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1、5-5-4.余数性质（二）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法,并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+1639除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,
2、所以23167除以5的余数等于2,两个余数差312.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23149除以5的余数等于4,两个余数差为35443.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以2316除以5的余数等于313.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以2319除以5的余数等于34除以5的余数,即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同,那么与除以m的余数也相同二、弃九法原理在公元前9世
3、纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所
4、得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一
5、定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题.例题精讲模块一、余数性质的综合运用【例 1】 与的和除以7的余数是_【巩固】 除以7的余数是多少?【巩固】 被除所得的余数是多少?【例 2】 、为非零自然数,且被整除.的最小值为 .【例 3】 除以10所得的余数为多少?【例 4】 已知n是正整数,规定,令,则整数m除以2008的余数为多少?【例 5】 设n为正整数,k被7除余数为2,k被11除余数为3,求n的最小值【例 6】 试求不大于100,且使能被11整除的所有自然数n的和【例 7】 对任意的自然数n,证明能被1897整除 【例 8】
6、若为自然数,证明【例 9】 有一位奥运会志愿者,向看台上的一百名观众按顺序发放编号1,2,3,100,同时还向每位观众赠送一个单色喇叭他希望如果两位观众的编号之差是质数,那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的为了实现他自己的愿望,他最少要准备 种颜色的喇叭模块二、弃九法【例 10】 将1至2008这2008个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数：1234567891011121320072008,试求这个多位数除以9的余数【巩固】 连续写出从开始的自然数,写到时停止,得到一个多位数：,请说明：这个多位数除以,得到的余数是几?为什么?【例 11】 将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是 _【例 12】 有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和.【例 13】 设的各位数字之和为,的各位数字之和为,的各位数字之和为,的各位数字之和为,那么 【例 14】 3个三位数乘积的算式 (其中), 在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的是多少?5