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1、 函数的最大函数的最大值与最小值值与最小值一、复习引入一、复习引入 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/（x）0,右侧右侧f/(x)0,那那么么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 ,那那么么,f(x0)是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的导数为零的点是该点为极值点的必要不充分必要不充分条件条件.极极值只能在函数的值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数导数为零且在其附近左右两侧的导数异号异号时取到时取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大哪个值最大,哪
2、个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.1.当函数当函数f(x)在在x0处可导时处可导时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法是:求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f(x)；(3)求方程求方程f(x）=0的根；的根；(4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+-），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（-+），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(
3、1)确定函数的确定函数的定义域定义域；一是利用函数性质一是利用函数性质二是利用不等式二是利用不等式三今天学习三今天学习利用导数利用导数 求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：函数最值问题函数最值问题二、新课二、新课最大值与最小值最大值与最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间上的函数的最大值是值，在区间
4、上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？(2)(和和端端点点比比较较)将将y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)、f(b)比比较较，其其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值：上的最值：(1)(找极值点找极值点)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表
5、格法表格法(如果在区间如果在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象是一条连续的图象是一条连续不断的曲线不断的曲线,那么它必有最大值和最小值那么它必有最大值和最小值)例例1 求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内的最值。内的最值。故故函函数数f(x)在在区区间间-1，4内内的的最最大大值值为为8，最小值为，最小值为-1.解解:f(x)=2x-4令令f(x)=0，即即2x-4=0，得得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4 y，0y-+83-1例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 另另解解:将将二二次次函函
6、数数f(x)=x2-4x+3配配方方，利利用用二二次函数单调性处理次函数单调性处理 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个
7、是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范是在整体范围围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此则此极极 值必是函数的最值值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。1 1下列说法
8、正确的是下列说法正确的是()()A.A.函数的极大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的最大值 B.B.函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值C.C.函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 D.D.在闭区间上的连续函数一定存在最值在闭区间上的连续函数一定存在最值2.2.函函数数y=f(x)y=f(x)在在区区间间a,ba,b上上的的最最大大值值是是M M，最最小小值值是是m,m,若若M=m,M=m,则则f(x)()f(x)()A.A.等于等于0 0 B.B.大大于于0 0 C.C.小小于于0 0 D.D.以上都有可能以上都有可能课堂练习课堂练习D DA A3.3.函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值上的最小值为为()()A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1 D.D.A A求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。练练 习习最大值最大值 f(1)=3，最小值最小值 f(3)=61解解:当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:从上表可知从上表可知,最大值是最大值是,最小值是最小值是0.令令 ,解得解得x 0f(x)+-+000