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1、第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点要点 建立平面问题的基本方程及边值条件建立平面问题的基本方程及边值条件包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描程；变形协调方程；边界条件的描述；圣维南原理；方程的求解方法述；圣维南原理；方程的求解方法等等主主 要要 内内 容容2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2-5 2-5 物理方程物理方程2-
2、6 2-6 边界条件边界条件2-7 2-7 圣维南原理圣维南原理2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题平面应力问题(1)几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征受力特征外力（体力、面
3、力）和约束，仅平行于板面作用，外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3)应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面为如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为整个薄板的可认为整个薄板的各点都有：各点都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有结论结论平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、
4、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2.平面应变问题平面应变问题(1)几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁厚壁圆筒圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。尺寸不变化。近似认为无限长近似认为无限长(2)外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度用，且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3)变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线
5、为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一任一横截面均可视为对称面横截面均可视为对称面水坝水坝因为任因为任一一横截面均可视为对称面，则有横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。进一步有平面。进一步有 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中但是，但是，(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏
6、分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征受力特征受力特征应变应力应变应力特征。特征。小结：小结：3.两类平面问题的特征比较两类平面问题的特征比较薄板薄板长柱体长柱体外力平行于板面外力平行于板面沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。外力平行于截面外力平行于截面沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。例：如例：如图所示三种图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题4.平面
7、问题的概述平面问题的概述问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；2-2 2-2 平衡微
8、分方程平衡微分方程PBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），DXYZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：体力：体力：X，YAC面：面：BC面：面：注：注：这里用了小变形假定，以变形前这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODXY由微由微元体元体PABC平衡，得平衡，得整理得：整理得：当当时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理PBACxyODXY两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：并整理得：两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：并整理得：平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：（2
9、-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。2-3 2-3 平面问题中的一点的应力状态平面问题中的一点
10、的应力状态1.斜面上的应力斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知：斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量:s 斜面外法线斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦：由由微元体平衡：微元体平衡：整理得：整理得：（2-3）整理得：整理得：（2-4）外外法线法线 xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将将式（式（2-3）（）（2-4）代入，并整理得：）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：说
11、明：（1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理：任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式（2）若）若AB面为物体的边界面为物体的边界S，则则即即:平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件（2-18）2.一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主应力）主应力 若若某一某一斜面上斜面上 ，则该斜面上的正应，则该斜面上的正应力力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ；当当 时，有时，有求解求解得：得：（2-7）平面应力状态主应力的计算公式平面应力状态主应力的计算公式主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应
12、力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；由式（由式（2-7）易得：）易得：平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量（2）应力主向）应力主向 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1，1与坐标轴正向的与坐标轴正向的方向余弦为方向余弦为 l1、m1，则则 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：（2-8）由由得得显然有显然有表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。结论结论任任一点一点P，一定存在两一定存在两 互相互相垂直的主应力垂直的主应力1
13、、2。（3）N 的主应力表示的主应力表示xyOsdxdydsPABN由由1 与与 2 分别为最大和最小应力分别为最大和最小应力。（4）最大、最小剪应力）最大、最小剪应力由由显然，当显然，当时，时，N为最大、最小值：为最大、最小值：由由得，得，max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。xyOdxdydsPABNs小结：小结：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）平面问题的平面问题的应力边界条件应力边界条件（1）斜面上的应力）斜面上的应力（2-8）表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最）一点的主应力、应力主向、最大最小应力大最小应力（
14、2-7）max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移建立：建立：平面问题中应变与位移的关系平面问题中应变与位移的关系 几何方程几何方程1.几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；xyOP考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形前变形后变形后PABuv注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPAdxBdyuvPA的正应变：的正应变：PB的正应变：的正应变：P点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角
15、直角线段夹角的变化的变化xyOPAdxBdyuv整理得：整理得：几何方程几何方程（2-9）说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关间的关系，是弹性力学的基本方程之一。系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不，不能确定能确定u、v。（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。2.刚体位移刚体位移物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。即：即：(a)(b)(c)由由(a)
16、、(b)可求得：可求得：(d)将将(d)代入代入(c)，得：得：或写成：或写成：上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右边仅右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等两边只能等于同一常数，即于同一常数，即 (d)积分积分(e)，得：得：(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。（x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得得:(2-10)刚体位移表达式刚体位移表达式讨论：讨论：(2-10)刚体位移表达式刚体位移表达式（1）仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）仅有仅有y方向平移。方向平移。（3）xyOPyxr说明：说明：P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动
17、绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）2-5 2-5 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律定律。（2-13）其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。（1）平面
18、应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中（2-15）平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：注：(1)(2)物理方程的另一形式物理方程的另一形式（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中（2-16）平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：注：(2)平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：由由式（式（2-13）第三式，得）第三式，得（2-13）(1)平面应变问题中平面应变问题中，但，但
19、（3）两类平面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：转换：（2-16）平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程（2-15）(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqP是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。
20、建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量，表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：表达为：（2-17）平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：说明：称为固定位移边界。称为固定位移边界。2-6 2-6 边界条件边界条件xyOqP（2）应力边界条件）应力边界条件给
21、定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界xyOdxdydsPABXNYNN由由前面斜面的应力分析，得前面斜面的应力分析，得式中式中取：取：得到：得到：（2-18）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。如：向余弦。如：平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：例例1 如图所如图所示，试写出其边界条件。示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说明：说明：x=0 的边界条件，是有矛盾的边界条件，是有矛盾的。由此只能求
22、出结果：的。由此只能求出结果：例例2 如图所如图所示，试写出其边界条件。示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有右侧面：右侧面：例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 A
23、C、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即AB 边界：边界：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：边界：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。上上侧：侧：下侧：下侧：图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例6上侧：上侧：下侧：下侧：N（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。
24、物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件2-7 2-7 圣维南原理圣维南原理问题的提出：问题的提出：PPP 求求解解弹性力学问题时，使应力分量、弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本方个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困
25、难。往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。条件无法列写。1.静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把若把物体的物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同
26、但不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/23.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。(2)有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2)只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：
27、AB主要边界主要边界P次要边界次要边界例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！xy上端面：上端面：（方法（方法2）取取图示微元体，图示微元体，
28、可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，1.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v，再由再由几何方程、物理方程求出应力与几何方程、物理方程求出应力与形变分量。形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，
29、并求出表示，并求出应力分量，再由再由几何方程、物理方程求出几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以以部分部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示由由应变表示的物理方程应变表示的物理方程将将几何方程代入，有几何方程代入，有（2-19）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有（
30、2-20）（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（a）将式（将式（a）代入，得代入，得（2-21）（2-17）式（式（2-20）、（）、（2-17）、（）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程构成按位移求解问题的基本方程说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-20）（
31、2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：应力边界条件：（2-21）2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程，从从形变形变、形形变与应力的关系变与应力的关系建立补充方程。建立补充方程。将几何方程：将几何方程：（2-9）作如下运算：作如下运算：显然有：显然有：（2-22）形变协
32、调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即：必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：积分得：积分得：由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。2.变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简
33、：利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：将上述两边相加：（b）将将(b)代入代入(a)，得：得：将将 上式整理得：上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为：，得得（2-24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）注意：注意：注意：注意：当体力当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（
34、1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（2-23）（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程的解，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下
35、面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解解（a）（b）（1）将式（将式（a）代入平衡方程：代入平衡方程：（2-2）满足满足将式（将式（a）代入相容方程：代入相容方程：式（式（a）不是一组可能不是一组可能的应力场。的应力场。（2）解解:将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：代入应变表示的相容方程：式（式（b）满足相容方程，满足相容方程，（b）为可能的应变分量。为可能的应变分量。例例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据
36、作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。解解:材料力学解答：材料力学解答：式（式（a）满足满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足是否满足边界条件？边界条件？代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。式（式（a）满足满足相容方程。相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足是否满足边界条件？边界条件？满足满足满足满足近似满足近似满足近似满
37、足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解为正确解代入代入相容方程：相容方程：上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数1.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 X、Y 为常数时，为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即，即或或（2-25）2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平
38、衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（2-18）（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplace方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同。）不同。（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力外力和边界条件和边界条件时，其计算结时，其计算结果相同。果相同。光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代
39、替平平面应变试验面应变试验模型，为实验应力模型，为实验应力分析提供理论基础。分析提供理论基础。满足：满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。3.常体力下常体力下体力体力与与面力面力的变换的变换平衡方程平衡方程:相容方程相容方程:边界条件边界条件:令：令：常体力下，常体力下，满足的方程：满足的方程：(a)将式将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)(c)表明：表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程齐次方程（容易求解）；（容易求解）；（2）变换后问题的）变换后问题的边界面
40、力边界面力改变为：改变为：结论：结论：结论：结论：当当体力体力X=常数，常数，Y=常数时，可先求解常数时，可先求解无体力无体力而而面力面力为：为：问题的解：问题的解：，而原问题的解为：，而原问题的解为：xyxy例如：例如：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的应力分析。图示深梁在重力作用下的应力分析。原原问题：问题：体力：体力：边界面力：边界面力：所求应力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：变换后的问题：体力：体力：边界面力：边界面力：(1)当当 y=0 时，时，(2)当当 y=h 时，时，(3)当当 y=2h 时，时，所求得的应力：所求得的应力：原问题的应力原问
41、题的应力原问题的应力原问题的应力常体力下体力与面力转换的优点（好处）：常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原原问问题题的的求求解解方方程程变变换换后后问问题题的的求求解解方方程程常体力问题常体力问题无体力问题无体力问题作用：作用：(1)方便分析计算（齐次方程易求解）。方便分析计算（齐次方程易求解）。(2)实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：注意：面力变换公式：面力变换公式：与坐标系的选取有关，与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。常体力下问题
42、的基本方程：常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。边界条件、位移单值条件。(a)(b)式式(a)为非齐次方程，其解：为非齐次方程，其解：全解全解=齐次方程齐次方程通解通解4.平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1)特解特解常体力下特解形式常体力下特解形式：+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。(1)(2)(3)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(c)(d)的的通解。通解。将将式式(d)第一式改写第一式改写为为由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数 A(x,y)，使得使得(e)(f)同理，将式同理，将式(d)第二式改写第二式改写为为(g)(h)比较式
43、比较式(f)与与(h)，有有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得使得(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的的通解。通解。由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数(x,y)，使得使得(i)(j)将将式式 (i)、(j)代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得得通解通解同理，将式同理，将式(d)第二式改写第二式改写为为(g)(h)比较式比较式(f)与与(h)，有有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得使得由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数(x,y)，使得使得(k)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)
44、的的通解：通解：(k)对应于平衡微分方程的对应于平衡微分方程的齐次方程通解齐次方程通解。(3)全解全解取特解取特解为：为：则其全解为：则其全解为：(2-26)常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（a a）的全解。的全解。的全解。的全解。由式（由式（2-26）看：不管）看：不管(x,y)是什是什么函数，都能满足平衡方程。么函数，都能满足平衡方程。(x,y)平面问题的平面问题的应力函数应力函数 Airy 应力函数应力函数5.相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将将式（式（2-26）代入常体力下的相容方程：）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：有：注意到
45、体力注意到体力 X、Y 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有(2-27)应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。式（式（2-27）可简记为：）可简记为：或：或：式中：式中：满足方程满足方程(2-27)的函数的函数(x,y)称为称为重调和函数（或双调和函数）重调和函数（或双调和函数）结论：结论：结论：结论：应力函数应力函数应为一应为一重调和函数重调和函数按应力求解平面问题（按应力求解平面问题（X=常量、常量、Y=常量）的归结为：常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入
46、式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。(2-28)（无体力情形）（无体力情形）6.应力函数应力函数 求解方法求解方法（1）逆解法逆解法（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y)的形式；的形式；（2）主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。
47、的问题。然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y)对对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求可以求解什么问题。解什么问题。（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x
48、,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)的的形式；形式；（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。本本 章章 小小 结结1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题；平面应变问题。平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程的异同）（两类平面问题中基本方程的异同）2.平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程。平衡方程、几何方程、物理方程。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）（几何特点、受力
49、特点、应力或应变特点）3.任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。4.边界条件（位移、应力）边界条件（位移、应力）（1）按位移求解平面问题）按位移求解平面问题（3）边界条件：应力、位移边界条件。）边界条件：应力、位移边界条件。（1）用位移表示的平衡微分方程；）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；）用位移表示的应力边界条件；基本方程：基本方程：6.平面问题的求解平面问题的求解5.圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用相容方程相容方程（形变协调方程）：（形变协调方程）：应变表示形式、应力应变表示形式、应力表示形
50、式、应力函数表示。表示形式、应力函数表示。（2）按应力求解平面问题）按应力求解平面问题应力函数表示的应力分量表达式应力函数表示的应力分量表达式：常体力下的简化；常体力下的简化；应力函数的求解方法：应力函数的求解方法：（逆解法、半逆解法。）（逆解法、半逆解法。）按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的基本步骤：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。作业：作