，下面对表达式作些演化。下面对表达式作些演化。222324单因素试验方差分析表125单因素试验的方差分析n例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。将该表数据适当线性处理将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：得下表：利用方差分析表来计算下面的例子：利用方差分析表来计算下面的例子：见下表见下表26对下表用方差分析表求解2728由数理统
11、计学问得知：由数理统计学问得知：29均方：均方：30n方差分析表方差分析表 31a、F0.01F，因素的影响特殊显著因素的影响特殊显著,记为记为“*”；b、F0.05FF0.01，因素的影响显著，因素的影响显著,记为记为“*”；c、F0.10FF0.05，因素有影响记为，因素有影响记为“(*)”；d、F0.25FF0.10，因素有确定影响记为，因素有确定影响记为“*”；e、FF0.25，因素无明显影响，因素无明显影响 不作记号。不作记号。相应相应F临界值比较，常用的判断标准如下；临界值比较，常用的判断标准如下；影响的显著性，即将影响的显著性，即将 与一定显著性水平与一定显著性水平的的由统计学知
12、由统计学知F分布，分布，判断条件对试验结果判断条件对试验结果32注：na a、如自由度、如自由度fefe太小会降低太小会降低F F检验的灵敏检验的灵敏度，如某因素原来有显著影响，但度，如某因素原来有显著影响，但F F检验检验却检验不出来。却检验不出来。fefe越大，则越大，则F F检验灵敏度检验灵敏度越高，但越高，但fefe大也意味着试验次数增加，费大也意味着试验次数增加，费用增加。一般状况希望保证用增加。一般状况希望保证fefe在在510510。33nb、F值值特特殊殊小小，例例如如大大大大小小于于1，这这种种状状况况一一般般不不应应发发生生，其其缘缘由由可可能能是是取取样样或或测测量量中中
13、有有系系统统误误差差或或是是试试验验结结果果的的有有效效位位数数取取得得太小等缘由。太小等缘由。nc、试试验验的的随随机机化化，例例如如将将例例中中的的15个个试试验验按按温温度度条条件件分分三三批批，每每批批5个个试试验验不不是是按按依依次次，而而是是先先将将它它们们编编号号，然然后后用用随随机机数数表表等等方方式式确确定定它它们们的的试试验验次次序序。这这样样的的目目的的是是为为了尽量削减人为因素等的影响。了尽量削减人为因素等的影响。34n不等重复数的单因素试验不等重复数的单因素试验 n在前面探讨的例子中，不同试验条件下的在前面探讨的例子中，不同试验条件下的试验重复数是相同的，在实践中，并
14、不总是试验重复数是相同的，在实践中，并不总是能满足这种状况，有时试验条件不允许，或能满足这种状况，有时试验条件不允许，或试验数据失落不全等会造成各试验条件下的试验数据失落不全等会造成各试验条件下的试验数据量不等，即试验重复数不等。试验数据量不等，即试验重复数不等。n对重复数不等的单因素试验的方差分析与对重复数不等的单因素试验的方差分析与重复数相等时很相像，在计算时只需对重复数相等时很相像，在计算时只需对P P、Q Q、R R稍作修改。稍作修改。n设因素设因素A A有有m m个试验条件，各个试验条件相个试验条件，各个试验条件相应的试验重复数是应的试验重复数是r1,r2,rmr1,r2,rm，共，
15、共N N个数个数据，令：据，令：3536各平方和的计算公式为各平方和的计算公式为:ST=R-P,SA=Q-P,Se=R-Q37单因素试验方差分析表238n例：例：六种不同的农药，分析它们在杀虫六种不同的农药，分析它们在杀虫率方面有无明显的差异，试验结果如下率方面有无明显的差异，试验结果如下:解：设解：设xij=xij-80，简化后的数据，及，简化后的数据，及其计算表如下其计算表如下:39404142n方差分析表方差分析表 注注：当当试试验验总总次次数数相相等等时时，等等重重复复数数试试验验的的精精度度比比不不等等重重复复数数试试验验要要高高，因因此此，应应尽尽量量避开不等重复数试验。避开不等重
16、复数试验。432、双因素试验 n(1)(1)交叉分组的双因素试验交叉分组的双因素试验 交叉分组交叉分组系统分组系统分组混合分组混合分组多因素试验的分组法多因素试验的分组法交交叉叉分分组组时时，各各因因素素处处于于同同等等地地位位，因因素的各个水平之间都要相遇。素的各个水平之间都要相遇。44例 n为为了了考考察察蒸蒸馏馏水水的的PH值值和和硫硫酸酸铜铜溶溶液液浓浓度度对对化化验验血血清清中中白白蛋蛋白白与与球球蛋蛋白白的的影影响响，将将蒸蒸馏馏水水的的PH值值和和硫硫酸酸铜铜溶溶液液浓浓度度分分成成如如下几种状况进行试验。下几种状况进行试验。45n接受交叉分组方法进行试验接受交叉分组方法进行试验
17、,试验结果试验结果(白白蛋白与球蛋白之比蛋白与球蛋白之比)如下：如下：46n试验结果的方差分析试验结果的方差分析 设因素设因素A有有p 个水平，因素个水平，因素B有有q个水平，个水平，在在AiBj条件下的试验数据是条件下的试验数据是xij,令：令：47总平方和总平方和:因素因素A的平方和的平方和:因素因素B的平方和的平方和：48n试验误差试验误差:（可以证明：可以证明：）49n为为了了便便于于计计算算，类类似似于于单单因因素素试试验验，将将各平方和公式化简，并接受下列表达式：各平方和公式化简，并接受下列表达式：50n从而，从而，由例中的试验结果来计算各项值由例中的试验结果来计算各项值:5152
18、n各项平方和为各项平方和为:53方差分析表方差分析表 54（2 2）有交互作用的双因素试验）有交互作用的双因素试验 在在一一些些试试验验中中,不不仅仅因因素素对对试试验验结结果果有有影影响响，而而且且因因素素之之间间还还联联合合起起来来对对指指标标产产生生作作用用，这个作用就叫交互作用。这个作用就叫交互作用。下下面面用用两两个个试试验验分分别别对对无无交交互互作作用用和和有有交交互作用的状况作比较。互作用的状况作比较。55n试试 验验(a)中中,从从A1A2或或从从B1B2试试验验结结果果的的变变更更与与另另外外一一个个因因素素取取何何种种水水平平无无关关，这这说说明明因因素素A与与因因素素B
19、之之间间不不存存在在交交互互作作用用(均增加均增加3个单位个单位)。(a)56n试试验验(b)中中,则则有有所所不不同同,从从A1A2,试试验验结结果果与与因因素素B取取何何种种水水平平有有关关。当当取取B1时时试试验验结结果果增增加加3，当当取取B2时时试试验验结结果果下下降降4,这这说说明明A与与B之之间间有有交交互互作作用用。(b)57n还可用下面的方法推断因素之间有无交互还可用下面的方法推断因素之间有无交互作用。作用。实验结果实验结果1050 A1 A2因素因素水平水平从图上可看出，因从图上可看出，因素之间无交互作用素之间无交互作用时，两线平行。时，两线平行。58n有交互作用时两线有交
20、互作用时两线交叉。在实践中由于交叉。在实践中由于试验误差的关系，即试验误差的关系，即使因素间无交互作用，使因素间无交互作用，作用线也可能不完全作用线也可能不完全平行，只要大体趋向平行，只要大体趋向平行就可推断因素间平行就可推断因素间不存在交互作用不存在交互作用.1050 A1 A2因素因素水平水平实验结果实验结果59n假如从图上难以推断时，可用方差分析，假如从图上难以推断时，可用方差分析，但此时要求将试验重复一次以上，否则就但此时要求将试验重复一次以上，否则就无法进行无法进行F F检验。检验。（如试验不重复，（如试验不重复，检验将无法进行）检验将无法进行）60例：n考考察察合合成成纤纤维维中中
21、对对纤纤维维弹弹性性有有影影响响的的两两个个因因素素，收收缩缩率率A和和总总拉拉伸伸倍倍数数B。两两因因素素各各取取四四个个水水平平，整整个个试试验验重重复复一一次次，试试验验结结果如下：果如下：6162n、直观分析、直观分析 对对B的的每每个个水水平平作作出出它它们们的的作作用用线线，来来考察因素考察因素A与与B之间是否存在交互作用。之间是否存在交互作用。63从从上上图图可可以以看看出出，当当因因素素A变变动动时时试试验验结结果果起起伏伏较较大大,而而当当因因素素B变变更更时时,则则试试验验结结果果变变更更较较平平稳稳，这这种种现现象象说说明明A因素对纤维的弹性的影响比因素对纤维的弹性的影响
22、比B因素要大。因素要大。初初次次试试验验时时，最最好好多多取取几几个个水水平平，否否则则将将会会误误认认为为因因素素之之间间不不存存在在交交互互作作用用见下图。见下图。6465v从从图图上上看看到到，因因素素B的的四四条条作作用用线线相相交交叉叉，说明因素说明因素A与与B之间存在交互作用。之间存在交互作用。v假假如如试试验验的的目目的的主主要要是是为为了了选选择择较较好好的的工工艺艺条条件件，则则可可不不必必对对试试验验结结果果进进行行方方差差分分析析，干干 脆脆 从从 试试 验验 结结 果果 中中 选选 择择 好好 的的，例例 如如156（A3B2）、）、155（A2B3）效果最好。）效果最
23、好。66n、方差分析方差分析 假如要深化探讨因素及它们的交互作用对试假如要深化探讨因素及它们的交互作用对试验结果的影响程度，可运用方差分析。设因验结果的影响程度，可运用方差分析。设因素素A A有有p p个水平，个水平，B B有有q q个水平，整个试验重复个水平，整个试验重复r r次次,在在AiBjAiBj条件下的第条件下的第k k次试验结果记作次试验结果记作XijkXijk，在，在AiBjAiBj条件下作的全部试验结果之和为条件下作的全部试验结果之和为 ：XijXij即即67n另设：另设：可以证明各平方和之间有关系式可以证明各平方和之间有关系式:68相应地相应地,总平方和为总平方和为:69n误
24、差平方和误差平方和:其中其中:70n交互作用的平方交互作用的平方自由度自由度:71n为为了了便便于于计计算算，可可将将各各平平方方和和公公式式化化简简，设设定定易易于于运运用用表表格格中中各各项项数数据据进进行行计计算算的的表表达式：达式：72设设:各项平方和的表达式改为：各项平方和的表达式改为：S ST T=W-P,S=W-P,SA A=Q=QA A-P,S-P,SB B=Q=QB B-P-PS SABAB=R-Q=R-QA A-Q-QB B+P,S+P,Se e=W-R=W-R 73n原数据表成为：原数据表成为：74K=123,757677n方差分析表方差分析表 78 三、正交设计 n正交
25、设计是一种支配多因素试验的方法正交设计是一种支配多因素试验的方法,这这种方法简洁、易于应用、省时、经济效果良种方法简洁、易于应用、省时、经济效果良好。它适用于制定新工艺或改良老工艺等须好。它适用于制定新工艺或改良老工艺等须要大量试验的状况。要大量试验的状况。791、基本概念 n（1 1）几个术语）几个术语 na a、指标：依据试验目的选定的用来衡量试、指标：依据试验目的选定的用来衡量试验效果的特性值。验效果的特性值。nb b、因素：对试验指标可能有影响的缘由。、因素：对试验指标可能有影响的缘由。亦称因子，通常以亦称因子，通常以A A，B B，C C表示。表示。nc c、因素水平：因素变更的各种
26、状态。亦称、因素水平：因素变更的各种状态。亦称位级位级,通常以通常以A1A1，A2A2；B1B1，B2B2等表示。等表示。80n（2 2）正交表）正交表 列数列数(可安排的因素数量可安排的因素数量)字码数字码数(可安排的因素水平数可安排的因素水平数)行数（实验次数）行数（实验次数）正交表代号正交表代号a、正交表的组成与表示法、正交表的组成与表示法 81n正交表的性质正交表的性质：（a）每列中各个字码出现的次数相同）每列中各个字码出现的次数相同;（b）随意两列中每个字码对出现的次数相等）随意两列中每个字码对出现的次数相等.使正交表具有搭配匀整的属性即正交性。使正交表具有搭配匀整的属性即正交性。8
27、2n还有一类正交表还有一类正交表,表的各列中出现的字码不表的各列中出现的字码不相同相同,这种正交表称为这种正交表称为“混合型正交表混合型正交表”,”,如：如：列数列数因素水平因素水平试验次数试验次数正交表代号正交表代号83842、正交表设计的步骤 例：例：轴承圈热处理退火试验轴承圈热处理退火试验(1)试试验验目目的的：轴轴承承圈圈退退火火的的旧旧工工艺艺因因退退火火后后产产品品硬硬度度偏偏高高，每每炉炉要要有有15%左左右右回回炉炉，希希望望通通过过试试验验，找找到到较较好好的的工工艺艺条条件，降低硬度。件，降低硬度。(2)确确定定试试验验因因素素和和水水平平：通通过过分分析析确确定定有有三三
28、个个因因素素：上上升升温温度度(A),),保保温温时时间间(B)，出炉温度，出炉温度(C)，因素水平如下：，因素水平如下：85n(3)(3)选择正交表与表头设计选择正交表与表头设计:由选定的因素由选定的因素及相应的水平来选择正交表，这时，往往及相应的水平来选择正交表，这时，往往同时有几种正交表可被利用，在起先做试同时有几种正交表可被利用，在起先做试验时一般可选试验次数较少的正交表，取验时一般可选试验次数较少的正交表，取得因素的初步资料后，再确定进一步试验得因素的初步资料后，再确定进一步试验的方向。本例选：的方向。本例选：L4(23)L4(23)86n表表头头设设计计：即即将将各各因因素素支支配
29、配到到各各 列列 位位 置置 上上。n表表头头设设计计的的原原则则是是可可自自由由选选择择各各个个因因素素的的位位置置(因因素素之之间间存存在在交交互互作作用用时时除除外外)87n(4)(4)确定试验方案：将设计好的表头及确定试验方案：将设计好的表头及各因素的水平填写到正交表中去。各因素的水平填写到正交表中去。88n（5 5）试验的随机化）试验的随机化 q其中其中1号试验条件为：号试验条件为：上上升升温温度度为为8000C，保保温温时时间间为为6小小时时，出炉温度为出炉温度为4000Cv为为了了消消退退某某些些可可能能的的系系统统缘缘由由的的影影响响，一一般般不不按按试试验验依依次次做做，而而
30、是是用用随随机机化化方方法来确定试验的次序。法来确定试验的次序。893、单指标正交试验结果的计算和分析 对试验结果的分析方法通常有两种：对试验结果的分析方法通常有两种：、极差分析、极差分析简洁直观简洁直观、方差分析、方差分析计算较困难，但精确度高计算较困难，但精确度高n（1）极差分析法）极差分析法 n例：某五金厂在弹簧生产中发觉产品因弹例：某五金厂在弹簧生产中发觉产品因弹性差而断裂，为提高产品的弹性指标，要做性差而断裂，为提高产品的弹性指标，要做回火工艺试验。回火工艺试验。90a、试验目的：通过回火试验寻求新的工 艺 参 数 以 提 高 弹 簧 的 弹 性 指 标。b、制定因素水平表：经分析，
31、认为对弹性指标可能有影响的因素有三个：回火温度A，保温时间B，工件重量C，各取 三 个 水 平，具 体 如 下 表：91c c、确定试验方案：依据因素及其水平，、确定试验方案：依据因素及其水平，可选用可选用L9(34)L9(34)表头设计表头设计：v接接着着将将各各因因素素的的各各水水平平按按所所设设计计的的表表头头填填入入选选定定的的正正交交表表中中，试试验验时时，应应严严格依据设计好的方案进行。格依据设计好的方案进行。92d d、试验结果分析试验结果分析 9394v从从已已做做的的9次次试试验验中中看看，其其次次号号试试验验结结果果最最好好，此此时时的的试试验验条条件件为为A1B2C2，但
32、但这这是是否否是是33=27次次试试验验中中最最好好的的一一次次呢呢？现现在在还还不不能能下下结结论论，还还需需通通过过进进一一步步的的计计算算分分析析来来确确定定。表表的的下下半半部部分分是是试试验验结结果果的的计计算算，其其中中：K1，K2，K3为为每每个个因因素素的的三个水平各自的三次试验结果之和。三个水平各自的三次试验结果之和。例：例：95例：例：是是对对应应于于每每个个K1，K2，K3的平均值。的平均值。R为极差为极差，是每一个因素三种水平下试，是每一个因素三种水平下试验结果验结果平均值平均值中最大值与最小值之差。中最大值与最小值之差。96（a）因素因素指标关系图指标关系图(趋势图趋
33、势图)画出画出因素因素指标指标趋势图，可看出各因素对指标趋势图，可看出各因素对指标的影响趋势，从而确定进一步试验的方向。的影响趋势，从而确定进一步试验的方向。280280300300320320340340360360380380400400A A1 1A A2 2A A3 3B B1 1B B2 2B B3 3C C1 1C C2 2C C3 397n（b b）因素对试验的影响分析）因素对试验的影响分析 n表中的极差表中的极差R R反映了试验结果的差异，反映了试验结果的差异，R R越大说明该因素取不同水平常对试验结越大说明该因素取不同水平常对试验结果的影响就越大，反之，就对试验结果果的影响就
34、越大，反之，就对试验结果的影响越小。因此，可依据的影响越小。因此，可依据R R的大小来确的大小来确定各因素对试验结果影响的主次依次。定各因素对试验结果影响的主次依次。n主主次：次：A C BA C B98n（c c）选择最佳工艺条件）选择最佳工艺条件 n选择最佳工艺条件的原则是优先考虑主要选择最佳工艺条件的原则是优先考虑主要因素。本例中因素。本例中A A为主要因素，依据对试验指为主要因素，依据对试验指标的要求，可选标的要求，可选A1A1，其次可选，其次可选C2C2及及B1B1。可能。可能的最佳工艺条件是的最佳工艺条件是A1B1C2A1B1C2，为什么说这是，为什么说这是“可能的可能的”最佳工艺
35、条件呢？因为考虑到试验最佳工艺条件呢？因为考虑到试验误差等的影响，还需对这些条件作试验验证。误差等的影响，还需对这些条件作试验验证。99n（d d）对）对“最佳工艺条件最佳工艺条件”进行预估的阅进行预估的阅历公式历公式 在在对对可可能能的的最最佳佳工工艺艺条条件件作作试试验验验验证证前前，可可先先用用阅阅历历公公式式对对试试验验结结果果做做预预估估。阅阅历公式为：历公式为：某某条条件件下下的的指指标标估估计计值值=该该条条件件下下各各因因素素所所选选水水平平对对应应的的指指标标平平均均值值之之和和(因因素数素数1)总平均总平均 100A1B1C2下的指标预估值下的指标预估值=(377+351+
36、353)-(3-1)3076/9=3973076/9=397 101n(2)(2)方差分析法方差分析法仍沿用上面的例子仍沿用上面的例子：令令 表示每次表示每次试验结试验结果，果，设设:各因素的偏差平方和为各因素的偏差平方和为:102其中：其中：r rA A A A因素每个水平的试验重复数；因素每个水平的试验重复数；p为为A因素的水平数。因素的水平数。其中：其中：rBB因素每个水平的试验重复数，因素每个水平的试验重复数，q为为B因素的水平数因素的水平数103其中其中:r:rc cCC因素每个水平的试验重复数因素每个水平的试验重复数;m m为为C C因素的水平数因素的水平数 总平方和为总平方和为:
37、可以证明：可以证明：所以所以:104n为了计算便利，可将上述平方和简化，设为了计算便利，可将上述平方和简化，设定有关的表达式定有关的表达式:105106n对上例进行计算得：对上例进行计算得：107108109110q一般状况下，可干脆在表上计算，而不一般状况下，可干脆在表上计算，而不必另列算式。必另列算式。111112113n从上表可总结两点：从上表可总结两点：na a、总平方和等于各列平方和。在正交表、总平方和等于各列平方和。在正交表的第的第4 4列没有支配因素列没有支配因素,如仿照各因素计算如仿照各因素计算平方和的方法，可发觉平方和的方法，可发觉S4=SeS4=Se，fe=f4fe=f4，
38、这，这不算是太特殊的状况。可以证明：一般状不算是太特殊的状况。可以证明：一般状况下，未支配因素的空列的平方和恰好等况下，未支配因素的空列的平方和恰好等于误差平方和于误差平方和(有交互作用与试验有重复时有交互作用与试验有重复时除外除外)。114nb、对试验结果作方差分析的目的主要是要、对试验结果作方差分析的目的主要是要深化了解各因素对试验指标的影响程度。至深化了解各因素对试验指标的影响程度。至于因素影响指标的主次依次，可通过平方和于因素影响指标的主次依次，可通过平方和的大小来判别（混合型正交表与拟水平法除的大小来判别（混合型正交表与拟水平法除外），平方和大的因素，说明其对指标影响外），平方和大的
39、因素，说明其对指标影响大，反之，则小。大，反之，则小。115在本例中在本例中因因素素的的主主次次依依次次为为：ACB，它它与与直直观观分分析析的的结结果果是是一一样样的的。至至于于最最佳佳工工艺艺条条件件的的选选择择，其其标标准准与与直直观观分分析析相相同同，先先选选主主要要因因素素，后后选选较较次次要要的的因因素素，本本例例中中为为A1C2B1，与与直直观观分分析析也也一一样样。所所以以，假假如如只只是是想想通通过过试试验验在在现现有有因因素素中中获获得得最最佳佳工工艺艺条条件件，就就不不必必作作方方差差分分析析。这这样样可可省省去较多的计算工作量。去较多的计算工作量。116方差分析表方差分
40、析表 117（3）正交试验的几何说明 v前前面面介介绍绍了了正正交交表表的的正正交交性性匀匀整整搭搭配配性性，正正是是由由于于正正交交表表的的这这个个特特点点，使使得得正正交交试试验验能能省省去去大大量量不不必必要要的的试试验验，快快速速找找到到最最好好的的(或或最最接接近近最最好好的的)试试验验条条件件。为为了了能能更更清清晰晰、直直观观地地了了解解正正交交表表的的这这一一特特点点，下下面面我我们们用用几何方法来说明。以刚才的试验为例。几何方法来说明。以刚才的试验为例。v在在立立方方体体上上有有27个个交交点点，代代表表了了一一个个三三因因素三水平的素三水平的27次试验（次试验（33=27）
41、。）。v下下面面我我们们分分析析一一下下正正交交表表上上所所列列9次次试试验验的的分布特点。分布特点。118的的几几何何含含义义B3A1A2A3B2B1C1C2C3119na、6个平面上都有三个试验点。个平面上都有三个试验点。nb、每每个个平平面面上上的的每每行行每每列列都都有有一一个个试试验验点点，亦亦即即每每个个因因素素的的每每个个水水平平在在试试验验中中相相遇遇的的机机会会均均等等。这这种种既既不不遗遗漏漏，也也不不重重复复的的支支配配方方式式，确确定定了了正正交交试试验验相相对对于于试试验验次次数数相相同同的的其其他他试试验验来来说说，效效率率是是最高的。最高的。nc、另另外外一一个个
42、规规律律是是：全全面面试试验验中中的的最最好好点点M离离9次次试试验验中中的的最最好好点点不不远远，且且主主要要因因素素的的水水平平基基本本一一样样。在在该该试试验验中中较较好好的的是是号号A1B1C1与与号号A1B2C2，全全面面试试验验最最好好点点M：A1B1C2就就在在旁旁边边，且主要因素且主要因素A的水平是一样的。的水平是一样的。1204、因素间有交互作用时的正交试验 n当因素间有交互作用时，表头设计有所不同。首先，要依据因素及当因素间有交互作用时，表头设计有所不同。首先，要依据因素及因素间交互作用的数量及水平的状况来选择正交表，然后，利用与该因素间交互作用的数量及水平的状况来选择正交
43、表，然后，利用与该正交表相对应的正交表相对应的“交互作用的正交表交互作用的正交表”来支配因素及它们之间交互作来支配因素及它们之间交互作用的位置。用的位置。（1 1）交互作用正交表）交互作用正交表 在现有的正交表中有一部分有对应的在现有的正交表中有一部分有对应的“交互作用交互作用正交表正交表”，没有交互作用正交表的说明不能支配有，没有交互作用正交表的说明不能支配有交互作用的因素的试验。交互作用的因素的试验。下面举例说明下面举例说明“交互作用正交表交互作用正交表”的用法。的用法。121n正交表正交表 对应的交互作用正交表为对应的交互作用正交表为：122n框框内内的的数数字字都都是是列列号号。设设有
44、有A、B、C三三个个因因素素，且且都都是是二二水水平平。如如考考虑虑它它们们之之间间的的交交互互作作用用：AB、BC、AC，如如何何进进行行表表头设计呢？头设计呢？na、先先支支配配A，B，C中中的的随随意意两两个个，此此时时这这两两个个因因素素可可安安放放在在随随意意位位置置上上，如如将将A、B放在放在1、2两列位置上。两列位置上。123nb、由交互作用正交表找到、由交互作用正交表找到A与与B的交的交互作用互作用AB的位置为第的位置为第3 3列，列，c、将因素、将因素C支配在除第支配在除第1，2，3列之列之外的随意位置上外的随意位置上,如排在第如排在第5列列 124nd、由交互作用正交表找到
45、、由交互作用正交表找到BC，AC的的位置分别为第位置分别为第4 4列和第列和第7 7列列,即即 至此，表头设计完成。至此，表头设计完成。125n（2 2）因素间有交互作用时，正交试验结果）因素间有交互作用时，正交试验结果的计算与分析的计算与分析 n例：在梳棉机上纺粘棉混纺纱，为了提高例：在梳棉机上纺粘棉混纺纱，为了提高质量，削减棉结粒数，选了三个因素，每个质量，削减棉结粒数，选了三个因素，每个因素有二个水平，三个因素之间可能有交互因素有二个水平，三个因素之间可能有交互作用。水平因素表为：作用。水平因素表为：126n方案设计及试验结果为方案设计及试验结果为:127na a、极差分析、极差分析 n
46、（a a）确定因素及它们之间的交互作用）确定因素及它们之间的交互作用的主次依次的主次依次n由表中的极差可知各因素及它们的交互由表中的极差可知各因素及它们的交互作用对试验的影响次序为作用对试验的影响次序为n主主次：次：C C，ACAC，B B，A A，ABAB，BCBC，ACACn（b b）确定最佳工艺条件确定最佳工艺条件128n原则原则：n1、优先考虑主要因素；优先考虑主要因素；n2、若因素的交互作用的影响很显著时，若因素的交互作用的影响很显著时，不管因素本身的影响显著与否，都从交互不管因素本身的影响显著与否，都从交互作用的角度去选择工艺条件。作用的角度去选择工艺条件。按按上上面面两两条条原原
47、则则，我我们们先先来来选选A与与C的的工工艺艺条条件件，A AC C共共有有四四种种搭搭配配，A A1 1C C1 1，A A1 1C C2 2，A A2 2C C1 1，A A2 2C C2 2，而而且且每每种种搭搭配配都都做做了了两两次次试试验验,将将各各种种搭搭配配的的试试验验结结果果之之 和和列列于于下下表表：129nB因素由表中的因素由表中的K值知，值知，B2较较B1好。好。从从左左表表中中知知搭搭配配A2C1为最好为最好所所以以，最最佳佳工工艺艺条条件件为为A2C1B2，它它恰恰好好是是表表中中第第号号试试验验，是是8次次试试验验中中最最好好的的结结果果之之一一。另另外外，第第号号
48、试试验验的的结结果果与与第第号号一一样样好好。视视察察试试验验条条件件，其其中中A2C1与与第第号号一一样样，而而B为为B1与与号号试试验验不不同同，这这也也可可推断，推断，B因素处于相对次要的位置。因素处于相对次要的位置。130nb b、方差分析、方差分析 131v平方和平方和SiSi的计算与以前定义一样，对于二的计算与以前定义一样，对于二水平的状况可用下面的简化公式。水平的状况可用下面的简化公式。，其中，其中n试验总次数试验总次数 132n方差分析方差分析 见下页说明见下页说明133q这这三三项项的的均均方方与与误误差差相相比比是是很很小小的的，可可认认为为这这三三项项平平方方和和是是由由
49、试试验验误误差差引引起起的的，所所以以，作作方方差差分分析析时时，可可将将这这些些平平方方和和归归并到误差项中去。并到误差项中去。q确确定定因因素素的的主主次次依依次次时时，可可依依据据平平方方和和Si（自自由由度度不不同同时时除除外外）的的大大小小来来确确定定，最佳工艺条件的选择与直观分析时相同。最佳工艺条件的选择与直观分析时相同。134c、正交表的选择正交试验的优点是可削减试验次数，但假正交试验的优点是可削减试验次数，但假如因素间的交互作用较多时，正交试验的如因素间的交互作用较多时，正交试验的优越性就会减弱，因为每个交互作用都要优越性就会减弱，因为每个交互作用都要占据一列，当有三个因素时，
50、要考虑的交占据一列，当有三个因素时，要考虑的交互作用就有互作用就有C32=3个，当有个，当有4个因素时，交个因素时，交互作用有互作用有C42=6个，试验次数将要增加。个，试验次数将要增加。解决这个冲突的方法是：解决这个冲突的方法是：135n（a）假假如如试试验验目目的的主主要要是是在在现现有有的的因因素素水水平平中中找找寻寻较较好好的的工工艺艺条条件件，可可以以选选择择较较小小的的正正交交表表，而而不不必必考考虑虑因因素素之之间间是是否否存存在交互作用；在交互作用；n（b）当当试试验验的的主主要要目目的的是是找找寻寻事事物物内内部部的的规规律律时时，应应选选择择尽尽量量大大的的正正交交表表。假