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1、第十节第十节 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大与最小值问题二、最大与最小值问题一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 设设 f(x)在区间在区间(a,b)内有定义内有定义,x0 (a,b),若对任意的若对任意的 x U(x0,)(a,b)且且 x x0,有有(1)f(x)f(x0),则称则称 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极小极小值值,称点称点 x0 为为 f(x)的一个的一个极小值点极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,极大极大值值点与极小点与极小值值点统称为点统称为极值点极值点
2、.例如例如x=1 为极大值点为极大值点,f(1)=2是极大值是极大值;x=2 为极小值点为极小值点,f(1)=2是极小值是极小值.例如例如x=0为极小值点为极小值点,f(0)=0是极小值是极小值.注意注意:2)2)对常见函数对常见函数,极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或不存在的点或不存在的点.1)1)函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.例例 x1,x4,x6 为极小值点为极小值点,x2,x5 为极大值点为极大值点,x3 不是极值点不是极值点.注意注意:例如例如,函数的驻点及不可导点称为函数的驻点及不可导点称为可疑极值点可疑极值点.函数的不可导点函数的不可导点,也
3、可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.定理定理 1(极值第一充分条件极值第一充分条件)设函数设函数 f(x)在点在点 x0 处连续处连续,在点在点 x0 的某去的某去心心 邻域内可导邻域内可导,(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(1)(1)求驻点及不可导点求驻点及不可导点(3)(3)求极值求极值(2)(2)检查检查 在这些点左右的符号在这些点左右的符号,判断是否判断是否为极值点为极值点例例1 1解解极大值极大值极小值极小值不存在不存在是极大值点，是极大值点，其极大值为其极大值为是极小值点，是极小值点，其极小值为其极小值为定理定理 2(极值第
4、二充分条件极值第二充分条件)证证例例2 2解解是极大值点，是极大值点，其极大值为其极大值为是极小值点，是极小值点，其极小值为其极小值为注意注意:例如例如x=0 不不为极值点为极值点.x=0 为极小值点为极小值点.例例解解例例3 3二、最大值、最小值问题二、最大值、最小值问题求最值步骤求最值步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较比较大小大小,哪个大那个就是最大值哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是哪个小那个就是最小值最小值;则其最值只能在则其最值只能在极值点极值点或或端点端点处达到处达到.1.求求 ;2.求求 的
5、点和的点和 不存在的点不存在的点:3.计算计算4.比较上述值的大小比较上述值的大小,有有:2.应用举例应用举例例例1 1解解计算计算比较得比较得例例例例说明说明:由于由于 g(x)与与 f(x)最值点相同最值点相同,因此也可通因此也可通过求过求 g(x)的的最值点来求最值点来求 f(x)的的最值点最值点.最大值最大值,最小值的特殊情形最小值的特殊情形:1)1)如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是则这个极值就是最值最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值)3)3)对应用问题对应用问题,有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点的
6、可疑点是否为最大值点或最小值点.例例3 3 三角形三角形 ABC 的底为的底为 a,高为高为 h,求内接求内接 的最大矩形面积的最大矩形面积.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;例例4 4解解如图如图,解得解得利用最值证明不等式利用最值证明不等式不等式证明方法小结：不等式证明方法小结：(1)利用中值定理利用中值定理,(2)利用单调性利用单调性,(3)利用函数凸性利用函数凸性,(4)利用最值利用最值.三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极
7、大值.驻点和不可导点统称为可疑极值点驻点和不可导点统称为可疑极值点函数的极值必在函数的极值必在可疑极值点可疑极值点取得取得.极值极值判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.利用最大、小值证明不等式利用最大、小值证明不等式定理定理(判别法的推广判别法的推广)则则:且且1)当当 n 为偶数为偶数时时,x=x0 为极值点为极值点,且且x=x0 为极小值点为极小值点;x=x0 为极大值点为极大值点.2)当当 n 为奇数为奇数时时,x=x0 不是极值点不是极值点.但点但点(x0,f(x0)是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点.点点(x0,f(x0)不不是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点.思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题解答思考题解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立练练 习习 题题练习题答案练习题答案思考题思考题思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但练练 习习 题题练习题答案练习题答案