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1、1/24复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积为 在点x处的平行截面的面积为:(1)二重积分第1页/共24页2/24其中函数 、在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积一、利用直角坐标系计算二重积分分(1)X型域X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.预备知识第2页/共24页3/24(2)Y型域Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第3页/共24页4/24(3)既非X型域也非Y型域 在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得第
2、4页/共24页5/24(1)若积分区域为X型域：2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.方法第5页/共24页6/24即得公式1第6页/共24页7/24几点小结定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)先交下限写后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿线法第7页/共24页8/243.【二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式2第8页/共24页9/24(1)使用公式1必须是X型域，公式2必须是Y型域.(
3、2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.(见后续补充例题)(3)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域（或Y-型域）说明第9页/共24页10/244.【例题部分】例1解看作X型域12oxy y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解看作Y型域第10页/共24页11/24例2解D 既是X型域又是Y型域法1111xoy=xDxy第11页/共24页12/24法2注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！第12页/共24页13/24例3解D既是X型域又是Y型域先求交点第13页/共24页14/
4、24法1法2视为X型域计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！第14页/共24页15/24小结以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)第15页/共24页16/245.【简单应用】例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解 设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第16页/共24页17/24例5解据二重积分的性质4（几何意义）交点与定积分元素法相同第17页/共24页18/246.【补充】改变二次积分的积分次序例题补例1解第18页/共24页19/
5、24随堂练习1.计算其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2=x 所围成.解积不出的积分，无法计算。课本P154 第5题第6题练习第19页/共24页20/24解当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析补例2作业:1 x 1第20页/共24页21/24计算其中D 由所围成.令(如图所示)显然,利用对称性与奇偶性补例3分析解课本P154 第3 题与积分变量无关补例4与积分变量无关与积分变量无关第21页/共24页22/24分部积分法(略).(05/06学年第一学期考试题A卷)化为二次积分,交换积分次序原式=原式补例5解解第22页/共24页23/24二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结二、小结Y型X型课本P153 习题10-2练习第23页/共24页24/24谢谢大家观赏！第24页/共24页