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1、 函数极值及其求法函数极值及其求法 函数最值及其求法函数最值及其求法 函数最值在经济中的应用函数最值在经济中的应用第五节第五节 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法oxyy=(x)Mmab设函数设函数 y=(x)在在a b内图形如下图内图形如下图:而在而在 处的函数值处的函数值 比它附近各点的函数值都要大比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,而且而且 比它附近各点的函数值都要小比它附近各点的函数值都要小;为此为此,我们引入函数极值与极值点的概念我们引入函数极值与极值点的概念.
2、1.极值的定义极值的定义x=x0 称为称为(x)的的极大值点极大值点.,则称则称 为函数为函数(x)的的极小值极小值.称为称为(x)的的极小值点极小值点.,则则称称 为函数为函数(x)的的极大值极大值.定义定义1恒有恒有 内有定义内有定义，设设 y=(x)在邻域在邻域极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一 我们将函数的极大值与极小值统称极值我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值极大值点与极小值点统称点统称极值点极值点.注注3 由极值定义知由极值定义知:极值是函数的局部性态极值是函数的局部性态.它只是极值点它只是极值点的的函数值与极值点附近的函数值
3、相比较而言的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的,故它只可能在故它只可能在(a,b)的的内部内部取得取得.注注4 在闭区间在闭区间a,b内内,一个连续函数可能有若干个极小值或一个连续函数可能有若干个极小值或极大值极大值,却最多只有一个最大值却最多只有一个最大值M与最小值与最小值m,而且而且最大值一定最大值一定在极大值点或端点取得在极大值点或端点取得,最小值一定在极小值点或端点取得最小值一定在极小值点或端点取得.注注1 x0 为极值点为极值点,(x0)为极值为极值,极值是极值点处的函数值极值是极值点处的函数值.注注2 在区间在区间(a,b)极值不一定是最值极值不一定是最值,但最值一定是极值但最
4、值一定是极值.定理定理1 (极值的必要条件极值的必要条件(费马定理费马定理)设函数设函数 y=(x)在点在点 x0 处可导处可导.若若 x0为的极值点为的极值点,(即即 为极值为极值).则则x0 为函数的驻点为函数的驻点,即即2.极值的必要条件极值的必要条件证证设设 为极值为极值(不妨设为极大值不妨设为极大值),则存在则存在x0的一邻域的一邻域当当 时时,有有当当 时时,有有当当 时时,有有注注2 定理条件是必要而非充分的定理条件是必要而非充分的,即可即可导函数的极值点一定导函数的极值点一定是导数为是导数为0的点的点,导数不为导数不为0的点一定不是极值点的点一定不是极值点.反过来反过来,导数导
5、数为为0的点可能是极值点可能不是的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点驻点未必是极值点),所以我们所以我们要找极值点可先从导数为要找极值点可先从导数为0的点中找的点中找.注注1 定理的几何意义定理的几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是可导函数的图形在极值点处的切线是与与x 轴平行的轴平行的(罗尔定理罗尔定理).oxy则则 x=0 为为 f(x)=x3 的驻点的驻点.但是但是,x=0 不是不是 f(x)=x3 的极值点的极值点.如如注注3 并不是所有驻点包含了所有的极值点并不是所有驻点包含了所有的极值点,极值点还可能出极值点还可能出现在导数不存在的点处现在导数不存在的点处(即导函数无意
6、义的点即导函数无意义的点).如如 函数函数 y=|x|,x=0 是函数的连续不可导点是函数的连续不可导点.但但 x=0是函数是函数的极小值点的极小值点.如图如图.oxy=|x|y注注4 综上所述综上所述,函数的极值点应从导数函数的极值点应从导数为为0和导数不存在的点中找和导数不存在的点中找,这些点包含这些点包含了所有的极值点了所有的极值点.(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)定理定理2 (极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件)设函数设函数 y=(x)在在 3.极值存在的充分条件极值存在的充分条件内连续内连续,在在内可导内可导.根据如下定理对导根据如下定理对导数为
7、数为0和导数不存在的点判和导数不存在的点判别是否为极值点别是否为极值点.此定理可简单叙述为此定理可简单叙述为:设设x0为连续函数为连续函数(x)的可能极值点的可能极值点,若若若若 在在 x0 的两侧保号的两侧保号,则则 x0 不是不是(x)的极值点的极值点.证证 由极值的定义及定理由极值的定义及定理1可证可证.当当 x 从从 x0 左侧变到右侧时左侧变到右侧时,变号变号,则则 x0为为(x)的极值点的极值点.求极值的步骤求极值的步骤:例例1 求函数求函数解解x故函数有极大值故函数有极大值函数有极小值函数有极小值(1)=0.此函数的单调性在前面已讨论此函数的单调性在前面已讨论,现重新列表如下现重
8、新列表如下:x 故函数有极大值故函数有极大值 (0)=0.函数有极小值函数有极小值解解解解例例2 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.故故 x=0为为 f(x)的极小值点的极小值点.为直观列表如下：为直观列表如下：x 由上表可看出由上表可看出,函数函数(x)在区间在区间(-,0)内单调递减内单调递减,在区间在区间(0,+)内单调递增内单调递增,且且(x)的极小值为的极小值为 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时时,也可用下面定也可用下面定理来判定理来判定(x)在驻点处取得极大值还是极小值在驻点处取得极大值还是极小值.定理定理3 (极值存在的第二充
9、分条件极值存在的第二充分条件)证证及极限的保号性定理知及极限的保号性定理知只证只证(1)由于由于 设函数设函数 y=(x)在点在点 x0 处的二阶导数存在处的二阶导数存在,若若 则则 x0 是函数是函数(x)的极值点的极值点;值值.且且时时,则则 x0 处为极小值点处为极小值点;为极小值为极小值;时时,则则 x0 处为极大值点处为极大值点;为极大值为极大值.为函为函数的极数的极利用二阶导数判断极值点的另一种方法：利用二阶导数判断极值点的另一种方法：的邻域内由负变到正的邻域内由负变到正,则由定理则由定理2知知,(x)在在 x0 处取得处取得极小值极小值.从而当从而当时时,定理定理4失效失效,只能
10、改用定理只能改用定理3确定确定.注注2 定理定理4是用于判别一阶导数是用于判别一阶导数为为0,而二阶导数不为而二阶导数不为0的点的点 x0是否为函数极值点的方法是否为函数极值点的方法.对于判别导数不存在的点是否对于判别导数不存在的点是否为极值点不适用为极值点不适用.注注1 时时,则则 x0 是否为极值点尚需进一步判定是否为极值点尚需进一步判定.此此时时x0 可可能是极大值点能是极大值点,可能是极小值点可能是极小值点,也可能不是极值点也可能不是极值点.是是 f(x)=x3 的极值点的极值点,但是但是,x=0 是是 f(x)=x4 的极小值点的极小值点,x=0 是是 h(x)=-x4 的极大值点的
11、极大值点.它们在它们在x=0 点处的一阶导数和二阶导数都为点处的一阶导数和二阶导数都为0,但是但是,x=0 不不如如解解例例7故定理故定理3比定理比定理4更普遍更普遍(只需点连续即可只需点连续即可).求函数求函数的极值的极值.解解不是极值点不是极值点,故只有极小值故只有极小值解解例例3 求函数求函数的极值的极值.在许多经济理论与实际实际应用中在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问常常遇到这样一类问题题:在一定条件下在一定条件下,怎样使怎样使:“产品成本最低产品成本最低”,“产品产品用料最用料最省省”,“效率最高效率最高”等问题等问题.这类问题在数学上有时可归纳为这类问题在数学上有时
12、可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题求某一函数的最大值和最小值问题.函数函数(x)的最值与极值是两个不同的概念的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定最值是对整个定义域而言的义域而言的,是整体性的是整体性的;极值是局部极值是局部.最值不仅可以在最值不仅可以在a,b的内点取得的内点取得,也可以在也可以在a,b的端点取得的端点取得;极极值只可能在值只可能在(a,b)的内点取得的内点取得,即极值点只在区间的内部取得即极值点只在区间的内部取得,不能在端点取得不能在端点取得.二、函数的最值及其求法二、函数的最值及其求法最值最多只有一个最大最值最多只有一个最大值与最小值值与最小值.而一个函数而一个函
13、数可能有若干个可能有若干个极大值或极小值极大值或极小值.我们知道我们知道,闭区间上连续函数一定有最大与最小值闭区间上连续函数一定有最大与最小值.于是于是,其其最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找.自此自此,求闭区求闭区间间 a,b 上的连续函数上的连续函数 f(x)的最值时的最值时,只需分别计算只需分别计算f(x)在开在开区区间间(a,b)内的驻点内的驻点、导数不存在的点以及端点、导数不存在的点以及端点a和和b处的处的函数函数值值,然后加以比较然后加以比较.其中最大者就是函数其中最大者就是函数(x)在在a,b上的最上的最大大值值,最小者就是函数最小者就是
14、函数(x)在在a,b上的最小值上的最小值.于是于是,求闭区间求闭区间a,b上连续函数上连续函数(x)最值的一般步骤是最值的一般步骤是:(1)求出函数求出函数(x)在区间在区间(a,b)内所有可能的极值点内所有可能的极值点(驻点和驻点和一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点).设为设为 x1,x2,xn;(2)求出相应的函数值求出相应的函数值 (3)比较比较(2)中所有函数值的大小中所有函数值的大小,其最大者为函数其最大者为函数(x)在闭在闭区间区间a,b上的最大值上的最大值,最小者为函数最小者为函数(x)在闭区间在闭区间a,b上上的最小值的最小值.例例1解解计算计算比较得比较得解解(1)f(x)
15、的定义域为的定义域为(,1,(2)(5)比较大小得比较大小得,在在8,1 上的最大值为上的最大值为(4)分别计算函数值分别计算函数值最小值为最小值为 f(8)=5 解之得驻点为解之得驻点为解解 (1)(x)在在0,3上连续上连续,且其导数为且其导数为(2)函数函数(x)的驻点为的驻点为 x=1,不可导点为不可导点为 x=2和和 x=0.(3)计算这三个点与端点的函数值得计算这三个点与端点的函数值得(4)比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,有有min(x)=(0)=(2)=0 (0)=0,(1)=1,(2)=0,max(x)=(3)=例例2 求函数求函数在在0,3上的最大值和最小值上的最大
16、值和最小值.注注 若若(x)在在a,b上为严格单调上为严格单调连续连续函数函数,则其最值只能则其最值只能在端点上达到在端点上达到.结论结论1 若若(x)在某闭区间在某闭区间a,b上连续上连续,在开区间在开区间(a,b)内可内可导导,点点x0是是(x)在在(a,b)内的唯一驻点内的唯一驻点,且且x0为为(x)的极大值点的极大值点(或极小值点或极小值点),则则 x0必为必为(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大值点上的最大值点(或或最小值点最小值点).在解决实际问题时有如下结论：在解决实际问题时有如下结论：结论结论2 若若(x)在某闭区间在某闭区间a,b上连续上连续,在开区间在开区间(a,b)内可内
17、可导导,点点x0是是(x)在在(a,b)内的唯一驻点内的唯一驻点,且从实际问题本身可以且从实际问题本身可以知道知道(x)的最值比在的最值比在区间区间(a,b)内部取得内部取得,则则 x0必为必为(x)在闭在闭区间区间a,b上的最大值点上的最大值点(或最小值点或最小值点).例例3 设圆柱形有盖茶杯容积设圆柱形有盖茶杯容积V为常数为常数,求表面积为最小时求表面积为最小时,底半径底半径 r 与高与高 h 之比之比.解解 设表面积为设表面积为S，则目标函数为则目标函数为是可能的极值点且唯一是可能的极值点且唯一.解决实际问题的解决实际问题的步骤步骤:建立目标函数及其取值区间建立目标函数及其取值区间求目标
18、函数的最值求目标函数的最值.hr点取得极小值也是最小值点取得极小值也是最小值.即半径与高的比为即半径与高的比为 1/2 时茶杯表面积最小时茶杯表面积最小.求乘积为常数求乘积为常数a 0,而其和为最小的两个正数而其和为最小的两个正数.解解 设两个正数为设两个正数为x,y(x 0,y 0),其和为其和为 s=x+y 则由则由x y =a 得得故函数故函数s(x)可能的极值点只有一个可能的极值点只有一个从而目标函数为从而目标函数为 在本小节的讨论之前在本小节的讨论之前,先对下面所涉及的经济函数作如下先对下面所涉及的经济函数作如下的假定的假定:设函数设函数 y=(x)是定义在区间是定义在区间 I 上的
19、函数上的函数,且满足：且满足：(1)函数函数 y=(x)在区间在区间 I 上可导上可导;(2)如果函数如果函数 y=(x)在区间在区间 I 上有最大上有最大(小小)值值,则最大则最大(小小)值点位于区间值点位于区间I 的内部的内部.最大值和最小值问题最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用下面举例说明函数最值在经济上的应用.在经济管理中在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的这些问题都可归结为求函数的三、函数最值在经济中的应用三、函数最值在经济中的应用1.
20、最大利润最大利润 设总成本函数为设总成本函数为C(Q),总收益函数为总收益函数为R(Q),其中其中 Q 为销量为销量,则在假设产量和销量一致的情况下则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为总利润函数为L=L(Q)R(Q)C(Q)假设产量为假设产量为 Q0 时时,利润达到最大利润达到最大,则由极值的必要条件和则由极值的必要条件和极值的第二充分条件极值的第二充分条件,L(Q0)必定满足必定满足:可见可见,当产量水平当产量水平 Q=Q0 使得边际收益等于边际成本时使得边际收益等于边际成本时,可获得最大利润可获得最大利润.经济分析中经济分析中,常用常用MR表示边际收益表示边际收益,MC表示边际成本
21、表示边际成本.即当即当 MR=MC 时时,可获得最大利润可获得最大利润.这是因为这是因为,假设二者不等假设二者不等,当当MR MC时时,则在产量则在产量Q=Q0的基础上再多生产一个单位产品的基础上再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加所增加的收益大于所增加的成本的成本,因而利润有所增加因而利润有所增加.若若MR 0 即即 t 满足限制满足限制0 t 1时时,需求是富于弹性的需求是富于弹性的,降价可使总收降价可使总收益增加益增加;而当而当E d1时时,需求是缺乏弹性的需求是缺乏弹性的,提价可使总收益增加提价可使总收益增加.因此因此,当总收益达到最大时当总收益达到最大时,需求价格弹性一定为单
22、位弹性需求价格弹性一定为单位弹性.3.平均成本最小平均成本最小设企业的总成本函数为设企业的总成本函数为C=C(Q)若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平,这就这就是求平均成本函数的最小值问题是求平均成本函数的最小值问题.平均成本函数为平均成本函数为 假设在产量假设在产量 Q=Q0 时时,平均成本达到最小平均成本达到最小,则由极值存在则由极值存在的的必要条件的的必要条件,有有其中其中,AC 表示平均成本表示平均成本.即当即当平均成本达到最小平均成本达到最小,MC=AC.从而从而,MC=AC 是取得最小平均成本的必要条件是取得最小平均成本的必要条件
23、.例例8 某工厂生产产量为某工厂生产产量为 Q(件件)时时,生产成本函数生产成本函数(元元)为为 求该厂生产多少件产品时求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小平均成本达到最小?并求出其并求出其最小平均成本和相应的边际成本最小平均成本和相应的边际成本.且驻点唯一且驻点唯一.唯一的极小值点唯一的极小值点.解解平均成本达到最小平均成本达到最小,且最小平均成本为且最小平均成本为而边际成本函数为而边际成本函数为时时,相应的边际成本为相应的边际成本为显然有平均成本显然有平均成本(用用AC表示表示)最小时最小时,MC=AC4.最优决策时间最优决策时间 由于资金有时间价值由于资金有时间价值,因而在分析投资问
24、题时因而在分析投资问题时,必须把发生必须把发生在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在在经济分析中经济分析中,一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投资成本的现值与投资收益的现值资成本的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现经济学中称为贴现),然后再然后再做投资决策分析做投资决策分析.设设A0 为初始本金为初始本金(称现值称现值),r为年利率为年利率,按连续复利计算按连续复利计算,t 年末的本利和记作年末的本利和记作At (称总收入称总收入).则当年结算则当年结算m次时次时,就有就有 从
25、而有连续复利公式从而有连续复利公式 欲求欲求 的现在值的现在值 的问题称为贴现的问题称为贴现(率率)问题问题.则一年则一年与此相反与此相反,经济学中把已知未来值为经济学中把已知未来值为 ,贴现率也为贴现率也为 r.结算结算m次次,t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为按连续复利计算按连续复利计算,得得 t 年末的贴现净额为年末的贴现净额为(也称为贴现公式也称为贴现公式)例例9 某酒厂有一批新酿的好酒某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在如果现在(假定假定t=0)就出就出售售,总收入为总收入为 (元元).如果窖藏起来待日按陈酒价格出售如果窖藏起来待日按陈酒价格出售(假设不计储藏费假设不计储藏费),那么那
26、么 t 年末年末 的收入就是时间函数的收入就是时间函数解解 设这批酒窖藏设这批酒窖藏 t 年整年整,售出总收入的现值为售出总收入的现值为 P,则按照贴现公式得则按照贴现公式得 假设资金的贴现率为假设资金的贴现率为 r,并以连续复利计息并以连续复利计息,为使总收入为使总收入的现值最大的现值最大,应在何年出售此酒应在何年出售此酒?并求并求 r时的时的 t 的值的值.两端求导两端求导,得得得唯一不可导点得唯一不可导点此时收入的最大现值为此时收入的最大现值为(整年整年)时时,是最佳销售时间是最佳销售时间,时时,函数函数P(t)在该点达到最大值在该点达到最大值,即储藏年限为即储藏年限为当当 r 时时,t
27、 =25,即此酒商应将此酒窖藏即此酒商应将此酒窖藏 25 年年.可见可见,利率利率(贴现率贴现率)越高窖藏期越短越高窖藏期越短.5.最优批量和批数最优批量和批数 当一个商场进一批货物时当一个商场进一批货物时,除支付购买这批货物的成本外除支付购买这批货物的成本外,还需一笔采购费还需一笔采购费.在货物没有出售完毕前在货物没有出售完毕前,还需将部分货物库还需将部分货物库存起来存起来,这需一笔库存费这需一笔库存费.最优批量问题是最优批量问题是：如何决策每批的如何决策每批的进货数量进货数量,即批量即批量.以使采购费与库存费之和达到最小以使采购费与库存费之和达到最小.例例10 某厂年需某种零件某厂年需某种
28、零件 8000个个,现分期分批外购现分期分批外购,然后然后均匀投入使用均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半此时平均库存量为批量的一半).若每次定货若每次定货的手续费为的手续费为40元元,每个零件的库存费为每个零件的库存费为4元元.试求最经济的定试求最经济的定货批量和进货批数货批量和进货批数.解解 设每年的库存费和定货的手续费为设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批数为进货的批数为个个,且且x,则批量为则批量为 因而当进货的批数为因而当进货的批数为 20 批批,即定货批量为即定货批量为 400 个时个时,每每年的库存费和定货的手续费最少年的库存费和定货的手续费最少最经济最经济.故驻点为极
29、小值点故驻点为极小值点.驻点驻点 x=20 企业在正常生产的经营活动中企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的库存是必要的,但库存太但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费.因此确定最适当的因此确定最适当的库存量是很重要的库存量是很重要的.6.最佳存款利息最佳存款利息 例例11 某家银行某家银行,准备新设某种定期存款业务准备新设某种定期存款业务.假设存款量假设存款量与利率成正比与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为经预测贷款投资的收益率为16%,那么存款那么存款利息定为多少时利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益才能收到最大的贷款纯收益?解解 设存款利率为
30、设存款利率为 x,存款总额为存款总额为M,则由题意则由题意 M 与与 x 成成正比正比,得得M=k x (k 是正常数是正常数 )若贷款总额为若贷款总额为M,则银行的贷款收益为则银行的贷款收益为M k x 而这笔贷款而这笔贷款 M 要付给存户的利息为要付给存户的利息为 从而银行的投资纯收益为从而银行的投资纯收益为故当存款利率为故当存款利率为8%时时,可创最高投资纯收益可创最高投资纯收益.例例12 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？护费试问房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为