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1、11.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃 9 法,并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23+1639 除以 5 的余数等于 4,即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数.例如：23,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23+1942 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 22.余数的加法定理a 与 b 的差除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以
2、c 的余数之差.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23167 除以 5 的余数等于 2,两个余数差 312.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14 除以 5 的余数分别是 3 和 4,23149 除以 5 的余数等于 4,两个余数差为 35443.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数.例如：23,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 2316 除以 5 的余数等于 313.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数.例如：23,19 除以 5
3、 的余数分别是 3 和 4,所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数,即 2.乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同,那么na与nb除以 m 的余数也相同二、弃九法原理在公元前 9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898189226789671789028899231234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为
4、7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同.知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-4.5-5-4.余数性质（二）余数性质（二）2而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了,在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去,所以这种方法被称作“
5、弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被 9 除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被 9 除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式 9+9=9 时,等式两边的除以 9 的余数都是 0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题.模块一、余数性质的综合运用【例例
6、例例 1 1 1】20032与22003的和除以 7 的余数是_【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】南京市,少年数学智力冬令营【解析】找规律用 7 除 2,22,32,42,52,62,的余数分别是 2,4,1,2,4,1,2,4,1,2 的个数是 3 的倍数时,用 7 除的余数为 1;2 的个数是 3 的倍数多 1 时,用 7 除的余数为 2;2 的个数是 3 的倍数多 2 时,用7 除的余数为 4因为20033 667 222,所以20032除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数,与两个数分别除以 7 所得余数的积相同而 2003 除以 7 余 1,所以
7、22003除以 7 余 1故20032与22003的和除以 7 的余数是415【答案】5【巩固巩固巩固】2008222008除以 7 的余数是多少?【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】328除以 7 的余数为 1,20083 6691,所以20083 669 13 66922(2)2,其除以 7 的余数为：669122;2008 除以 7 的余数为 6,则22008除以 7 的余数等于26除以 7 的余数,为 1;所以2008222008除以 7 的余数为：213【答案】3【巩固巩固巩固】30313130被13除所得的余数是多少?【考点】余数性质的综合运用 【难度】
8、3 星 【题型】解答【解析】31 被 13 除所得的余数为 5,当 n 取 1,2,3,时5n被 13 除所得余数分别是 5,12,8,1,5,12,8,1以 4 为周期循环出现,所以305被 13 除的余数与25被 13 除的余数相同,余 12,则3031除以 13 的余数为 12;30 被 13 除所得的余数是 4,当 n 取 1,2,3,时,4n被 13 除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以 6 为周期循环出现,所以314被 13 除所得的余数等于14被 13除所得的余数,即 4,故3130除以 13 的余数为 4;所以30313130被 13 除所得
9、的余数是124133【答案】3【例例例例 2 2 2】M、N为非零自然数,且20072008MN被7整除.MN的最小值为 .【考点】余数性质的综合运用 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 7 题,10 分例题精讲例题精讲3【解析】2007除以7的余数是5,2008除以7的余数是6,所以56MN能被7整除,经试算,MN最小值为325【答案】5【例例例例 3 3 3】1234200512342005除以 10 所得的余数为多少?【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】求结果除以 10 的余数即求其个位数字从 1 到 2005 这 2005 个数的
10、个位数字是 10 个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是 4 个一循环的,因此把所有加数的个位数按每 20 个(20是 4 和 10 的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算123420123420的个位数字,为1476563690163656749094 的个位数字,为 4,由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数,100 组的个位数字和是4 100400的个位数即 0,另外5 个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位数字是1476523的个位数 3,所以原式的个位数字是
11、3,即除以 10 的余数是 3【答案】3【例例例例 4 4 4】已知 n 是正整数,规定!1 2nn ,令1!12!23!32007!2007m ,则整数 m 除以 2008 的余数为多少?【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】清华附中【解析】1!12!23!32007!2007m 1!212!3 13!412007!20081（）（）（）（）2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008!12008 能够整除2008!,所以2008!1的余数是 2007【答案】2007【例例例例 5 5 5】设 n 为正整数,2004nk,k 被 7 除余数为 2,k 被
12、11 除余数为 3,求 n 的最小值【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】2004 被 7 除余数为 2,被 11 除余数也为 2,所以2n被 7 除余数为 2,被 11 除余数为 3由于122被7 除余 2,而328被 7 除余 1,所以 n 除以 3 的余数为 1;由于82256被 11 除余 3,1021024被 11除余 1,所以 n 除以 10 的余数为 8可见2n 是 3 和 10 的公倍数,最小为3,1030,所以 n 的最小值为 28【答案】28【例例例例 6 6 6】试求不大于 100,且使374nn能被 11 整除的所有自然数 n 的和【考点】余数
13、性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】通过逐次计算,可以求出3n被 11 除的余数,依次为：13为 3,23为 9,33为 5,43为 4,53为 1,因而3n被 11 除的余数 5 个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,;类似地,可以求出7n被 11 除的余数 10 个构成一个周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,;于是374nn被 11 除的余数也是 10 个构成一个周期：3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,;这就表明,每一个周期中,只有第 3、4、6 个这三个数满足题意,即3,4,6,13,14,16,.,93,94,96n 时374nn能被
14、 11 整除,所以,所有满足条件的自然数 n的和为：346131416.9394961343.2831480【答案】1480【例例例例 7 7 7】对任意的自然数 n,证明2903803464261nnnnA 能被 1897 整除【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】略4【答案】18977271,7 与 271 互质,因为29035(mod7),8035(mod7),4642(mod7),2612(mod7),所以,290380346426155220(mod7)nnnnnnnnA,故A能被 7 整除又因为2903193(mod271),803261(mod271),
15、464193(mod271),所以29038034642611932611932610(mod271)nnnnnnnnA,故A能被 271 整除因为 7与 271 互质,所以A能被 1897 整除【例例例例 8 8 8】若a为自然数,证明2005194910()aa【考点】余数性质的综合运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】略【答案】1025,由于2005a与1949a的奇偶性相同,所以200519492()aa20051949194956(1)aaaa,如果a 能被 5 整除,那么1949565(1)aa;如果a不能被 5 整除,那么a被 5 除的余数为 1、2、3 或者 4,4a被5
16、除的余数为41、42、43、44被 5 除的余数,即为 1、16、81、256 被 5 除的余数,而这四个数除以5 均余 1,所以不管a为多少,4a被 5 除的余数为 1,而564 14()aa,即 14 个4a相乘,所以56a除以 5 均余 1,则561a能被 5 整除,有1949565(1)aa所以200519495()aa由于 2 与 5 互质,所以2005194910()aa【例例例例 9 9 9】有一位奥运会志愿者,向看台上的一百名观众按顺序发放编号 1,2,3,100,同时还向每位观众赠送一个单色喇叭他希望如果两位观众的编号之差是质数,那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的为了实现他自己
17、的愿望,他最少要准备 种颜色的喇叭【考点】余数性质的综合运用 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,第 11 题【解析解析解析】编号1、3、6、8这四个编号两两之间的差都是质数,所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭,然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭【答案】4种模块二、弃九法【例例例例 10 10 10】将 1 至 2008 这 2008 个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数：1234567891011121320072008,试求这个多位数除以 9 的余数【考点】弃九法 【难度】3 星 【题型】解答【解析】以
18、19992000 这个八位数为例,它被 9 除的余数等于19992000被 9 除的余数,但是由于 1999 与1999被 9 除的余数相同,2000 与2000被 9 除的余数相同,所以 19992000就与19992000被 9 除的余数相同由此可得,从 1 开始的自然数1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同根据等差数列求和公式,这个和为：12008200820170362,它被 9 除的余数为 1另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质,将原多位数分成123456789,1011121314
19、15161718,199920002001200220032004200520062007,2008 等数,可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同因此,此数被 9 除的余数为 1【答案】1【巩固巩固巩固】连续写出从1开始的自然数,写到2009时停止,得到一个多位数：123456789101119992000,请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几?为什么?【考点】弃九法 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】希望杯【分析】因为连续3个自然数可以被3整除,而且最后一个自然数都是3的倍数,因为1998是3的倍数,所以512345678910111998是3的倍数,又因为1234
20、56789101119992000123456789101119980000000019981 19982,所以123456789101119992000除以3,得到的余数是0【答案】0【例例例例 11 11 11】将12345678910111213.依次写到第 1997 个数字,组成一个 1997 位数,那么此数除以 9 的余数是 _【考点】弃九法 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么,再对数字求和19共有 9 个数字,1099共有 90 个两位数,共有数字：902180(个),100999共 900 个三位数,共有数字
21、：90032700(个),所以数连续写,不会写到 999,从 100 开始是 3 位数,每三个数字表示一个数,(19979180)3602.2,即有 602 个三位数,第 603 个三位数只写了它的百位和十位从 100开始的第 602 个三位数是 701,第 603 个三位数是 9,其中 2 未写出来因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除,所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除,702 个数能分成的组数是：702978(组),依次排列后,它仍然能被 9 整除,但 702 中 2 未写出来,所以余数为9-27【答案】7【例例例例 12 12 12】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数,积
22、的后四位是 1031,第一个数各个位的数字之和是 10,第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和.【考点】弃九法 【难度】3 星 【题型】解答【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和,同时发现乘积的一部分已经给出,即乘积的一部分数字之和已经给出,我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数.因为这是一个一定正确的算式,所以一定可以满足弃九法的条件,两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8,所以等式一边除以 9 的余数为8,那么1031 除以 9 的余数也必须为 8,只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积,即3103131 10011432
23、17所以两个三位数是 143 和 217,那么两个三位数的和是 360【答案】360【例例例例 13 13 13】设20092009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的各位数字之和为D,那么D 【考点】弃九法 【难度】3 星 【题型】填空【解析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同,所以20092009与A、B、C、D 除以 9 都同余,而 2009 除以 9 的余数为 2,则20092009除以 9 的余数与20092除以 9 的余数相同,而6264除以 9 的余数为 1,所以 33420096 334 5652222除以 9 的余
24、数为52除以 9 的余数,即为5另一方面,由于20092009803620091000010,所以20092009的位数不超过 8036 位,那么它的各位数字之和不超过9 803672324,即72324A;那么A的各位数字之和9545B,B的各位数字之和9218C,C小于 18 且除以 9 的余数为 5,那么C为 5 或 14,C的各位数字之和为 5,即5D【答案】5【例例例例 14 14 14】3 个三位数乘积的算式234235286abcbcacab(其中abc),在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位 6 是正确的,问原式中的abc是多少?【考点】弃九法 【难度】3
25、 星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】由于2342352862342352868(mod9),3()(mod9)abcbcacababc,于是3()8(mod9)abc,从而(用0,1,2,.,8(mod9)abc代入上式检验)2,5,8(mod9)abc(1),对a进行讨论：6如果9a,那么2,5,8(mod9)bc(2),又cab的个位数字是 6,所以bc的个位数字为 4,bc可能为4 1、72、8 3、64,其中只有(,)(4,1),(8,3)b c 符合(2),经检验只有983 839398328245326 符合题意如果8a,那么3,6,0(mod9)bc(3),又bc的个位数字为 2 或 7,则bc可能为2 1、43、62、76、7 1,其中只有(,)(2,1)b c 符合(3),经检验,821abc 不合题意如果7a,那么4,7,1(mod9)bc(4),则bc可能为42、63,其中没有符合(4)的(,)b c如果6a,那么5b,4c,700600500210000000222334586abcbcacab,因此这时abc不可能符合题意综上所述,983abc 是本题唯一的解【答案】983