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1、第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点要点 建立平面问题的基本方程建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。述；方程的求解方法等。t一一.平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （Problems of plane stress and plane strain ）1.平面应力问题平面应力问题(1)几何特征几何特征xyyzba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。平板平板如：板式吊钩，旋转
2、圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3)简化的应力特征简化的应力特征如图选取坐标系，以板的如图选取坐标系，以板的中面为中面为xy 平面，垂直于中面的平面，垂直于中面的任一直线为任一直线为 z 轴。轴。由于板面上由于板面上不受力，有不受力，有:因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为可认为整个薄板的整个薄板的各点各点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有:结论：结论：(
3、a)平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：(b)应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。xy(c)2.平面应变问题平面应变问题(1)几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和尺寸不变化尺寸不变化。近似认为无限长。近似认为无限长。(2)外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作用，且用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。约束约束 沿长度沿长度
4、z 方向不变化方向不变化。(3)简化的变形特征简化的变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有 平面应变问题平面应变问题(c)可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。结论：结论：(a
5、)(b)如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。基本假定：基本假定：（1）连续性假定；连续性假定；（2）线弹性假定；线弹性假定；（3）均匀性假定；均匀性假定；（4）各向同性假定；各向同性假定；（5）小变形假定
6、。）小变形假定。（注意：注意：剪应力正负号规定剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用掌握这些假定的作用）基本概念：基本概念：xyODXYPBACt=1.AC：BC:二二.平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程 (Equilibrium equations)(Equilibrium equations)PBACxyODXYDivided the equation by dx dy：Divided the equation by dx dy：PBACxyODXYwhen直角坐标下的应力平衡微分方程直角坐标下的应力平衡微分方程物理意义：表示变形物理意义：表示变形体内无限相邻两质点体内无限相邻两
7、质点的点的应力状态的关的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑系。对弹性变形和塑性变形均适用。性变形均适用。说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整
8、个弹性体内都满足。xyOPAdxBdyuvundeformeddeformedAB注：注：这里略去这里略去了二阶以上高了二阶以上高阶无穷小量。阶无穷小量。建立：平面问题中应变与位移的关系建立：平面问题中应变与位移的关系一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：PuvPuv三三.几何方程几何方程 (The geometrical equations)(The geometrical equations)PxyOAdxBdyuvNormal strain of PA:Normal strain of P
9、B:Shear strain of point P：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化:几何方程几何方程 The geometrical equations 建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又
10、称泊松比。四四.物理方程物理方程1.平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：注：(1)(2)物理方程的另一形式物理方程的另一形式2.平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中 平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：注：由式由式虎克定律虎克定律第三式，得第三式，得平面应变问题中平面应变问题中，但，但3.两类平面问题物理方程的转换两类平面问题物理方程的转换 平面应变问题的平面
11、应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（
12、3）物理学关系：）物理学关系：应变应变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；应变应变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；五五.边界条件（边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions）1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）几何方程：）几何方程：（3）物理方程：）物理方程：未知量数：未知量数：8个个方程数：
13、方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。2.边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqP是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量，表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界
14、条件可示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：表达为：平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：说明：称为固定位移边界。称为固定位移边界。xyOqP（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界xyOdxdydsPABXNYNN由由式中取：式中取：得到：得到：如：如：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。向余弦。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：垂直垂直 y 轴的边界：轴的边
15、界：在物体的边界上取直角三角形的微元体在物体的边界上取直角三角形的微元体PAB，其斜面其斜面AB与物体边界面重合。与物体边界面重合。N为其法线。为其法线。得得（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件例例1如图所示，试写出其边界条件。如图
16、所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)平面问题的基本方程平面问题的基本方程1.平衡微分方程平衡微分方程2.几何方程几何方程3.物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）4.边界条件边界条件位移：位移：应力：应力：问题的提出：问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本方个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。往往很困难。PPP 如图所示，其力的作用点处的应力如图所示，其力的作用点处的应力边界条件无法列写。边界条件无法列写。1).静
17、力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。3.圣维南原理圣维南原理 (Saint-Venant Principle)2).圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静
18、力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPP/2P/2P次要边界次要边界只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主主要边界要边界上不能使用。上不能使用。注意事项：注意事项：必须满足必须满足静力等效静力等效条件条件(1)(2)图a是一端固支、一端受集中力作用的杆件，其厚度为1 mm，容易计算出杆内的应力为100MPa。图b是该杆件的应力分布图，不同的颜色代表不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出从上部固定端向下大约20 mm区域内应力并不是均匀分布，
19、在杆的下端，从集中力作用处向上大约25 mm的区域内应力也不是均匀分布的。图b中，只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为100 MPa。圣维南原理说，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1-3个杆的最大横向尺寸。六六.按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）几何方程）几何方程：（3）物理方程：）物理方程：（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）
20、以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。应变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。应变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并
21、求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3.按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）
22、一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：七七.按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程，从从应变应变、应应变与应力的关系变与应力的关系建立补充方程。建立补充方程
23、。将几何方程：将几何方程：作如下运算：作如下运算：显然有：显然有：形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即：必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C为常数。为常数。显然，此组位移分量不能满足显然，此组位移分量不能满足形变协调方程形变协调方程，因而，因而2.变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：（a）将上述两边相加：将上
24、述两边相加：（b）将将(b)代入代入(a)，得：，得：将将 上式整理得：上式整理得：应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为：，得得（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）注意：注意：当体力当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：）边界条件：（平面应力情形）
25、（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程的解，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。八八.常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 1.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：平面应力情形
26、平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 X、Y 为常数时，为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即，即或或2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplace方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同。）不同。（但（但（b）不
27、同材料不同材料，具有相同，具有相同外力外力和边界条件和边界条件时，其计算结时，其计算结果相同。果相同。光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平平面应变试验面应变试验模型，为实验应力模型，为实验应力分析提供理论基础。分析提供理论基础。满足：满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。常体力下问题的基本方程：常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。边界条件、位移单值条件。(a)(b)式式(a)为非齐次方程，其解：为非齐次方程，其解：全解全解=齐次方程齐次方程通解通解3.平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1)特
28、解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。(1)(2)(3)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(c)(d)的通解。的通解。将式将式(d)第一式改写第一式改写为为由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数 A(x,y)，使得，使得(e)(f)同理，将式同理，将式(d)第二式改写第二式改写为为(g)(h)比较式比较式(f)与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解。的通解。由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数(x,y)，使得，
29、使得(i)(j)将式将式 (i)、(j)代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得，得通解：通解：(k)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解：的通解：(k)对应于平衡微分方程的对应于平衡微分方程的齐次方程通解齐次方程通解。(3)全解全解取特解为：取特解为：则其全解为：则其全解为：常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（常体力下平衡方程（a a）的全解。）的全解。）的全解。）的全解。由上式看：不管由上式看：不管(x,y)是什么是什么函数，都能满足平衡方程。函数，都能满足平衡方程。(x,y)平面问题的平面问题的应力函数应力函数 Airy 应力函数应力函数4.
30、相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将右边式代入常体力下的相容方程：将右边式代入常体力下的相容方程：有：有：注意到体力注意到体力 X、Y 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。将右边式代入常体力下的相容方程：将右边式代入常体力下的相容方程：有：有：注意到体力注意到体力 X、Y 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件
31、。给出了应力函数满足的条件。上式可简记为：上式可简记为：或：或：式中：式中：满足相容方程的函数满足相容方程的函数(x,y)称为称为重调和函数（或双调和函数）重调和函数（或双调和函数）结论：结论：结论：结论：应力函数应力函数应为一应为一重调和函数重调和函数按应力求解平面问题（按应力求解平面问题（X=常量、常量、Y=常量）的归结为：常量）的归结为：（1）（2）然后将由然后将由 求出应力分量：求出应力分量：先由相容方程求出应力函数：先由相容方程求出应力函数：（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。（无体力情形）（无体力情形）例例图示
32、矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。界条件。例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！xy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，（1）（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。思考题思考题1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。应力边界条件。lhhyx