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1、第四章 4.2解：仿照（4.13）（4.14）在0=0情况下，离差平方和为：221111()()()nniiiiiiQyyyx 2111 argmin()niiiyx 根据微积分中求极值的原理，1应满足下列方程：111112()0niiiiQyx x 求解该方程得1的 OLSE 为：1121niiiniix yx 4.3证明：01111111111111()()()0nnniiiiiiiinnniiiiiiieyyyxyyxxynynxxnynynxnx 0111111122112222111111()()()0nnni iiiiiiiiiiniiiinniiiinniiiiinniiiiii
2、nniiiiiixex yyx yxx yyxxx ynxyx ynxyx ynxynxxxnxxnxx ynxyx ynxy 4.4证明：即证，00()E，0111110()()()()()=niiiEE yxxE yExxyyxn因为 非随机变量，所以根据，的定义以及 的无偏性，有 4.5证明：012111211var()var()1var()()1var()()nniiiniiiiniiniiiyxxxyxynxxxxxynxx 因为当ij时，iy和jy是独立的，所以，上式可以整理为 21122112222211122222111211var()()1()var()()2()()1()v
3、ar()()()()1(0)var()()1()niiniiiniiniiiniiinniiiiinniiniiiiniixxxynxxxxxynxxx xxxxxynnxxxxxxxynxxxnxx22 4.6证明：SST=SSR+SSE 的定义式为：222111()()()nnniiiiiiiyyyyyy 证明过程如下：2221112221111()()()()()()2()()nnniiiiiiinnniiiiiiiiiniiiiyyyyyyyyyyyyyyyyyy 注意到，011()iiiyxyxx，代入上式，得：22211111111121111()()()2()()2()()2()
4、()()2/(/)0nnniiiiiiiniiiiniiiinniiiiixyxxxyxyxxxxyyyyyyyxxyyyxxxxyyxxxxyyxxLLLLLL 其中，根据了（4.22）1/xyxxLL。4.7.验证：1112211(2)1()()2xxxxxxnnyyiiiiiiyyLLnLtLyyyynL 因为，1()iiiiyyyyxx 所以，2222111122111()()2()()()2nniiiiiiiiyyxyxxyyxxyyyyyyxxxxLLLLL 因此，1122211(2)(2)(2)11xxxxyyyyxxyyxxyyyynnnLLtrLLLrLLLL 2211122
5、112212()()/1/(2)()(2)()(2)nniiiinniiiiiixxiyyyxxySSRFSSEnyynyynLt 4.8.验证：12221211var()var()var()var()2cov(,)var()var()2cov(,()()()12cov(,()()iiiiiiiiiiiniiniiiiinixxiieyyyyy yyyy yxxxx yxxyyxxnLnxx 因为，当ij时，iy和jy是独立的，所以，上式可以整理为 222222()()112cov,()()11iiiixxxxixxxxxxyynLnLxxnL 4.9.证明：因为，2222()var()()(
6、)1var()1iiiiiiiiixxE yyyyE yyxxyynL 所以，22221122()11()()122(2)2nniiiiixxxxEE yynnnLnn 得证。4.11.解：（1）（2）x 与 y 大致呈线性关系。（3）111(2211)5.9583niixxnn 111(3035120)67.5833niiyynn 1()()(25.9583)(3067.5833)(11 5.9583)(12067.5833)1020.7916nxyiiiLxxyy 2122()(25.9583)(11 5.9583)104.7292nxyiiLxx 1/1020.7916/104.7292
7、9.7469xyxxLL 0167.58339.74695.95839.5076yx 所以，019.50769.7469yxx（4）由，019.50769.7469iiiyxx，得：129.0014y，229.0014y，12116.7235y；于是，222111()(3029.0014)(120 116.7235)4.704222niiiyynn （5）前面已经计算出了0，1的点估计值，现在计算它们的标准差估计值：02222115.95834.70423.057112104.7292xxxnL 122/4.7042/104.72920.4597xxL 因为用的是标准差的估计值，所以，查自由度
8、为 10 的 t 分布表，0，1的区间估计分别是：0.9750.9759.5076(10)*3.0570,9.5076(10)*3.05709.50762.228*3.0570,9.50762.228*3.05702.6965,16.3188tt 0.9750.9759.7469(10)*0.4596,9.7469(10)*0.45969.74692.228*0.4596,9.74692.228*0.45968.7228,10.7711tt（6）2221020.79160.9782104.7292 10170.9166xyxxyyLSSRrSSTL L（7）2122()(29.001467.5
9、833)(116.723567.5833)9949.4865niiSSRyy 2122()(3029.0014)(120 116.7235)221.2946niiiSSEyy 2122()(3067.5833)(12067.5833)10170.9166niiSSTyy 方差来源 自由度 平方和 均方 F 值 P 值 回归 1 9949.4865 9949.4865 残差 10 221.2946 22.1295 449.6035 0.000 总和 11 10170.9166 （8）前面已经计算出了1的点估计值和标准差估计值，t 检验如下：01:0H 11:0H 原假设成立下，有 t 统计量 1
10、19.746921.20400.4597t 相应的 p 值为 0.000，所以拒绝原假设。（9）20.97820.9890rr 故，可认为相关显著。（10）大致可认为残差围绕 e=0 随机波动，从而模型的基本假设是满足的。（11）将4.2x 代人019.50769.7469yxx，得，50.4449y。参考（4.58）（4.64）22000()11(4.25.9583)0.112812104.7292xxxxhnL 00.9750000.97500(10)1,(10)150.44492.2281 0.11284.7042,50.44492.2281 0.11284.704239.3884,61
11、.5015ythyth 4.12.解：在 spss 中输入数据，如下图，（1）点击 GraphsScatter/DotDefine，然后左侧是变量名，选中 y，点右侧 Y Axis 框条旁的箭头按钮，y 即进入此框条。同样的方法把 x 选入 X Axis 框条中，结果如下图，点 OK，结果如下，（2）由上图可得 x 与 y 大致呈线性关系。（3-9）点击 AnalyzeRegressionLinear，然后把 y 和 x 分别选入 Dependent 和 Independent框条中，如下图，点击 Statistics，选中 然后，点击 Continue 再点击 OK，结果如下，（10）点击
12、AnalyzeRegressionLinear，然后把 y 和 x 分别选入 Dependent 和 Independent框条中，再点击 Save 框条进入 Save 对话框，点选 Residuals 下的 Unstandardized 选项，如下图，点击 Continue，再点击 OK。运行后主页面出现新数据 RES_1，如下图，然后，仿造第（1）题，画散点图，结果如下，（11-12）在主页面上，变量 x 的最后一行输入 1000，相应 y 值留空，如下图，然后，点击 AnalyzeRegressionLinear，然后把 y 和 x 分别选入 Dependent 和Independent 框条中，再点击 Save 框条进入 Save 对话框，点选 Predicted Values 下的Unstandardized 选项以及 Prediction Intervals 下的 Individual 选项，如下图，点击 ContinueOK，运行后，主页面如下，由红框中的数据可知，需加班 3.7033 小时，95%置信区间为2.5195,4.8870。