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1、一、利用直角坐标计算二重积分二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的值，是相当困难的，甚至是不可能的.下面我们根据二重积分的下面我们根据二重积分的几何意义几何意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法算方法.这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.第1页/共63页xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV 复
2、习：平行截面面积为已知的立体的体积b第2页/共63页二重积分的计算(D是矩形区域)y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域 a,b;c,d z=f(x,y)第3页/共63页y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域z=f(x,y)问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？是曲边梯形。是曲边梯形。.二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形是矩形区域区域).第4页/共63页0 xz yyabcdD.Q(y)=同理，也可以先对同理，也可以先对 y 积分积分.z=f(x,y)D是矩形是矩形区域区域 a,b;c,d 二重积分的计算二重积分的计算(D是矩形是矩形区域区域)第5页/共63页0 xz
3、 ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d 二重积分的计算（D是曲线梯形区域）第6页/共63页0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y问题：问题：Q(y)是什么图形？是什么图形？D:(y)x (y)c y d也是曲边梯形也是曲边梯形!.Q(y)I=二重积分的计算二重积分的计算（D是是曲线梯曲线梯形形区域区域）.第7页/共63页0 xz yx=(y)ycdD.D:(y)x (y)c y d.Q(y)=二重积分的计算二重积分的计算（D是是曲线梯曲线梯形形区域区域）x=(y)z=f(x,y)第8页/共63页如果积分区域为：其中函数 、在区间 上连
4、续.直角坐标系下计算二重积分X型第9页/共63页设函数设函数 在区域在区域 上连续上连续,且当且当 时，时，如果区域如果区域 是由直线是由直线 ，与曲线与曲线 所围成所围成(X 型区域型区域),),如下图如下图,即即第10页/共63页若D是X型区域，则积分 先Y后X。通常写成通常写成第11页/共63页把计算把计算二重积分二重积分的问题化为计算的问题化为计算两次两次定积分的问题。定积分的问题。x 看作是常量，看作是常量，y 是是积分积分变量；变量；这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分(适合于适合于 型区域型区域).).第二次积分时计算第二次积分时计算x 是积分变量是积分变量.第一
5、次计算定积分第一次计算定积分D：第12页/共63页如果积分区域为：Y型第13页/共63页类似地类似地，如果，如果D是是Y型区域型区域,可用垂直于可用垂直于 轴的平面轴的平面去截曲顶柱体去截曲顶柱体,此时此时D为为这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分.第14页/共63页如果去掉以上结论中关于如果去掉以上结论中关于 的限制，则上述结论仍是成立的的限制，则上述结论仍是成立的.几点说明：几点说明：则则（）若区域）若区域D是一个矩形，是一个矩形，（）若函数可积，且）若函数可积，且且且第15页/共63页（）上上面面所所讨讨论论的的积积分分区区域域 D是是 X型或型或Y 型区域。型区域。则则
6、例如例如若不满足这个条件若不满足这个条件,可将可将D分块分块.再应用积分的分域可加性来计算再应用积分的分域可加性来计算.D1D2D3第16页/共63页由于二重积分归结于计算两个定积分由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重因此计算重积分本身没有新困难积分本身没有新困难,对于初学者来说对于初学者来说,感到困难的感到困难的是如何根据区域是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限去确定两次积分的上、下限.定限法则定限法则:就就 型区域而言型区域而言后积先定限后积先定限,域内穿射线域内穿射线,先交为下限先交为下限,后交为上限后交为上限.如右图如右图建议建议：先将区域：先将区域D的的图形图形画出，再写
7、出区域画出，再写出区域D上的点上的点的坐标所要满足的的坐标所要满足的不等式不等式以确定积分的上、下限以确定积分的上、下限.第17页/共63页解：解：积分区域如图 如果积分区域既是X-型又是Y-型的，则重积分既可以转化为先对x后对y的，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）第18页/共63页解：解：积分区域如图第19页/共63页例例1 1 计算二重积分计算二重积分 ,其中其中 为矩形：为矩形：解解1 1 先积先积 再积再积解解2 2 先积先积 再积再积第20页/共63页例例2 2 计算二重积分计算二重积分 ,其中区域其中区域 为矩形：为矩形：解解 因为因为 ,所以所以或或先积先积 再积再积第
8、21页/共63页解：椭圆区域可表示为解：椭圆区域可表示为因此因此 例例3 3 计算二重积分计算二重积分 .其中积分区域其中积分区域D 为为四分之一椭圆四分之一椭圆。第22页/共63页例例4 4 计算二重积分计算二重积分 ,其中其中 是是由由三三条条线线 所所围围成成的区域的区域.解解 易知积分区域可表为易知积分区域可表为于是第23页/共63页其中例例2.3 计算二重积分解：先画出区域D的图形，因为xyO-11D1D2第24页/共63页例例5.计算计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共63页例例6
9、.计计算算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共63页例例7.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共63页例例8.计计算算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共63页解：解：第29页/共63页解：解：第30页/共63页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型X型
10、第31页/共63页21DD:.怎么计算？怎么计算？需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!0y xD4D3D1D2第32页/共63页所以，用若直角坐标来计算，无法求出例如，计算二重积分需使用 极坐标系！极坐标系！第33页/共63页积分的变量代换是计算积分的一个有效方法积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二对二重积分也有类似的方法重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换在这类方法中极坐标变换最为常用最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分重积分.在二重积分的计算中在二
11、重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆如果积分域是圆域或部分圆 域域,被积函数为被积函数为 形式形式,利用极坐利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便标变换来计算二重积分会十分方便.二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共63页对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区在内取点及射线 =常数,分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 域的面积第35页/共63页即机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面考虑如何把极坐标系下的二重积分化为二次积分.分三种情况来讨论:第36页/共63页设设则1)极点在极点在D之外之外2)极点在极点在
12、D的边界上的边界上第37页/共63页3)设极点设极点D之之内内机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积第38页/共63页思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共63页21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.例例1 1 计算计算D:1 r 2 0 2 第40页/共63页例例2.11.2.11.计算计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共63页解解:第
13、42页/共63页第43页/共63页第44页/共63页注注:利用例2.11可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D 为 R2 时,利用例2.11的结果,得故式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共63页解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第46页/共63页0y x2a 解：解：例2第47页/共63页0y x12 y=xD 例4.4.第48页/共63页解解：第49页/共63页解解第50页/共63页例10.I=不分块儿行吗？不分块儿行吗？解：解：不行！不行！2r=2 cos y xo1D第51页/共63页例例11.11.将积分化为极坐标形式将积分化为
14、极坐标形式r=Ry=R xD1D2.R0y xD.arctanR.I=I=第52页/共63页解解:第53页/共63页定积分换元法*三、二重积分换元三、二重积分换元法法 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理定理:变换:是一一对应的,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第54页/共63页例例2.132.13 试用一般变量代换写出直角坐标变试用一般变量代换写出直角坐标变为极坐标的二重积分的公式为极坐标的二重积分的公式解：因为代换式为则雅可比行列式为除个别点 r=0 之外，其他点均有J0。所以有第55页/共63页例例 试计算椭球体试计算椭球体解解:由对称性令则D 的原象为的体积V.第56页/
15、共63页内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共63页则(2)一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共63页(3)计算步骤及注意事计算步骤及注意事项项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束（后积先定限，域内穿射线）第59页/共63页思考与练习思考与练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页/共63页2.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共63页解：解：原式3.给定改变积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第62页/共63页感谢您的观看！第63页/共63页