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1、一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法二重积分的计算法化二重积分为两次定积分化二重积分为两次定积分一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算积分区域积分区域D为为X型区域型区域积分区域积分区域D为为YY型区域型区域积分区域积分区域D 既不是既不是XX型，也不是型，也不是YY型型积分区域积分区域D 既是既是XX型，也是型，也是YY型型 如果区域如果区域D可以表示为不等式可以表示为不等式j j1(x)y j j2(x)a x b 则称区域则称区域D为为X型区域型区域 积分区域积分区域D为为X型区域型区域直线直线 与与D的边界至多有两个交点的边界至多
2、有两个交点积分区域积分区域D为为YY型区域型区域直线直线 与与D的边界至多有两个交点的边界至多有两个交点 如果区域如果区域D可以表示为不等可以表示为不等 c y d 则称区域则称区域D为为Y型区域型区域 积分区域积分区域D 既是既是XX型，也是型，也是YY型型积分区域积分区域D 既不是既不是XX型，也不是型，也不是YY型型 转化成转化成X型或型或Y型型提示提示 z f(x y)为顶为顶 以区域以区域D为底的曲顶柱体的体积为底的曲顶柱体的体积 提示 截截面面是是以以区区间间j j1(x0)j j2(x0)为为底底、以以曲曲线线z f(x0 y)为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形 提示 根据平行截面
3、面积为已知的立体体积的求法根据平行截面面积为已知的立体体积的求法 设设f(x y)0 D(x y)|j j1(x)y j j2(x)a x b v二重积分的计算二重积分的计算利用已知平行截面面积的立体求体积利用已知平行截面面积的立体求体积 对于对于x0 a b 曲顶柱体在曲顶柱体在x x0的截面面积为的截面面积为 曲顶柱体体积为曲顶柱体体积为 如果如果D是是X型区域型区域 D(x y)|j j1(x)y j j2(x)a x b 则则 上式也可以记为上式也可以记为 如如果果D是是Y型型区区域域 D(x y)|y y1(y)x y y2(y)c y d 则则 v二重积分的计算二重积分的计算先对先
4、对x后对后对y的二次积分的二次积分先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分注意：注意：积分区域的形状：对于积分区域的形状：对于X型（或型（或Y型）型）直线直线 与与D的边界至多有两个交点的边界至多有两个交点直线直线 与与D的边界至多有两个交点的边界至多有两个交点积分限的确定积分限的确定 对对于于X型（型（Y型）区域型）区域D，用直，用直线线x=x(y=y)由由下至上（由左至右）穿下至上（由左至右）穿过过D，穿入（出）点，穿入（出）点为对应积为对应积分的下（上）限。分的下（上）限。【例【例1】计计算算 ，其中，其中D是由直是由直线线及及 所所围围成的区域。成的区域。外层积分的上、下限均为常数；内
5、层积分上、下外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积分变量有关。分变量有关。两种特殊情形两种特殊情形则积分顺序可交换则积分顺序可交换 如果如果D是是X型区域型区域 j j1(x)y j j2(x)a x b 则则 v计算二重积分的步骤计算二重积分的步骤 如果如果D是是Y型区域型区域 y y1(y)x y y2(y)c y d 则则 (1)画出积分区域画出积分区域D的草图的草图 (2)用不等式组表示积分区域用不等式组表示积分区域D (3)把二重积分表示为二次积分把二重积分表示为二次积分 (4)计算二次积
6、分计算二次积分 【例【例3】计算】计算 ，其中，其中D是由直线是由直线 及及 所所围围成的区域。成的区域。【例【例2】计计算算 ，其中，其中D是由直是由直线线及抛物线及抛物线 所围成的区域。所围成的区域。注意积分次序的选择注意积分次序的选择【例【例4】求】求其中其中 解：解：若先对若先对x再对再对y就求不出来就求不出来提示 由对称性由对称性 所求体积是第一卦限部分体积的所求体积是第一卦限部分体积的8倍倍 【例【例5】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围的直交圆柱面所围成的立体的体积成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为设这两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2及
7、及x2 z2 R2 所求立体的体积为所求立体的体积为 【例【例5】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围的直交圆柱面所围成的立体的体积成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为设这两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2及及x2 z2 R2 所求立体的体积为所求立体的体积为【例【例6】求由曲面】求由曲面 及及 所围成的立体的体积。所围成的立体的体积。二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 有些二重积分有些二重积分 其其积分区域积分区域D或其被积函数用极或其被积函数用极坐标变量坐标变量 、表达比较简单表达比较简单 这时我们就可以考虑这时我们就可以考虑利用极坐
8、标来计算二重积分利用极坐标来计算二重积分 提示 我我们们用用从从极极点点O出出发发的的一一族族射射线线与与以以极极点点为为中中心心的的一一族族同心圆构成的网将区域同心圆构成的网将区域D分为分为n个小闭区域个小闭区域 小区域小区域 s si的面积为的面积为 iiiqrrDD=.i 其中其中表示相邻两圆弧的表示相邻两圆弧的半径的平均值半径的平均值.则有则有 iiiiii h h x xsin ,cos 于是于是 我我们们用用从从极极点点O出出发发的的一一族族射射线线与与以以极极点点为为中中心心的的一一族族同心圆构成的网将区域同心圆构成的网将区域D分为分为n个小闭区域个小闭区域 小区域小区域 s s
9、i的面积为的面积为 其中其中i 表示相邻两圆弧的表示相邻两圆弧的半径的平均值半径的平均值 在在 s si内取点内取点),(ii 设其设其直角坐标为直角坐标为(x x i h h i)v在极坐标系下的二重积分在极坐标系下的二重积分v在极坐标系下二重积分的计算在极坐标系下二重积分的计算 如果积分区域可表示为如果积分区域可表示为 D j j1()j j2()a a b b 则则讨论讨论 区域如下图区域如下图 如何确定积分限如何确定积分限?(2)(1)极点在积分区域的边界上极点在积分区域的边界上 极点包极点包围围在在积积分区域分区域D的内部的内部（3）（4）极点包极点包围围在在积积分区域分区域D的内部
10、的内部【例【例7】将下列区域用极坐标变量表示】将下列区域用极坐标变量表示习题：书习题：书P155第第11题题 解解 在极坐标系中在极坐标系中 闭区域闭区域D可表示为可表示为 0 a 0 2 为为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域 【例【例8 8】计算】计算-Dyxdxdye22其中其中D是由中心在原点、半径是由中心在原点、半径 【例【例9】求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截所截得的得的(含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分)立体的体积立体的体积 解解 由对称性由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍立体体积为第一卦限部分的四倍 其中其中 D 为半圆
11、周为半圆周22xaxy-=及及 x 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域.在极坐标系中在极坐标系中D可表示为可表示为 【例【例9】求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截得所截得的的(含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分)立体的体积立体的体积 解解 由对称性由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍立体体积为第一卦限部分的四倍 其中其中 D 为半圆周为半圆周22xaxy-=及及 x 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域.在极坐标系中在极坐标系中D可表示为可表示为 使用极坐标变换计算二重积分的原则使用极坐标变换计算二重积分的原则（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆弧程表示（含圆弧,直线段）直线段）（2）被）被积积函数表示式用极坐函数表示式用极坐标变标变量表示量表示较简单较简单（含（含 ，为实为实数）数）【例【例10】计算】计算 解：此积分区域为解：此积分区域为 该区域在极坐标下的表示形式为该区域在极坐标下的表示形式为