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1、 1、勾股定理与几何证明的综合问题 练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在RtABC中，ACB 90，CD是AB边上的高.证明：（1）BDADCD2（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）（2）222111CDBCAC 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD的对角线为AC和BD.（1）证明：若BDAC，则2222BCADCDAB；2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d.求证：422222dcba.假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1m2n1n2p1p2q1q2MNPQ 都在正方
2、形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之后得到：a2+b2+c2+d2=2*(m1-1/2)2+1/2+2*(n1-1/2)2+1/2+2*(p1-1/2)2+1/2+2*(q1-1/2)2+1/2=2*(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2+2m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们
3、都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a2+b2+c2+d2 的最小值就是2，最大值就是4 练习三、勾股定理结合图形变换 1、如图，在ABC中，BAC 45，ADBC，BD 3，CD 2，求ABC的面积。证明：分别以AB、AC 为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D 点的对称点为E、F，延长EB、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形，根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，设 AD=x，则正方形AEGF 的边长是x，则 BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，解得：x=6；4、已知,如图在四边形ABCD 中,ABC=30,ADC=60,AD=DC.求证:222BDABBC 证明：连结AC,因为AD=DC,ADC=60 则ACD是等边三角形.过 B 作 BEAB,使BE=BC,连结CE,AE 则EBC=90-ABC=90-30=60 BCE是正三角形,又ACE=ACBBCE=ACB60 DCB=ACBACD=ACB60 ACE=DCB又 DC=AC,BC=CE 所以DCBACE 所以AE=BD 在直角三角形ABE 中222BEABAE 即222BCABBD